Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- wiki:projet:modelisation_viscosite_manteau_aurelia_elora_emilie [2020/06/01 15:04]
ebourbon
+++ wiki:projet:modelisation_viscosite_manteau_aurelia_elora_emilie [2020/10/05 14:39] (Version actuelle)
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 <color #ed1c24>APPROCHE UNI-DIMENSIONNELLE</color>
-**Approche 1D "instantannée"**
+  **Approche 1D "instantanée"**
 Si on considère un cylindre de hauteur h et de rayon R, d’un matériau de viscosité η, soumis au poids d’une masse m, alors en partant de la définition de la viscosité : η=σ/ε┴·
-avec ε┴· la vitesse de déformation en .s-1 et σ la contrainte en Pa, qui vaut : σ=(m.g)/(π.R^2 )
+avec ε┴· la vitesse de déformation en .s−¹ et σ la contrainte en Pa, qui vaut : σ=(m.g)/(π.R² )
-On peut écrire  ε┴· en fonction de h et du temps t : ε┴·=dh/(h.dt)=V_z/h
+On peut écrire  ε┴· en fonction de h et du temps t : ε┴·=dh/(h.dt)=V<fs xx-small>z</fs>/h
-avec Vz, la vitesse verticale de descente de la face supérieure du cylindre, considérée à un instant t.
+avec V<fs xx-small>z</fs>, la vitesse verticale de descente de la face supérieure du cylindre, considérée à un instant t.
-On obtient donc : η=(m.g.h)/(π.R^2.V_z )
+On obtient donc : η=(m.g.h)/(π.R².V<fs xx-small>z</fs> )
-Cette relation est valable si on considère Vz comme constante, ou si on peut la mesurer de façon instantanée en même temps que h et R.
+Cette relation est valable si on considère V<fs xx-small>z</fs> comme constante, ou si on peut la mesurer de façon instantanée en même temps que h et R.
+  **Approche 1D "finie"**
-Pour cette approche expérimentale, nous avons décider de réaliser un cylindre en pâte silly putty (de hauteur h et de rayon R) afin d’en mesurer la viscosité. Pour cela, il faut calculer la déformation finie : (ε=(h-h_0)/h_0 ) qui dans le cadre de cette approche cylindrique se rattache à la viscosité par la vitesse de déformation
+On peut reprendre la même définition avec : ε┴· = dε/dt = σ/η
+et : ε=(h-h<fs xx-small>0</fs>)/h<fs xx-small>0</fs>
+avec h<fs xx-small>0</fs> la hauteur initiale du cylindre, ce qui donne : dε=dh/h<fs xx-small>0</fs>  et ε┴·=dh/(h<fs xx-small>0</fs>.dt)
+On a donc : dh/(h<fs xx-small>0</fs>.dt)=(m.g)/(π.R².η)
+Par conservation du volume de pâte, on peut écrire : π.h<fs xx-small>0</fs>.R<fs xx-small>0</fs>²=π.h.R²
+donc R²=R<fs xx-small>0</fs>².h<fs xx-small>0</fs>/h
+et donc : dh/h=[(m.g)/(η.π.R<fs xx-small>0</fs>²)].dt
+En intégrant entre h<fs xx-small>0</fs> et h<fs xx-small>f</fs> et t<fs xx-small>0</fs> et t<fs xx-small>0</fs>+∆t la durée de l’expérience : ∫dh/h  (en intégrant entre h<fs xx-small>f</fs> et h<fs xx-small>0</fs>) = ∫[(m.g)/(η.π.R<fs xx-small>0</fs>²)].dt (en intégrant entre t<fs xx-small>0</fs>+∆t et t<fs xx-small>0</fs>)
+On obtient : ln(h<fs xx-small>f</fs>/h<fs xx-small>0</fs> )=(m.g.Δt)/(η.π.R<fs xx-small>0</fs>² )
+et donc :η=[(m.g.Δt)/(π.R<fs xx-small>0</fs>²)].ln(h<fs xx-small>0</fs>/h<fs xx-small>f</fs>)
+Pour cette approche expérimentale, nous avons décider de réaliser un cylindre en pâte silly putty (de hauteur h et de rayon R) afin d’en mesurer la viscosité. Pour cela, il faut calculer la déformation finie : (ε=(h-h<fs xx-small>0</fs>)/h<fs xx-small>0</fs> ) qui dans le cadre de cette approche cylindrique se rattache à la viscosité par la vitesse de déformation
 En revanche, lors de la compression ou de l’extension du cylindre, la surface va varier ce qui fait que les résultats expérimentaux sont loin d’être précis.
-**__Montage expérimental-Protocole__**
+  **__Montage expérimental-Protocole__**
 __En compression__ : Trois plaques de plexiglas sont scotchées ensemble pour que la plaque du dessus reste le plus possible à l'horizontal. Une règle est scotchée à la verticale pour avoir la hauteur du cylindre de pâte au cours du temps. Une plaque de plexiglas appuie sous l'effet de son poids sur la pâte qui se déforme.
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-**__Résultats en compression__**
+  **__Résultats en compression__**
 __Première expérience (14/02/2020)__ : Le but des trois plaques de plexiglas autour est de maintenir la plaque posée sur le matériau étudié le plus à plat possible pour avoir une pression uniforme sur le cylindre.
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 Temps de déformation = 1 minutes 36 secondes
-Au cours de l'expérience, le volume du cylindre et la contrainte exercée sur celui-ci varient : la contrainte passe de 562 Pa au début à 163 Pa à la fin. Ainsi, on peut en déduire que la viscosité aussi varie au cours de l'expérience entre 1,17*10^5 et 3,39*10^4 Pa.s.
+Au cours de l'expérience, le volume du cylindre et la contrainte exercée sur celui-ci varient : la contrainte passe de 562 Pa au début à 163 Pa à la fin. Ainsi, on peut en déduire que la viscosité aussi varie au cours de l'expérience entre 1,17 * 10^5 et 3,39 * 10⁴ Pa.s.
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 Temps de déformation = 2 minutes et 12 secondes
-Encore une fois, le volume du cylindre varie tout comme la contrainte et la viscosité. Soit la contrainte passe de 477 Pa à 163 Pa et la viscosité de 1,17*10^5 à 3,98*10^4 Pa.s.
+Encore une fois, le volume du cylindre varie tout comme la contrainte et la viscosité. Soit la contrainte passe de 477 Pa à 163 Pa et la viscosité de 1,17 * 10^5 à 3,98 * 10⁴ Pa.s.
-Le 21/02/2020, nous avons réalisé une nouvelle expérience en compression (expérience 3) où on a mesuré les variations de la surface de déformation et la hauteur à des temps donnés. Les valeurs mesurées à ces différents temps, ont été représentées dans un graphique de la contrainte en fonction de la vitesse de déformation, dont la pente nous donne la valeur de la viscosité = 1,21*10^5 Pa.s
+Le 21/02/2020, nous avons réalisé une nouvelle expérience en compression (expérience 3) où on a mesuré les variations de la surface de déformation et la hauteur à des temps donnés. Les valeurs mesurées à ces différents temps, ont été représentées dans un graphique de la contrainte en fonction de la vitesse de déformation, dont la pente nous donne la valeur de la viscosité = 1,21 * 10^5 Pa.s
 __Figure 5 : Graphique représentant la viscosité de la pâte lors d'une compression__ {{:wiki:projet:mesure_viscosite_en_compression_exp_3_figure_5_.jpg?400|}}
-**__Résultats en extension__**
+  **__Résultats en extension__**
-(21/02/2020) Nous avons mesuré les différents périmètres et longueurs à différents temps d'un cylindre en étirement sous son propre poids (expérience 4). Les valeurs obtenues ont été représentées dans un graphique de la contrainte en fonction de la vitesse de déformation, dont la pente nous donne la valeur de la viscosité = 4,98*10^4 Pa
+(21/02/2020) Nous avons mesuré les différents périmètres et longueurs à différents temps d'un cylindre en étirement sous son propre poids (expérience 4). Les valeurs obtenues ont été représentées dans un graphique de la contrainte en fonction de la vitesse de déformation, dont la pente nous donne la valeur de la viscosité = 4,98 * 10⁴ Pa
 __Figure 6 : Graphique représentant la viscosité de la pâte lors d'une extension__ {{ :wiki:projet:mesure_viscosite_en_extension.jpg?400 |}}
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-**__Résultats discussion et problèmes rencontrés__**
+  **__Résultats discussion et problèmes rencontrés__**
 Lors de l'expérience 1, différents problèmes ont été rencontrés. La plaque se penche causant une déformation asymétrique du cylindre, il n'a plus une forme homogène (difficile d'estimer la surface et la hauteur finale), l'image est mise au point sur le cylindre, mais floue sur la règle. Il est difficile de lire la valeur de la hauteur sur la photo.
 Lors de l’expérience 2, grâce à la plaque rajoutée formant une boîte à la dimension de la plaque supérieure, cette dernière est mieux maintenue et le cylindre s'affaisse moins sur les côtés et garde plus sa forme cylindrique.
-Le montage expérimental en extension est à améliorer, d’autant plus qu'il est compliqué de mesurer le diamètre de la pâte qui coule à l’aide d’une ficelle. Par ailleurs, dans ce cas là, la pâte se déforme essentiellement à un endroit où il s’amincit.
+Le montage expérimental en extension est à améliorer, d’autant plus qu'il est compliqué de mesurer le diamètre de la pâte qui coule à l’aide d’une ficelle. Par ailleurs, dans ce cas là, la pâte se déforme essentiellement à un endroit où il s’amincit mais la masse sous la partie affinée augmente au cours de la déformation, faisant augmenter son poids et modifiant les conditions de l'expérience.
 Avec la méthode de mesure de viscosité utilisée, cette dernière varie au cours du temps car la contrainte et le volume du cylindre varient. De plus, le cylindre compressé ne s'écrase pas sur lui même, mais se déforme.
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 Par ailleurs, les expériences de viscosité peuvent être réalisées avec cette pâte silly putty car elle a les mêmes caractéristiques que le manteau terrestre (même si sa viscosité est largement plus grande), c'est à dire, une pâte visqueuse et élastique à une température normale et liquide lorsqu'elle est chauffée. Au vu de toutes les approximations, nous avons voulu amélioré notre dispositif expérimental.
-Nous avons modélisé une boîte sur le logiciel openscad pour ensuite l'imprimer en 3D. en effet, notre boîte actuelle est trop petite et instable.
+Nous avons modélisé une boîte sur le logiciel Openscad pour ensuite l'imprimer en 3D. en effet, notre boîte actuelle est trop petite et instable.
 __Figure 7 : Photo de la première modélisation d'une boîte__
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 <color #ed1c24>APPROCHE 2D EN SYMÉTRIE CYLINDRIQUE</color>
-**Approche 2D en symétrie radiale**
+  **Approche 2D en symétrie radiale**
-Le bord de la crêpe décrit une hyperbole, due à un écoulement de Poiseuille entre les deux faces du disque, du type : v(r,z)=v_max (r).(1-(4.z^2)/h^2 )
+Le bord de la crêpe décrit une hyperbole, due à un écoulement de Poiseuille entre les deux faces du disque, du type : v(r,z)=v<fs xx-small>max</fs> (r ).(1-(4.z²)/h² )
-On peut trouver la valeur V_moy de la vitesse le long d’un profil vertical, en résolvant :
+On peut trouver la valeur V<fs xx-small>moy</fs> de la vitesse le long d’un profil vertical, en résolvant :
-v_moy=(1/h).∫[v(z).dz] (intégration entre h/2 et -h/2)
+v<fs xx-small>moy</fs>=(1/h).∫[v(z ).dz] (intégration entre h/2 et -h/2)
-ce qui donne : v_moy=2/3 v_max
+ce qui donne : v<fs xx-small>moy</fs>=2/3 v<fs xx-small>max</fs>
+On peut relier V<fs xx-small>moy</fs> à la vitesse V<fs xx-small>z</fs> d’écrasement du disque en écrivant la conservation du volume du cylindre : (d(π.R².h))/dt=0
-On peut relier V_moy à la vitesse V_z d’écrasement du disque en écrivant la conservation du volume du cylindre : (d(π.R^2.h))/dt=0
 d’où : dR/dt=-(R/2h).(dh/dt)
-et donc v(r )=(r/2h).V_z
+et donc v(r )=(r/2h).V<fs xx-small>z</fs>
-avec V_z comptée positivement vers le bas. Donc l’expression de v(z) devient : v(r,z)=(3r/4h).(1-(4z^2)/h^2 ).V_z
+avec V<fs xx-small>z</fs> comptée positivement vers le bas. Donc l’expression de v(z ) devient : v(r,z)=(3r/4h).(1-(4z²)/h² ).V<fs xx-small>z</fs>
-et v_max(r )=3r/(4h.V_z)
+et v<fs xx-small>max</fs>(r )=3r/(4h.V<fs xx-small>z</fs>)
-Si le disque est assez grand, on peut relier le gradient radial de pression à la viscosité par la loi de Poiseuille : ∂P/∂r=(8η/h^2) .v_max
+Si le disque est assez grand, on peut relier le gradient radial de pression à la viscosité par la loi de Poiseuille : ∂P/∂r=(8η/h²) .v<fs xx-small>max</fs>
-En introduisant V_z on peut intégrer de r à R et de P(r) à P=0 à l’extérieur du disque (en R) :
+En introduisant V<fs xx-small>z</fs> on peut intégrer de r à R et de P(r ) à P=0 à l’extérieur du disque (en R) :
-P(r )=∫[(6.η.V_z)/h^3].rdr=[(3η.V_z.R^2)/h^3].(1-r^2/R^2) (en intégrant entre R et r)
+P(r )=∫[(6.η.V<fs xx-small>z</fs>)/h³].rdr=[(3η.V<fs xx-small>z</fs>.R²)/h³].(1-r²/R²) (en intégrant entre R et r)
-On peut ensuite remonter à la force comme l’intégrale des pressions exercées sur chaque couronne concentrique du disque : F_z=∫_O^R P(r).2πr.dr
+On peut ensuite remonter à la force comme l’intégrale des pressions exercées sur chaque couronne concentrique du disque : F<fs xx-small>z</fs>=∫_0^R P(r ).2πr.dr
-Et on trouve : F_z=(3π.η.V_z.R^4)/(2h^3 )
+Et on trouve : F<fs xx-small>z</fs>=(3π.η.V<fs xx-small>z</fs>.R⁴)/(2h³ )
-et donc, si cette force est le poids d’une masse m posée sur le disque : η=(2m.g.h^3)/(3πV_z.R^4)
+et donc, si cette force est le poids d’une masse m posée sur le disque : η=(2m.g.h³)/(3πV<fs xx-small>z</fs>.R⁴)
-Si on mesure Vz, h et R à un instant donné, alors on peut estimer la viscosité.
+Si on mesure V<fs xx-small>z</fs>, h et R à un instant donné, alors on peut estimer la viscosité.
-L’étape ultérieure est d’utiliser cette relation instantanée, et de l’intégrer sur le temps, en utilisant : R^2=R_0^2.(h_0/h)
+L’étape ultérieure est d’utiliser cette relation instantanée, et de l’intégrer sur le temps, en utilisant : R²=R<fs xx-small>0</fs>².(h<fs xx-small>0</fs>/h)
-et en introduisant : V_z=-dh/dt
+et en introduisant : V<fs xx-small>z</fs>=-dh/dt
-On obtient : ∫_(h_0)^(h_f )-dh/h^5 =∫_(t_0)^(t_0+Δt)  (2m.g)/(3πηR_0^4 h_0^2 ).dt
+On obtient : ∫_(h<fs xx-small>0</fs>)^(h<fs xx-small>f</fs> )-dh/h^5 =∫_(t<fs xx-small>0</fs>)^(t<fs xx-small>0</fs>+Δt)  (2m.g)/(3πηR<fs xx-small>0</fs>⁴ h<fs xx-small>0</fs>² ).dt
-d’où : η=[(8m.g.Δt)/(3πη.R_0^4.h_0^2)].[1/(h_0^4-h_f^4)]
+d’où : η=[(8m.g.Δt)/(3πη.R<fs xx-small>0</fs>⁴.h<fs xx-small>0</fs>²)].[1/(h<fs xx-small>0</fs>⁴-h<fs xx-small>f</fs>⁴)]
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 __Figure 10 : Schéma de la vitesse maximale parabolique__
-Afin d'avoir la viscosité, nous devons déterminer la pression exercé sur notre polymère. Poiseuille relie le gradient de pression à la viscosité dan sa formule: dP/dr=-(8η/h²)* V<fs x-small>max</fs>
+Afin d'avoir la viscosité, nous devons déterminer la pression exercé sur notre polymère. Poiseuille relie le gradient de pression à la viscosité dans sa formule: dP/dr=-(8η/h²)* V<fs x-small>max</fs>
 En intégrant sur toute la surface du disque, nous pouvons obtenir la pression qui est en rapport avec la force en lien avec la viscosité: F=(3πηV<fs x-small>z</fs>R⁴)/(2h³)=mg
 Nous pouvons désormais déterminer la viscosité: η=(2mgh³)/3πV<fs x-small>z</fs>R⁴)
-On peut exprimer la viscosité en logarithme: log(η)=log(2mg/3π)+3log(h)-log(V<fs x-small>z</fs>)-4log(R)
+On peut exprimer la viscosité en logarithme: log(η)=log(2mg/3π)+3log(h)-log(V<fs x-small>z</fs>)-4log(R )
 Cette équation doit nous donner une droite dont la pente est la viscosité si notre hypothèse selon laquelle V<fs x-small>z</fs> est constante est vérifiée.
-On exprime log(h)=f(log(R)) et on obtient le log(η).
+On exprime log(h)=f(log(R )) et on obtient le log(η ).
 On peut exprimer la viscosité de notre premier modèle avec les mêmes paramètres que ceux qui interviennent dans l'expression de viscosité du nouveau: η=mgh/πR²V<fs x-small>z</fs> pour comparer ainsi nos deux modèles et déterminer ensuite lequel est le plus précis.
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 High temperature creep of rock and mantle viscosity, Annual Review, Johannes Weertman, Julia R. Weertman, 1975

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