====== Résonance du ballon ======
=== Hypothèses ===
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 On assimile le ballon à une sphère de rayon R

 On néglige tout phénomène de dissipation
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=== Expression de l'équation de propagation ===
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Équation de propagation d'une onde dite équation de D’Alembert: 

\begin{equation}

\Box p=0
          
\end{equation}

$p$: surpression induite par l'onde dans le milieux

\begin{equation}
\Box = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta
\end{equation}

On a $\Delta$ , le laplacien en coordonnées sphériques dans notre cas. Ce Laplacien s'écrit:

\begin{equation}

\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

\end{equation}

On applique l'opérateur $\Box$ à p:

\begin{equation}

\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial p}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial p}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 p}{\partial \phi^2}= 0

\end{equation}
La solution de l'équation est de la forme [1]:

\begin{equation}

p(r,\theta,\phi,t) = p_{0}J_{l}(kr)P^{l}_{m}(cos(\theta)sin(m\phi))e^{iwt}

\end{equation}

l et m sont des entiers relatifs

J: fonction de Bessel

P: polynôme de Legendre

Le terme en exponentielle est un terme de phase globale, pour nos résultats on s'intéresse uniquement au module de p.

On cherche les configurations pour lesquelles p=0 c'est à dire un ventre de pression. On s'intéresse à l'ordre le plus simple. On a donc l=m=0. Le polynôme de Legendre est égal à 1 et la fonction de Bessel à l'ordre 0 est égale à: Sinc(kr) avec Sinc la fonction sinus cardinal et k le nombre d'onde k=$\frac{w}{v}$. De plus, en utilisant les conditions au bord de la sphére tel que la surpression est nulle (p=0), on peut déduire le résultat suivant

On cherche donc:

\begin{equation}

Sinc(\frac{wR}{v})=0\\
\frac{wR}{v}=\pi n\\
w=\frac{v\pi}{R} n\\

\end{equation}

Ou encore:

\begin{equation}

f_{l=0}=\frac{v}{2R} n

\end{equation}
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=== Application numérique ===
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On considère comme dans notre cas une sphère de 100 mL ($10^{-4} m^{3}$) et une vitesse v de propagation de l'onde dans l'eau à 18 degré de v=1470 m/s.

On associe le rayon au volume:

\begin{equation}

R=(\frac{3V}{4\pi})^{\frac{1}{3}}

\end{equation}
On remplace dans l'équation de la fréquence:
\begin{equation}

f_{l=0}=\frac{v}{2}(\frac{4\pi}{3V})^{\frac{1}{3}} n

\end{equation}

On a pour n=1, c'est à dire la fondamentale pour l=0:

\begin{equation}

f_{l=0,n=1}=\frac{1480}{2}(\frac{4\pi}{3 10^{-4}})^{\frac{1}{3}} = 25,695 kHz

\end{equation}
On a donc pour n=1,2,3,4:
\begin{equation}

f_{l=0,n=1}=25,695 kHz\\
f_{l=0,n=2}=51,390 kHz\\
f_{l=0,n=3}=77,085 kHz\\
f_{l=0,n=4}=102,780 kHz\\

\end{equation}

Ces résultats théoriques sont à comparer avec les résultats expérimentaux.

=== Source ===

[1] Sonoluminescence par F. Ronald Young (https://books.google.ca/books?id=e3DY-oGatgoC&pg=PA67#v=onepage&q=bessel&f=false)