Étude des frottements

On cherche ici à estimer les coefficients de frottement statique $\mu_s$ et dynamique $\mu_d$. Pour cela, on se servira de notre tube en plastique et de l'aimant cylindrique.
On place l'aimant dans le tube incliné d'un angle $\alpha$ comme représenté sur le schéma ci dessous :

Le projectile est alors soumis aux forces :

$\overrightarrow P = - P \overrightarrow{u_y} \quad$ où $\quad P=mg$
$\overrightarrow F = - F \cos \alpha \overrightarrow{u_x} + F \sin \alpha \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow N = N \sin \alpha \overrightarrow{u_x} + N \cos \alpha \overrightarrow{u_y}$

On peut alors appliquer le principe fondamental de la dynamique suivant $\overrightarrow{u_x}$ et $\overrightarrow{u_y}$ :

$$ \left\{\begin{matrix} m \ddot{\overrightarrow{x}} = \left( N \sin \alpha - F \cos \alpha \right) \overrightarrow{u_x} \\ m \ddot{\overrightarrow{y}} = \left( N \cos \alpha + F \sin \alpha - P \right) \overrightarrow{u_y} \end{matrix}\right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{matrix} \dot{x} = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \sin \alpha - F \cos \alpha \right).t + v_{0x} \\ \dot{y} = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \cos \alpha + F \sin \alpha - P \right).t + v_{0y} \end{matrix}\right. $$

Dans le cas statique, la norme de $\overrightarrow F$ est telle que $F \leq \mu_s N$.
On considère le cas statique, c'est à dire tel que la vitesse du projectile soit nulle. On peut alors simplifier le PFD : $$ \left\{\begin{matrix} 0 = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \sin \alpha - F \cos \alpha \right).t + v_{0x} \\ 0 = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \cos \alpha + F \sin \alpha - P \right).t + v_{0y} \end{matrix}\right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{matrix} N \sin \alpha = F \cos \alpha \\ N \cos \alpha + F \sin \alpha \end{matrix}\right. $$ On peut donc déduire de la première équation que $F = N \tan \alpha$
On cherche alors l'angle maximal d'inclinaison tel que le projectile reste statique pour que $F = \mu_s N$. Dans ce cas : $\mu_s= \frac FN = \tan \alpha$.

On réalise donc la manipulation suivante : on place le projectile dans le tube, puis on incline le tube jusqu'à ce que le projectile commence à glisser le long du tube.
VIDEO
Sur un logiciel de traitement vidéo (on utilise ici le logiciel Tracker), on sélectionne la dernière image où le projectile reste immobile, puis on calcule l'angle d'inclinaison du tube.

L'angle indiqué ici est donc (en norme absolue) $\alpha = 27.3°$, ce qui nous donne un coefficient de frottement statique $\mu_s = 0.52$

On cherche maintenant à estimer le coefficient de frottement dynamique (ce qui est plus intéressant pour nous puisque notre projectile est en mouvement dans notre canon électromagnétique). Dans le cas dynamique, on a $F = \mu_d N$.
On peut réécrire notre PFD de la forme : $$ \left\{\begin{matrix} \dot{x} = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \sin \alpha - F \cos \alpha \right).t + v_{0x} = At + B \\ \dot{y} = \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \cos \alpha + F \sin \alpha - P \right).t + v_{0y} = A't + B' \end{matrix}\right. $$ Grâce au logiciel Tracker, on peut modéliser la trajectoire du projectile. On s'intéresse aux courbes des vitesses selon $x$ et $y$ en fonction du temps. On fait une justement linéaire. Tracker nous donne ainsi directement les valeurs de $A$ et $B$. La résolution du système ci dessus nous permet alors de calculer numériquement $N$ et $F$ et ainsi de calculer $\mu_d = \frac FN$.

Les vitesses initiales $v_{0x}=B$ et $v_{0y}=B'$ sont quasiment nulles. On s'intéresse plutôt à $A$ et $A'$. Notre système devient alors : $$ \left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \sin \alpha - F \cos \alpha \right) = A \\ \displaystyle \frac{1}{m} \left( N \cos \alpha + F \sin \alpha - P \right) = A' \end{matrix}\right. $$ On trouve ainsi $N=0.036$ et $F=0.018$ soit $\mu_d = 0.5$.

En accord avec la théorie, on trouve que le coefficient de frottement statique est légèrement plus élevé que le coefficient de frottement dynamique.