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====== Étude des frottements ======

On cherche ici à estimer les coefficients de frottement statique $\mu_s$ et dynamique $\mu_d$. Pour cela, on se servira de notre tube en plastique et de l'aimant cylindrique. \\
On place l'aimant dans le tube incliné d'un angle $\alpha$ comme représenté sur le schéma ci dessous : \\

{{ :wiki:projet:l3phys2021:lu3py024g1:schema_pfd.png?400 |}}

Le projectile est alors soumis aux forces : \\

$\overrightarrow P = - P \overrightarrow{u_y} \quad$ où  $\quad P=mg$ \\
$\overrightarrow F = - F \cos \alpha \overrightarrow{u_x} + F \sin \alpha \overrightarrow{u_y}$ \\
$\overrightarrow N = N \sin \alpha \overrightarrow{u_x} + N \cos \alpha \overrightarrow{u_y}$ \\

On peut alors appliquer le principe fondamental de la dynamique suivant $\overrightarrow{u_x}$ et $\overrightarrow{u_y}$ : \\

$$
\left\{\begin{matrix}
m \ddot{\overrightarrow{x}} = \left( N \sin \alpha - F \cos \alpha \right) \overrightarrow{u_x}  \\ 
m \ddot{\overrightarrow{y}} = \left( N \cos \alpha + F \sin \alpha - P \right) \overrightarrow{u_y}
\end{matrix}\right. 
\quad  \Rightarrow   \quad 
\left\{\begin{matrix}
\dot{x} = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \sin \alpha - F \cos \alpha \right).t + v_{0x} \\ 
\dot{y} = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \cos \alpha + F \sin \alpha - P \right).t  + v_{0y}
\end{matrix}\right.
$$


====Cas statique====
Dans le cas statique, la norme de $\overrightarrow F$ est telle que $F \leq \mu_s N$. \\
On considère le cas statique, c'est à dire tel que la vitesse du projectile soit nulle. On peut alors simplifier le PFD : 
$$
\left\{\begin{matrix}
0 = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \sin \alpha - F \cos \alpha \right).t + v_{0x} \\ 
0 = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \cos \alpha + F \sin \alpha - P \right).t  + v_{0y}
\end{matrix}\right.
\quad \Rightarrow \quad 
\left\{\begin{matrix}
N \sin \alpha = F \cos \alpha \\
N \cos \alpha + F \sin \alpha 
\end{matrix}\right.
$$
On peut donc déduire de la première équation que $F = N \tan \alpha$ \\
On cherche alors l'angle maximal d'inclinaison tel que le projectile reste statique pour que $F = \mu_s N$. Dans ce cas : $\mu_s= \frac FN = \tan \alpha$. \\

On réalise donc la manipulation suivante : on place le projectile dans le tube, puis on incline le tube jusqu'à ce que le projectile commence à glisser le long du tube. \\
VIDEO \\
Sur un logiciel de traitement vidéo (on utilise ici le logiciel //Tracker//), on sélectionne la dernière image où le projectile reste immobile, puis on calcule l'angle d'inclinaison du tube.  \\

{{ :wiki:projet:l3phys2021:lu3py024g1:angle1.png?600 |}}

L'angle indiqué ici est donc (en norme absolue) $\alpha = 27.3°$, ce qui nous donne un coefficient de frottement statique $\mu_s = 0.52$

====Cas dynamique====
On cherche maintenant à estimer le coefficient de frottement dynamique (ce qui est plus intéressant pour nous puisque notre projectile est en mouvement dans notre canon électromagnétique). Dans le cas dynamique, on a $F = \mu_d N$. \\
On peut réécrire notre PFD de la forme :
$$
\left\{\begin{matrix}
\dot{x} = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \sin \alpha - F \cos \alpha \right).t + v_{0x} = At + B \\ 
\dot{y} = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \cos \alpha + F \sin \alpha - P \right).t  + v_{0y} = A't + B'
\end{matrix}\right.
$$
Grâce au logiciel //Tracker//, on peut modéliser la trajectoire du projectile. On s'intéresse aux courbes des vitesses selon $x$ et $y$ en fonction du temps. On fait une justement linéaire. //Tracker// nous donne ainsi directement les valeurs de $A$ et $B$. La résolution du système ci dessus nous permet alors de calculer numériquement $N$ et $F$ et ainsi de calculer $\mu_d = \frac FN$. \\

{{:wiki:projet:l3phys2021:lu3py024g1:vx.png?400|}}
{{ :wiki:projet:l3phys2021:lu3py024g1:vy.png?400|}}

Les vitesses initiales $v_{0x}=B$ et $v_{0y}=B'$ sont quasiment nulles. On s'intéresse plutôt à $A$ et $A'$. Notre système devient alors : 
$$
\left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{1}{m} \left( N \sin \alpha - F \cos \alpha \right) = A \\ 
\displaystyle \frac{1}{m} \left( N \cos \alpha + F \sin \alpha - P \right) = A'
\end{matrix}\right.
$$
On trouve ainsi $N=0.036$ et $F=0.018$ soit $\mu_d = 0.5$. \\

En accord avec la théorie, on trouve que le coefficient de frottement statique est légèrement plus élevé que le coefficient de frottement dynamique.
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