Différences

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--- wiki:projet:sonolum:resonance [2017/03/30 11:31]
3408253 créée
+++ wiki:projet:sonolum:resonance [2020/10/05 14:39] (Version actuelle)
@@ Ligne 1: / Ligne 1: @@
 ====== Résonance du ballon ======
 === Hypothèses ===
+  ***
+ On assimile le ballon à une sphère de rayon R
-On assimile le ballon à une sphère de rayon R
+ On néglige tout phénomène de dissipation
+  ***
-On néglige tout phénomène de dissipation
 === Expression de l'équation de propagation ===
+  ***
 Équation de propagation d'une onde dite équation de D’Alembert:
@@ Ligne 16: / Ligne 16: @@
 \end{equation}
-p: surpression induite par l'onde dans le milieux
+$p$: surpression induite par l'onde dans le milieux
 \begin{equation}
@@ Ligne 26: / Ligne 26: @@
 \begin{equation}
-\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}
 \end{equation}
@@ Ligne 34: / Ligne 34: @@
 \begin{equation}
-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial p}{\partial r}) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \frac{\partial p}{\partial \theta}) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 p}{\partial \phi^2}= 0
+\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial p}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial p}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 p}{\partial \phi^2}= 0
 \end{equation}
+La solution de l'équation est de la forme [1]:
+\begin{equation}
+p(r,\theta,\phi,t) = p_{0}J_{l}(kr)P^{l}_{m}(cos(\theta)sin(m\phi))e^{iwt}
+\end{equation}
+l et m sont des entiers relatifs
+J: fonction de Bessel
+P: polynôme de Legendre
+Le terme en exponentielle est un terme de phase globale, pour nos résultats on s'intéresse uniquement au module de p.
+On cherche les configurations pour lesquelles p=0 c'est à dire un ventre de pression. On s'intéresse à l'ordre le plus simple. On a donc l=m=0. Le polynôme de Legendre est égal à 1 et la fonction de Bessel à l'ordre 0 est égale à: Sinc(kr) avec Sinc la fonction sinus cardinal et k le nombre d'onde k=$\frac{w}{v}$. De plus, en utilisant les conditions au bord de la sphére tel que la surpression est nulle (p=0), on peut déduire le résultat suivant
+On cherche donc:
+\begin{equation}
+Sinc(\frac{wR}{v})=0\\
+\frac{wR}{v}=\pi n\\
+w=\frac{v\pi}{R} n\\
+\end{equation}
+Ou encore:
+\begin{equation}
+f_{l=0}=\frac{v}{2R} n
+\end{equation}
+  ***
+=== Application numérique ===
+  ***
+On considère comme dans notre cas une sphère de 100 mL ($10^{-4} m^{3}$) et une vitesse v de propagation de l'onde dans l'eau à 18 degré de v=1470 m/s.
+On associe le rayon au volume:
+\begin{equation}
+R=(\frac{3V}{4\pi})^{\frac{1}{3}}
+\end{equation}
+On remplace dans l'équation de la fréquence:
+\begin{equation}
+f_{l=0}=\frac{v}{2}(\frac{4\pi}{3V})^{\frac{1}{3}} n
+\end{equation}
+On a pour n=1, c'est à dire la fondamentale pour l=0:
+\begin{equation}
+f_{l=0,n=1}=\frac{1480}{2}(\frac{4\pi}{3 10^{-4}})^{\frac{1}{3}} = 25,695 kHz
+\end{equation}
+On a donc pour n=1,2,3,4:
+\begin{equation}
+f_{l=0,n=1}=25,695 kHz\\
+f_{l=0,n=2}=51,390 kHz\\
+f_{l=0,n=3}=77,085 kHz\\
+f_{l=0,n=4}=102,780 kHz\\
+\end{equation}
+Ces résultats théoriques sont à comparer avec les résultats expérimentaux.
+=== Source ===
+[1] Sonoluminescence par F. Ronald Young (https://books.google.ca/books?id=e3DY-oGatgoC&pg=PA67#v=onepage&q=bessel&f=false)

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