Mesures du champ dans la bobine

On se propose ici de mesurer le champ magnétique au centre de la bobine en fonction du courant circulant dans celle-ci. Pour cela, on dispose d'un gaussmètre, de notre bobine ainsi que d'un générateur de courant. Le montage est très simple : on branche la bobine directement au générateur de courant, et on vient mettre le gaussmètre dans la bobine, comme le montrent le schéma et la photographie qui suivent.

Le protocole expérimental est très simple. On cherche à se placer au centre de la bobine. Pour cela, on met un courant quelconque et on cherche à l'aide du gaussmètre la position où le champ magnétique est le plus intense dans la bobine et on ne bouge plus l'appareil. On peut ensuite faire varier l'intensité du courant de 0 à 10 A par pas de 0,5 et mesurer à chaque fois l'intensité donnée par le gaussmètre. Il est primordial de compter le nombre de spires de la bobine ainsi que de mesurer sa longueur aussi précisément que possible. Son diamètre est à peu près celui du tube.

Le traitement des données est réalisé sur Python et permet d'obtenir le graphique ci-dessus. En faisant un ajustement linéaire $B=AI$, on trouve $$ \boxed{A = \left(\,739,8\,\pm\,0,6\,\right)~\mathrm{nT/A}.} $$

Pour vérifier si cela est cohérent avec ce qui est attendu de la théorie, on peut partir du champ magnétique généré par la bobine dont l'expression a été trouvée dans la section I.2.. On peut schématiser plus précisément la situation de l'expérience afin d'obtenir une expression plus simple. Le champ s'écrit alors $$ \overrightarrow{B}(\mathrm{O})=\frac{N\mu_0I}{2L}\left(\cos{\theta_2}-\cos{\theta_1}\right)\,\vec{e_z}=\frac{N\mu_0I}{2L}\left[\cos{\theta_2}-\cos{\left(\pi-\theta_2\right)}\right]\,\vec{e_z}=\frac{N\mu_0I}{L}\cos{\theta_2}\,\vec{e_z} $$ et l'on peut écrire $$ \cos{\theta_2}=\frac{L/2}{\sqrt{R^2+\left(L/2\right)^2}}=\frac{L}{\sqrt{4R^2+L^2}}$$ ce qui nous permet de simplifier le champ : $$ \boxed{B=\frac{N\mu_0}{\sqrt{4R^2+L^2}}I.} $$ Ceci montre que l'on peut déduire de nos mesures une valeur de $\mu_0$ expérimentale, que l'on note $\mu_0^\text{exp}$ et dont l'expression est donc $$\mu_0^\text{exp}=\frac{A\sqrt{4R^2+L^2}}{N}.$$ Les mesures de $A$, $R$ et $L$ ayant été réalisées de façon indépendante, on peut utiliser la formule de propagation des incertitudes pour calculer l'erreur sur notre mesure : $$\Delta\mu_0^\text{exp}=\sqrt{\left(\frac{\partial\mu_0^\text{exp}}{\partial A}\Delta A\right )^2+\left(\frac{\partial\mu_0^\text{exp}}{\partial R}\Delta R\right )^2+\left(\frac{\partial\mu_0^\text{exp}}{\partial L}\Delta L\right )^2}$$ où l'on a considéré une incertitude nulle pour $N$ (a priori on sait bien compter…). Tous calculs faits, on obtient l'horrible expression suivante $$ \Delta\mu_0^\text{exp}=\frac{A}{N\sqrt{4R^2+L^2}}\sqrt{\left(\left(4R^2+L^2 \right)\frac{\Delta A}{A}\right)^2+\left(4R\Delta R\right)^2+\left(L\Delta L\right)^2}.$$ Pour $L=\left(\,2,8\,\pm\,0,3\,\right)~\mathrm{cm}$ et $R=\left(\,2,3\,\pm\,0,2\,\right)~\mathrm{cm}$, on trouve $\Delta\mu_0^\text{exp}=0,09~\mathrm{\mu T\cdot m\cdot A^{-1}}$. On a donc finalement $$\boxed{\mu_0^\text{exp}=\left(\,1,33\,\pm\,0,09\,\right)~\mathrm{\mu T\cdot m\cdot A^{-1}}.}$$ Étant donné que la valeur théorique est $\mu_0=1,256~\mathrm{\mu T\cdot m\cdot A^{-1}}$, on peut considérer nos mesures comme tout à fait réussies : la valeur théorique rentre dans l'encadrement avec les incertitudes et l'erreur relative n'est que de $5\%$. Étant donné le montage de piètre qualité que nous avons utilisé, on peut considérer que ce n'est pas mal du tout. Le faible écart peut aussi bien être dû à l'erreur sur la mesure de $R$ que celle sur la mesure de $L$. L'erreur sur nos mesures du champ magnétique — et donc sur $A$ — est beaucoup moins impactante. Pour améliorer notre résultat, il faudrait mesurer avec une grande précision $L$ et $R$ : cela peut être une idée.