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wiki:projet:stick_slip_pierre_yousra [2020/06/01 11:44]
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wiki:projet:stick_slip_pierre_yousra [2020/10/05 14:39] (Version actuelle)
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| | ======Stick & Slip: modélisation analogique du phénomène à l’origine des séismes ====== |
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| | **Projet Fablab UE LU3ST062 Pierre Naori et Yousra Manai** |
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| | **Encadrement : L. Labrousse et P. Théry** |
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| ====== Introduction ====== | ====== Introduction ====== |
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| L’instabilité dynamique des forces de friction des failles tectoniques actives, est considérée comme le principal mécanisme qui explique le processus sismique et la récurrence des tremblements de terre depuis les travaux Brace et Byerlee (1966), entre autres. Le "stick-slip" est en effet le mécanisme le plus simple pour décrire la cyclicité sismique associée aux tremblements de terre aux limites des plaques de la lithosphère terrestre. | L’instabilité dynamique des forces de friction des failles tectoniques actives, est considérée comme le principal mécanisme qui explique le processus sismique et la récurrence des tremblements de terre depuis les travaux Brace et Byerlee (1966), entre autres. Le "stick-slip" est en effet le mécanisme le plus simple pour décrire la cyclicité sismique associée aux tremblements de terre aux limites des plaques de la lithosphère terrestre. |
| La <color #00a2e8>figure 1. A</color> montre le système constitué d'un patin dont on étudiera le comportement stick-slip. Le patin est à la position x(t) au temps t. Il est sujet à la gravité m.g et à la force de rappel **-k.x**. On note la contrainte normale **σ = mg/S**, avec S la surface de glissement du patin. Le ressort est attaché parallèlement au support et est connecté à la masse. La base du patin est en contact avec une surface mobile mise en mouvement par un moteur à vitesse u constante. La force de frottement tangentielle à la base du support s'écrit **τ = σ.μ** et est toujours dans la même direction que le mouvement de la surface. μs, μk sont les coefficients statique et dynamique de frottement, respectivement. L’équation qui représente le mouvement s'écrit: | La <color #00a2e8>figure 1. A</color> montre le système constitué d'un patin dont on étudiera le comportement stick-slip. Le patin est à la position x(t) au temps t. Il est sujet à la gravité m.g et à la force de rappel **-k.x**. On note la contrainte normale **σ = mg/S**, avec S la surface de glissement du patin. Le ressort est attaché parallèlement au support et est connecté à la masse. La base du patin est en contact avec une surface mobile mise en mouvement par un moteur à vitesse u constante. La force de frottement tangentielle à la base du support s'écrit **τ = σ.μ** et est toujours dans la même direction que le mouvement de la surface. μs, μk sont les coefficients statique et dynamique de frottement, respectivement. L’équation qui représente le mouvement s'écrit: |
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| **F = m∂<fs xx-small>t</fs>²x = -kx + τS** (1) | **F = m∂<fs xx-small>t</fs>²x = -kx + τS** (1) |
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| Au cours de la phase "statique", la vitesse est constante, donc l'accélération est nulle. Elle cesse lorsque la valeur de la force exercée par le ressort atteint la friction statique du patin | Au cours de la phase "statique", la vitesse est constante, donc l'accélération est nulle. Elle cesse lorsque la valeur de la force exercée par le ressort atteint la friction statique du patin |
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| **m.∂<fs xx-small>t</fs>²x = -kx + τS = 0** (2) avec **τ = σ.μ<fs xx-small>s</fs>** | **m.∂<fs xx-small>t</fs>²x = -kx + τS = 0** (2) avec **τ = σ.μ<fs xx-small>s</fs>** |
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| Le déplacement maximum du patin est atteint à la fin de la phase statique et sa valeur est **x<fs xx-small>1</fs> = μ<fs xx-small>s</fs>mg ⁄ k** | Le déplacement maximum du patin est atteint à la fin de la phase statique et sa valeur est **x<fs xx-small>1</fs> = μ<fs xx-small>s</fs>mg ⁄ k** |
| Dans la partie dynamique / instable du mouvement, on a τ = σ<fs xx-small>n</fs>μ<fs xx-small>d</fs> . En effet, lors du glissement, | Dans la partie dynamique / instable du mouvement, on a τ = σ<fs xx-small>n</fs>μ<fs xx-small>d</fs> . En effet, lors du glissement, |
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| **m∂<fs xx-small>t</fs>²x = -kx + τS** (3) | **m∂<fs xx-small>t</fs>²x = -kx + τS** (3) |
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| On choisit de résoudre cette équation différentielle avec X = x - μ<fs xx-small>d</fs>.(m.g)/k = x + x<fs xx-small>2</fs>. On pose ω = √(k⁄m) donc | On choisit de résoudre cette équation différentielle avec X = x - μ<fs xx-small>d</fs>.(m.g)/k = x + x<fs xx-small>2</fs>. On pose ω = √(k⁄m) donc |
| La solution s'écrit **X = Acos(ωt')+ Bsin(ωt')** avec t' = t + t<fs xx-small>1</fs> = u.t<fs xx-small>1</fs> + x<fs xx-small>1</fs> | La solution s'écrit **X = Acos(ωt')+ Bsin(ωt')** avec t' = t + t<fs xx-small>1</fs> = u.t<fs xx-small>1</fs> + x<fs xx-small>1</fs> |
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| **∂<fs xx-small>t</fs>X = -Aωsin(ωt')+ Bωcos(ωt')** | **∂<fs xx-small>t</fs>X = -Aωsin(ωt')+ Bωcos(ωt')** |
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| **x<fs xx-small>1</fs> = μ<fs xx-small>s</fs>m.g ⁄ k** et **x<fs xx-small>2</fs> = μ<fs xx-small>d</fs>m.g ⁄ k** | **x<fs xx-small>1</fs> = μ<fs xx-small>s</fs>m.g ⁄ k** et **x<fs xx-small>2</fs> = μ<fs xx-small>d</fs>m.g ⁄ k** |
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| Les conditions initiales sont telles que à t' = 0 et x=x<fs xx-small>1</fs> =x<fs xx-small>2</fs> + A et ∂<fs xx-small>t</fs>²x = u = Bω | Les conditions initiales sont telles que à t' = 0 et x=x<fs xx-small>1</fs> =x<fs xx-small>2</fs> + A et ∂<fs xx-small>t</fs>²x = u = Bω |
| On passe d'un cas statique, défini par : **kut - τS = 0** , à dynamique tel que | On passe d'un cas statique, défini par : **kut - τS = 0** , à dynamique tel que |
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| **m∂<fs xx-small>t</fs>²x = k(ut - x) + τ.S = k(ut-x) + σ.μ<fs xx-small>d</fs>** car le ressort étant en mouvement avec le patin, il dépend de la position x. | **m∂<fs xx-small>t</fs>²x = k(ut - x) + τ.S = k(ut-x) + σ.μ<fs xx-small>d</fs>** car le ressort étant en mouvement avec le patin, il dépend de la position x. |
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| On pose X = x - ut = l, la longueur du ressort : **∂<fs xx-small>t</fs>²x = ∂<fs xx-small>t</fs>²X** donc **m.∂<fs xx-small>t</fs>²X + kX = m.g.μ<fs xx-small>d</fs>**, qui se résout de la même façon. | On pose X = x - ut = l, la longueur du ressort : **∂<fs xx-small>t</fs>²x = ∂<fs xx-small>t</fs>²X** donc **m.∂<fs xx-small>t</fs>²X + kX = m.g.μ<fs xx-small>d</fs>**, qui se résout de la même façon. |
| Une première étape consiste à calculer la raideur du ressort k intervenant dans la solution analytique. Le premier cas étudié est dans la configuration du support immobile. | Une première étape consiste à calculer la raideur du ressort k intervenant dans la solution analytique. Le premier cas étudié est dans la configuration du support immobile. |
| On exprime la constante k du newton-mètre utilisé 10N à l'aide de la formule | On exprime la constante k du newton-mètre utilisé 10N à l'aide de la formule |
| **k=mg/(l-l0)** déduite de la <color #00a2e8>Fig.2.2</color> | **k=mg/(l-l0)** déduite de la <color #00a2e8>Fig.2.2</color> |
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| {{:wiki:projet:figurecalculk1.jpg?200|}} | {{:wiki:projet:figurecalculk1.jpg?200|}} |
| Résultat: D’après la figure, on mesure k = 116 N/m pour une masse de 500g et k = 113 N/m pour 200g. On prendra **k = 114 N/m** pour la suite de nos calculs. L'erreur due à cette approximation est inférieure à 1%. | Résultat: D’après la figure, on mesure k = 116 N/m pour une masse de 500g et k = 113 N/m pour 200g. On prendra **k = 114 N/m** pour la suite de nos calculs. L'erreur due à cette approximation est inférieure à 1%. |
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| Les autres cas seront étudiés dans la situation décrite par la figure 1.A avec un ressort différent. La constante de raideur du ressort n’ayant pas pu être estimée avec la méthode précédente, il a fallu la déterminer de manière graphique mais beaucoup moins précise. | Les autres cas seront étudiés dans la situation décrite par la figure 1.A avec un ressort identique mais différent du 10 N. La constante de raideur du ressort n’ayant pas pu être estimée avec la méthode précédente, il a fallu la déterminer de manière graphique mais beaucoup moins précise. |
| En effet, l'équation du mouvement peut se réécrire : <color #ed1c24>**a(t) = ∂<fs xx-small>t</fs>²x = -(k/m)x + g.μ<fs xx-small>d</fs>**</color>. Il nous suffira donc de calculer l’accélération instantanée et de tracer a(x). On obtiendra une fonction affine décroissante de pente **-k/m**. Ceci nous permettra par la même occasion de déduire (de l'ordonnée à l’origine) une valeur de μd, que l'on retrouvera à nouveau dans l'espace des phases. | En effet, l'équation du mouvement peut se réécrire : <color #ed1c24>**a(t) = ∂<fs xx-small>t</fs>²x = -(k/m)x + g.μ<fs xx-small>d</fs>**</color>. Il nous suffira donc de calculer l’accélération instantanée et de tracer a(x). On obtiendra une fonction affine décroissante de pente **-k/m**. Ceci nous permettra par la même occasion de déduire (de l'ordonnée à l’origine) une valeur de μd, que l'on retrouvera à nouveau dans l'espace des phases. |
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| <color #00a2e8>Fig.2.3: Calcul de v(t) et a(t) sur une feuille de calcul Excel</color> | <color #00a2e8>Fig.2.3: Calcul de v(t) et a(t) sur une feuille de calcul Excel</color> |
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| **Analyse vidéo:** L'outil d'analyse de vidéo Kinovea (destiné à l'analyse de petites séquences vidéo sportives) ([[https://www.kinovea.org/]] {{ :wiki:projet:kinovea_exemple_utilisation.pdf |}}) nous donne la possibilité de suivre la trajectoire x du patin avec un pas de temps **Δt= 33 ms** | **Analyse vidéo:** L'outil d'analyse de vidéo Kinovea (destiné à l'analyse de petites séquences vidéo sportives) ([[https://www.kinovea.org/]] {{ :wiki:projet:kinovea_exemple_utilisation.pdf |}}) nous donne la possibilité de suivre la trajectoire x du patin avec un pas de temps **Δt= 33 ms** |
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| Pour le cas décrit figure 1.B : À chaque instant, on suit le mouvement de l'extrémité du ressort se déplaçant à la vitesse **ut** et le mouvement de l’autre extrémité du ressort que l’on note **x**. Le données sont dans un premier temps recueillies sur SciDAVis où nous traçons la droite u(t) pour en déduire la vitesse du moteur. Sur Excel, on soustrait les valeurs x et ut qui nous donne la longueur du ressort, puis nous déterminons la vitesse instantanée comme décrit <color #00a2e8>Fig.2.3</color> | Pour le cas décrit figure 1.B : À chaque instant, on suit le mouvement de l'extrémité du ressort se déplaçant à la vitesse **ut** et le mouvement de l’autre extrémité du ressort que l’on note **x**. Le données sont dans un premier temps recueillies sur SciDAVis où nous traçons la droite u(t) pour en déduire la vitesse du moteur. Sur Excel, on soustrait les valeurs x et ut qui nous donne la longueur du ressort, puis nous déterminons la vitesse instantanée comme décrit <color #00a2e8>Fig.2.3</color> |
| Avec **k = 114 N/m** et **m = 900 ± 50g**: | Avec **k = 114 N/m** et **m = 900 ± 50g**: |
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| **μ<fs xx-small>s</fs> = x1.k ⁄ mg** | **μ<fs xx-small>s</fs> = x1.k ⁄ mg** |
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| **<color #ed1c24>__0.323≥μ<fs xx-small>s</fs>≥0.289__</color>** | **<color #ed1c24>__0.323≥μ<fs xx-small>s</fs>≥0.289__</color>** |
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| **μ<fs xx-small>d</fs> = x2.k ⁄ mg** | **μ<fs xx-small>d</fs> = x2.k ⁄ mg** |
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| **<color #ed1c24>__0.178≥μ<fs xx-small>d</fs>≥0.159__</color>** | **<color #ed1c24>__0.178≥μ<fs xx-small>d</fs>≥0.159__</color>** |
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| ==== Solution analytique ==== | ==== Solution analytique ==== |
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| La courbe représentée en pointillés noirs sur la <color #00a2e8>Fig.3.2</color> est la solution analytique ajustée à partir des paramètres: | La courbe représentée en pointillés noirs sur la <color #00a2e8>Fig.3.2</color> est la solution analytique ajustée à partir des paramètres: |
| ** x2 = 1.30** ,** u = 3.6 cm.s-1** et **ω = 9.2 rad.s-1**. (on rapelle que : | ** x2 = 1.30** ,** u = 3.6 cm.s-1** et **ω = 9.2 rad.s-1**. (on rapelle que : |
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| x = x<fs xx-small>2</fs> + x<fs xx-small>2</fs>cos(ωt) + (u ⁄ ω)sin(ωt) | x = x<fs xx-small>2</fs> + x<fs xx-small>2</fs>cos(ωt) + (u ⁄ ω)sin(ωt) |
| Dans les CI choisies, **A = x2 = 1.30** et **B = u⁄ω = 0.39 cm/rad**. Le système d’équation correspondant et déduit de la solution analytique est donc: | Dans les CI choisies, **A = x2 = 1.30** et **B = u⁄ω = 0.39 cm/rad**. Le système d’équation correspondant et déduit de la solution analytique est donc: |
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| **x = 1.30 + 1.30cos(9.2t) + 0.39sin(9.2t)** | **x = 1.30 + 1.30cos(9.2t) + 0.39sin(9.2t)** |
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| **dx/dt = 3.6cos(9.2t) - 12sin(9.2t)** | **dx/dt = 3.6cos(9.2t) - 12sin(9.2t)** |
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| La valeur de ω précédemment considérée (ω ≈ √(114/900) ≈ 11.25) a nettement été surestimée, notamment en raison d'une estimation inexacte de la masse du patin. | La valeur de ω précédemment considérée (ω ≈ √(114/900) ≈ 11.25) a nettement été surestimée, notamment en raison d'une estimation inexacte de la masse du patin. |
| On en déduit : **μ<fs xx-small>d</fs> = 0.138** et **μ<fs xx-small>s</fs> = 0.249** | On en déduit : **μ<fs xx-small>d</fs> = 0.138** et **μ<fs xx-small>s</fs> = 0.249** |
| L'ordonné à l'origine de la droite a(x) est | L'ordonné à l'origine de la droite a(x) est |
| **μ<fs xx-small>d</fs>g ≈ 135** donc on retrouve bien **μ<fs xx-small>d</fs> ≈ 0.138** | **μ<fs xx-small>d</fs>g ≈ 135** donc on retrouve bien **μ<fs xx-small>d</fs> ≈ 0.138** |
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| ==== Solution analytique ==== | ==== Solution analytique ==== |
| Paramètres associées au système étudié intervenant dans le système d'équation : **ω = 10.3 rad/s** ; **x2 = 1.28 cm** et **u = 7.6 cm/s** | Paramètres associées au système étudié intervenant dans le système d'équation : **ω = 10.3 rad/s** ; **x2 = 1.28 cm** et **u = 7.6 cm/s** |
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| **x = 1.28 + 1.28cos(10.3t)+ 0.74sin(10.3t)** | **x = 1.28 + 1.28cos(10.3t)+ 0.74sin(10.3t)** |
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| **dx/dt = 7.6cos(10.3t) - 13.2sin(10.3t)** | **dx/dt = 7.6cos(10.3t) - 13.2sin(10.3t)** |
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| On voit que l' ellipse tracé à partir de ce système coïncide assez bien avec la courbe expérimentale. | On voit que l' ellipse tracé à partir de ce système coïncide assez bien avec la courbe expérimentale. |
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| **x = 1.04 + 1.04*cos(13.73t)+ 0.594*sin(13.73t)** | **x = 1.04 + 1.04*cos(13.73t)+ 0.594*sin(13.73t)** |
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| **dx/dt = 8.15*cos(13.73t) - 14.28*sin(13.73t)** | **dx/dt = 8.15*cos(13.73t) - 14.28*sin(13.73t)** |
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| On parvient à reproduire assez fidèlement la courbe expérimentale. | On parvient à reproduire assez fidèlement la courbe expérimentale. |
| l'expérience. Pour les derniers épisodes de glissement, on trouve : | l'expérience. Pour les derniers épisodes de glissement, on trouve : |
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| ** u = 11.5 cm.s-1**, **x1 = 3.55 cm** et **x2 = 1.9 cm** | ** u = 11.5 cm.s-1**, **x1 = 3.55 cm** et **x2 = 1.9 cm** |
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| **k/m = 72 rad/s²** | **k/m = 72 rad/s²** |
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| **__μ<fs xx-small>s</fs> = 0.261__** et **__μ<fs xx-small>d</fs> = 0.139__** | **__μ<fs xx-small>s</fs> = 0.261__** et **__μ<fs xx-small>d</fs> = 0.139__** |
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| On a également : **μ<fs xx-small>d</fs> = 138/9.81 = 0.141** | On a également : **μ<fs xx-small>d</fs> = 138/9.81 = 0.141** |
| * [[http://www.chimix.com/an8/concours8/corbeil81.htm]] | * [[http://www.chimix.com/an8/concours8/corbeil81.htm]] |
| * Stick Slip, Stable Sliding, and Earthquakes - Effect of Rock Type, Pressure, Strain Rate, and Stiffness, JAMES D. BYERLEE,W.F. BRACE | * Stick Slip, Stable Sliding, and Earthquakes - Effect of Rock Type, Pressure, Strain Rate, and Stiffness, JAMES D. BYERLEE,W.F. BRACE |
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