Hydrolienne
Etudiants : Charline KEBCI charline.kebci@etu.sorbonne-universite.fr
Joas JORON joas.joron@etu.sorbonne-universite.fr
Joris PINEDA joris.pineda@etu.sorbonne-universite.fr
David SIMONIAN david.simonian@etu.sorbonne-universite.fr
Martina MAI martina.mai@etu.sorbonne-universite.fr
Enseignant référent : Ferdinand CLAUDE ferdinand.claude@lkb.upmc.fr
Diagramme de Grant
https://1drv.ms/x/s!ApiqaQn5ETP6lif3mGx97rtn36qG?e=GWYIDx
Journal de bord
03/02/2021 - Tout le groupe en distanciel
Formation du groupe et premières idées de sujets : réaliser et étudier les propriétés d’une hydrolienne et observation du Soleil grâce à un télescope pour en étudier les tâches solaires.
10/02/2021 - Charline, David, Joas et Martina en présentiel, Joris en distanciel
Approfondissement sur les deux sujets : recherches sur l'hydrolienne et sur les tâches solaires. On s'est aperçu que le deuxième sujet était très complexe et qu'il n'y avait pas vraiment d'expériences réalisables, l’aspect était plus théorique. En revanche, on s’est aperçus que l’hydrolienne est un sujet que l’on pouvait largement exploité aussi bien expérimentalement (réalisation d’une hydrolienne miniature par impression 3D) que théoriquement (calcul de puissance et d'énergies, mécanique du fluide).
17/02/2021 - Tout le groupe en présentiel
Rencontre avec notre référent où nous lui avons exposé nos deux idées. Il nous a conseillé de choisir l'hydrolienne car en effet, le télescope entrait moins dans le cadre de l'UE car il offrait moins d'expériences à réaliser. Nous avons donc choisit d'étudier l'hydrolienne. On a commencé à lister ce dont on avait besoin pour la confection de celle-ci : un alternateur capable de convertir de l'énergie mécanique qui lui est donné, en électrique, une imprimante 3D pour confectionner les hélices et autres pièces de l'hydrolienne. Au niveau de la théorie, on a pensé dans un premier temps à étudier la mécanique du fluide avec le débit volumique utilisé et le couple de force appliqué à l'hélice ; dans un second temps on a pensé à étudier la puissance électrique récupérer avec l'alternateur grâce au ferromagnétique et à la bobine contenus dans le moteur créant un champ B (équation de Maxwell). On pense ainsi comparer la puissance électrique théorique récupérer avec celle de notre expérience.
03/03/2021 - Tout le monde en présentiel
On s'est concentrés sur deux idées d'expérience : construire un barrage hydraulique ou fabriquer une hydrolienne du même type que la turbine de Pelton (jet d'eau envoyé directement sur la turbine). On pense plutôt créer une turbine de Pelton. Dès la semaine prochaine on commencera à dessiner les hélices de la turbine sur solidworks (ou autre logiciel), on aura besoin d'une planche en bois afin de fixer la turbine et de la relier à l'alternateur. Il nous faudra aussi un tuyau d'eau afin de créer un jet d'eau. Enfin, nous avons trouvé dans les salles de projet des bacs, pouvant servir de bacs à eau pour notre experience. Concernant la théorie, on parlera d'une part de mécanique des fluides(hypothèses utilisées, équations de Navier-Stokes, Bernoulli) et d'autre part du mécanisme de l'alternateur (électromagnétisme) et de la puissance électrique récupérée. Afin de calculer notre débit volumique, on utilisera le bac dans lequel on remplira l'eau. On mesurera différents volumes à différents temps. On pourra ainsi récupérer la vitesse de notre fluide grâce à la section de notre tuyau. On cherche a avoir un débit assez fort pour produire une bonne puissance électrique. Pour cela, on utilisera une buse qui réduira la section de sortie du tuyau (Bernoulli).
Au cours de la semaine, nous avons réfléchi à nos objectifs et ainsi déterminé quelques cas d’étude
Réflexion théorique sur la puissance d’une hydrolienne:
Nous cherchons dans notre projet à déterminer un rendement. Nous voulons donc faire le rapport entre la puissance électrique produite et de la puissance physique de l’écoulement sur l’hydrolienne.
Quelques données intéressante trouvée: Performance: Puissance Hydrolienne< Puissance écoulement du fluide Puissance du fluide Pfluide = Cp.Pécoulement =1/2ρSCp(V)^3 Cp=Péolienne/Pcourant avec Cp coefficient de puissance dépend de la vitesse de rotation P=C2piN avec C(couple moteur) N (vitesse de rotation) (à vérifier avec notre étude théorique)
Cas1: Hélice (plongée) dans un écoulement simple:
Supposons un écoulement d’un fluide newtonien dans un cylindre de rayon R, avec un gradient de pression. L’écoulement est supposé laminaire, incompressible et stationnaire. Les forces volumiques sont négligées. Nous avons donc avec Navier Stokes σ = −pI + 2μD + λ(trD)I
μ= cste, Débit massique constant Dm=cst, ∂(.)/∂t=0 , ρ=cste donc div V = 0 (conservation de la masse ), Symétrie du cylindre ∂(.)/∂teta=0 ( axisymétrie) Premier problème dans ce cas de figure: Pour avoir un écoulement établi selon l’axe du cylindre nous devons être hors des couches limites c’est à dire « loin des extrémités » du tuyau. Physiquement nous devons mettre les hélices de notre hydrolienne au centre d’un cylindre assez long afin de faciliter les calculs (tel que Longueur du cylindre » R) . Dans le cas contraire, il faudrait réaliser une approximation de l’écoulement dans la couche limite, c'est-à-dire faire l’approximation d’un écoulement parallèle aux parois. Régime établie selon ex donc: ∂V/∂X=0
Supposons ce cas idéal « réalisable ». Conditions aux limites: P(x=0)= Patm + ΔP P(x=L)=Patm P(x=position de l’hélice)=? Vitesse en V(r=R1)=0
Second problème: En théorie lorsque le fluide rencontre la surface des hélices, la pression varie, la vitesse du fluide diminue jusqu'à l’interface. Troisième problème: L’écoulement du fluide après l’hydrolienne n’est plus supposé laminaire et établie. Cependant nous voulons récupérer σ afin de déterminer σ.n dS = force exercée par le fluide sur la surface. Ce qui se passe après l’hydrolienne ne nous intéresse pas.
Cas 2: Système fermé:
Avec les mêmes conditions que celles vues précédemment, essayons de déterminer la puissance de l'écoulement. -Quantité de mouvement: dP/dt= lim P(t+dt) - P(t) /dt = Dm(V2-V1)= Σ Fext
Σ Fext = P + R + Fpression
avec Fpression= PatmS1 - Patm S2P1S1- P2 S2 si S1=S2 on as
Dm(V2-V1)=(P1-P2)S
-Par continuité du débit: sur la même ligne de courant a la limite des hélices
Dm=V avant.Sh.μ= Vaprés.Sh.μ
& F fluide/hélice= (Pavant - Paprès) Sh
-En appliquant Bernoulli (sans pesanteur) avant et après l’hélice:
F fluide/hélice= Sh*( (P1-P2)+ μ*(v1^2 - V2^2)/2 )
-La puissance en fonction de la vitesse dans le cas de l’hydrolienne:
P = F*Vh = Dm*(V2-V1) =μ*Sh*Vh*(V2-V1)
Problèmes de ce cas de figure: Problème théorique: les hypothèses ne sont pas forcément justes, par exemple pour appliquer Bernoulli Re<ReCritique. Problème de mesure physique: comment mesurer précisément la vitesse avant l’hydrolienne et celle d'après, pendant l’écoulement?
Cas 3: Hydrolienne type pelton:
Les hélices subissent une forte pression ciblée sur une surface. Contrairement au cas précédent, elle n’est pas plongée dans le fluide.
10/03/2021 - David, Joas et Martina en présentiel
Pour la conception de la turbine de Pelton, nous allons fixer un roulement à billes à la paroi de notre bac à eau, cela permettra de limiter les frottements avec la paroi lorsque l'hydrolienne tournera. David a pu récupérer un tuyau de douche avec un joint qui s'adapte parfaitement au robinet de la salle de projet. Pour récupérer informatiquement la puissance produite, nous avons pensé à relier un montage Arduino (inspiré de celui-ci : https://skyduino.wordpress.com/2012/07/03/arduino-faire-des-benchmark-de-piles-lr6-aaa/) à notre alternateur. On s'est demandé s'il fallait placer l'hydrolienne de manière verticale ou horizontale par rapport au bac, nous avons décidé qu'il était plus convenable de placer l'hydrolienne horizontalement et de la fixer à une paroi latérale. Le tuyau sera donc logiquement fixé sur la paroi du dessus du bac.
Au cours des dernières semaines Joas a modélisé le profil des hélices de l'hydrolienne.
Dessin 3D réalisé avec Inventer Autodesk.
17/03/2021 - David, Joas, Martina et Charline en présentiel
Nous avons calculer notre débit volumique. Pour cela nous avons utilisé un tuyau dont la section sortante est réduite. Le diamètre est de 7mm. Ainsi, la section S=pi*r^2 nous donne S=38mm^2. On a rempli notre bac d'eau tout en chronométrant la manipulation et on mesure la masse obtenue. En 20s nous avons une masse d'eau de 3098g. Sachant que la masse volumique de l'eau est d'environ de ρ=997kg/m^3 on trouve que notre débit volumique est Dv=m/ρΔt=1,54×10^(-4). Grâce à notre section de tuyau on retrouve la vitesse de notre fluide : v=Dv/S=4,03 m/s.
Pour la suite, après avoir confectionné notre hydrolienne, il faudra calculer sa vitesse de rotation pour ensuite trouver le nombre de tour par minute. Pour cela on utilisera des bilan de moment cinétique et des bilan d'énergie mécanique. On aura besoin de trouver le couple de force exercé sur notre turbine qui est égale à la force de pression de notre fluide x le diamètre de notre turbine. On peut retrouver les forces de pression grâce a l'équation de bernoulli, seulement dans la mesures ou ses hypothéses sont vérifié. Nous négligerons alors la différence d'altitude.
Au cours de la semaine, nous avons réfléchi à la conversion mécanique/électronique
Flux Magnétique:
Φ = B.S avec B en [T] S en [m^2]
Φ=B.Scos(α). α angle en S et B
Dans une bobine Φtot est proportionnel a N*Φ. Où N est le nombre de spires.
Induction magnétique: Lorsque la surface d’un circuit est soumise à une variation du flux magnétique, cette variation génère un potentiel, une tension au bornes de ce circuit. F est la force électromotrice en V dΦ/dt ≠ 0 ⇒Tension électrique
Maxwell-Faraday nous donne: ∇^E=-∂B/∂t
Réalisons un cas simple, tel qu'un cadre conducteur avec un barreau conducteur: avec W l’énergie P la puissance F la force électromotrice en V
Wmot=Fmot.Δx=B.I.L.Δx et ΔΦ=-B.L.Δx ⇒ Wmot=-ΔΦ.I
P=U.I ⇒ Wél=U.I.Δt=-ΔΦ.I ⇒ U=-ΔΦ/Δt
Si on généralise à N spires U=-N.ΔΦ/Δt et l’intensité du courant induit I= -(N/R)*(ΔΦ/Δt)
Conclusion:
Puis que Pélec=U.I alors Pélec et fonction de B, S, N c'est-à-dire les dimensions physique de notre alternateur. Or nous ne fabriquons pas d’alternateur, notre alternateur est fourni par l’Université. Nous ignorons le nombre de bobines, de spires ainsi que les dimensions du rotor et du stator de l’alternateur. Le rendement total de notre hydrolienne dépend fortement des paramètres de l’alternateur. Si le rendement est trop faible il faudrait alors optimiser un alternateur selon les caractéristiques de l'hydrolienne.
24/03/2021 - David, Joas, Martina et Charline en présentiel
Dans la semaine, Joas a fait imprimer le modèle de notre Hydrolienne, après plusieurs échecs d'impressions,
voici les résultats:
On a remarqué quelques défauts d'impression au niveau des pâles et du bâti : il nous manquait une pâle et le bâti n'avait pas les bonnes dimensions donc on a décidé de relancer une impression ; certaines pâles n'avaient pas les bonnes dimensions et ne permettaient pas d'emboiter toutes les pâles sur le bâti. Il a fallu les polir.
-Pour récupérer la puissance électrique fournie par notre hydrolienne on a pensé à utiliser un programme arduino qui lit la tension reçue U. On utilise une résistance dans notre montage afin de récupérer la valeur de l'intensité I=U/R puis on retrouve la puissance P=U*I. Cependant notre programme n'est pas encore au point car il ne fonctionne pas.
Par ailleurs, nous avons trouvé deux alternateurs, il faudra les essayer pour vérifier lequel des deux permet de produire une plus grande tension et surtout lequel des deux est le plus compatible à notre système:
31/03/2021 - - David, Joas, Martina et Charline en présentiel
Dans la semaine, Joas a réussi à réimprimer les pièces manquantes de la semaine dernière. On a trouvé un manchon (adaptateur pour fixer l'alternateur à la tige) et une tige filletée afin de relier l'hydrolienne et l'alternateur. Le manchon est une pièce importante pour notre experience. Par ailleurs, on peut remarquer que la pièce est “élastique”, la conception de la pièce permet une certaine fléxibilité.
La tige joue le rôle d'arbre de transmission, son diamètre correspond parfaitement au diamètre du trou central de l'hydrolienne. En vissant à la main, la tige à l'hydrolienne, l'intérieur du trou central à donc pris la forme du filletage puisque qu'il tourne parfaitement. Avec deux écrous il suffit de les placer avant et après l'hydrolienne sur la tige et de bien les fixer. En testant à la main, la diode s'allume. Il faut bien faire attention à maintenir l'alternateur fixe par rapport au reste, sinon rien ne se passe et forcément l'alternteur ne fait pas son travail d'allumer la diode. On a essayé avec notre tuyau d'eau et on s'est aperçu qu'elle tournait lorsque l'eau arrive tangent à l'hydrolienne : l'eau doit taper au centre des pâles. En effet, la position du tuyau d'eau est donc très importante, à quelques centimètres près, l'hydrolienne ne tourne pas.
La prochaine étape est de trouver un moyen de fixer notre montage dans un bac et d'adapter le montage avec notre entrée d'eau. Pour cela on utilisera un roulement à billes qui sera collée au niveau du trou de la paroi du bac afin d'éviter d'avoir des frottements au niveau de la tige.
Dans la semaine, Joas imprimera une pièce pour fixer l'alternateur et commencera à fixer l'hydrolienne au bac. Nous avons décidé de conserver l'alternateur le plus gros car il était plus compatible avec le reste des pièces.
07/04/2021 - David, Joas, Martina en présentiel et Charline en distanciel
Aujourd'hui nous avons commencé à travailler sur le bac à eau pour adapter tout notre système, à l'experience que nous voulons réaliser. Tout d'abord, on a vissé l'alternateur à la pièce qui va se fixer à la paroi. David et Joas ont ensuite percé les trous sur le côté du bac pour fixer l'alternateur à la paroi.
Le premier trou central est pour le roulement à bille. Nous avons ensuite percé quatre autre trous pour la pièce fixative.
Malheureusement, on s'est aperçus par la suite en essayant de faire un test, que la position des trous était mauvaise: le manchon élastique se décalait vers un côté. Ainsi le trou central n'était en fait pas vraiment au centre. D'où l'utilité d'avoir un manchon élastique ! En effet, le manchon qui était accroché à l'alternateur, en passant par le roulement à bille, nous permet tout de même d'avoir une marge d'erreur grâce à son élasticité. Mais, cette marge d'erreur était trop grande, nous avons donc décidé d'améliorer la précision des trous et de réitérer l'opération. Cette fois-ci, après visser les vis, le manchon était presque droit, cela voulait dire que le trou central était presque au centre.
Nous tenions absolument à faire un test pour voir si notre système adapté au bac à eau fonctionnait. En effet, il fallait encore collé et fixer le roulement à bille à la paroi et bien serrer les écrous à l'hydrolienne; mais on s'est tout de même permis de réaliser un premier test qui s'est avéré être concluant et très intéressant : nous avons pu allumer la diode !
Comme nous pouvons le voir sur la vidéo la position du tuyau est cruciale.En effet, le jet d'eau doit être tangent aux pâles pour que l'hydrolienne tourne. La semaine prochaine, après fixation du roulement à bille à la paroi nous déterminerons avec précision la position que doit avoir le tuyau, puis nous percerons un trou sur le couvercle du bac pour le fixer.
A l'aide d'un voltmètre, nous avons mesuré la tension aux bornes de la diode lorsque l'hydrolienne tournait. La tension maximale était de 2,7V. Le courant atteignait la valeur maximale de 0,6 mA. Il est important de préciser que les valeurs variaient significativement tout au long de l'expérience cela est du au fait que notre roulement à billes n'était pas bien fixé à la paroi (à la fin de l'expérience il s'est même décroché) et comme le tuyau n'était pas fixé, sa position bougeait au cours du temps et donc l'hydrolienne ne tournait pas en continu. Ces améliorations seront apportées la semaine prochaine !
De son côté, Charline a travaillé sur le code arduino. Le code semble finalement bon mais c'est le montage qui ne permettait pas de fermer correctement le circuit. Il faudra donc tester le code avec le montage suivant :
où le servo sera notre alternateur.
Il est nécessaire d'utiliser une alimentation de 5V externe car l'alternateur consomme trop de courant ce qui déclenche le fusible électronique de la carte Arduino et le fait redémarrer. Il faudra voir si il est nécessaire d'utiliser aussi le condensateur qui permet de résoudre les problèmes d'oscillations.
14/04/2021 -Charline, Martina, Joas et David en présentiel
Aujourd'hui nous avons finalisé le montage en fixant le tuyau à la paroi supérieure. On a commencé par prendre les mesures nécéssaire pour le trou: grâce à deux lacets et un laser. Les deux lacets représentent les coordonnées x et y par rapport à la paroi supérieure. Le laser nous permet de voir l'endroit précis où l'eau incidente est censée arriver (tangeant par rapport aux pâles). On a aussi fixé définitivement le roulement à bille au niveau de la paroi latérale avec de la colle chaude. Dans un premier temps, on a percé un trou sur le couvercle d'un autre bac pour ne pas risquer de perdre le notre (dans le cas ou le trou ne permettrait pas au tuyau d'envoyer de l'eau tangeant aux pâles). On a pu réalisé par la suite un premier test qui s'est avéré très prometteur, en effet la position du trou est parfaite; il nous a suffit de prendre notre vrai couvercle et refaire un trou en cette position. Pour fixer le tuyau au couvercle, David a trouvé un système qui permet de fixer le tuyau et de limiter au maximum le recul du tuyau avec l'arrivée d'eau. Et en effet, après quelques tests, le tuyau est plutôt fixe par rapport à sa position initiale. C'est un objectif supplémentaire qui est atteint. Désormais, la prochaine étape consiste à récupérer informatiquement les données via Arduino. La diode s'allume, certes, mais nous voulons savoir la quantité d'énergie que nous produisons. Avec un voltmètre, on voit bien qu'on a une tension en sortie de l'ordre de 6-7 volts. Cependant, nous ne voyons pas sur Arduino cette tension, il y a donc certainement quelques problèmes au niveau du codage ou sur le montage Arduino. La semaine prochaine, nous devrons terminer notre code Arduino, et le faire marcher. Par ailleurs, nous allons commencé à rédiger l'article du LaTex au brouillon (sur Word).
21/04/2021 -Charline, Martina, Joas et David en présentiel
L'objectif aujourd'hui est de terminer le montage électronique avec Arduino, afin d'observer la tension et la puissance. Cependant, l'experience ne s'est pas passé comme prévu, l'hydrolienne ne tournait plus ! Malheureusement, ceci était le premier des nombreux obstacles que nous allions rencontrer. Après avoir rempli et vidé le bac d'eau à de nombreuses reprises et tenter désespéremment de refaire marcher notre hydrolienne, nous en avions conclu que notre système comporte des failles. En effet, on a remarqué que la différence par rapport aux autres semaines, était que nous avions placé notre bac d'une autre manière. Cela signifie qu'en plus de l'angle d'incidence de l'eau, et la position du tuyau par rapport aux pâles, il y aussi le reste du tuyau qui avec son poids et la façon dont nous le placons interfère sur notre système. Après plus de deux heures de manipulations sur l'hydrolienne avec David et Joas d'un côté et sur Arduino de l'autre avec Martina et Charline; nous avons enfin résolu les problèmes que nous rencontriions depuis le début de la séance.
Notre montage Arduino ne fonctionnait pas la semaine dernière. Avec un voltmètre nous trouvons une tension d'environ 7V. Comme Arduino ne peut pas mesurer une tension supérieure à 5V, nous avons fait un pont diviseur de tension avec deux résistances de 100 ohm. Pour le code, nous l'avons adapté pour obtenir les deux tensions aux bornes de chaque résistance ( pour s'assurer qu'elles sont bien égales) puis la tension totale.
Voici le code Arduino utilisé et le montage :
Et voici les résultats obtenus :
22/04/2021 Joas en présentiel
Grâce à une caméra waterproof, nous avons réalisé plusieurs vidéos afin de déterminer la vitesse angulaire de l’Hydrolienne.
60 image par seconde UHD:
Ici il est impossible de déterminer la position des hélices, le nombre d'image par seconde est proche de la vitesse de rotation.
120 image par seconde HD:
240 image par seconde au ralenti *1/8:
Nous avons réalisé un pointage à l’aide de PyMecaVideo, puis avec le logiciel Qtiplot nous avons tracé la position d’une hélice en fonction du temps afin de déterminer graphiquement la vitesse.
Nous constatons également que lorsque l'écoulement n’est pas correctement positionné la vitesse est quasiment divisée par 2. Il faut donc avoir une maîtrise et une précision de l’écoulement du fluide sur l'hélice, pour avoir le meilleur rendement. Il est plus difficile à échelle réelle de maîtriser ces paramètres.
28/04/2021 Martina et Joas en présentiel
Vérification des données et des résultats trouver pendant tout le semestre.
Étude théorique réalisée au cours du semestre, en dehors des séances:
Écoulement théorie:
Données:
Écoulement d’un fluide newtonien dans un tuyau. Supposons l’écoulement laminaire et incompressible, établie selon ex. Les forces volumique sont négligée
Avec σ = −pI + 2μD + λ(trD)I , ρ=cste donc div V = 0 (Conservation de la masse) Re<Re critique Symétrie ∂(.)/∂teta=0
Mesure de la vitesse du fluide:
Débit massique, ρ=cste sur une ligne de courant:
Dv=constant & ρ*Dv=Dm=Cst
Dm= ΔM/Δt
Dv=(ΔM/Δt)*1/ρ
Dv=S1*V1=S’*V’
V1=DV/S1=(ΔM/Δt)*1/S1ρ
Puissance Mécanique théorique:
Données : Dm: Débit massique R: Rayon entre le centre de la turbine et le point de pression de l’eau V1: Vitesse de l’eau Γ: Couple de force J: Moment d’inertie turbine + eau. Avec σ=Jw(t) w: vitesse angulaire de l’hydrolienne
Bilan du moment cinétique:
À t : Uentrance À t+ dt : U masse d’eau sortante
dσ/dt= lim (dσ(t+dt)-dσ(t))/dt σ(t)= σcommune(t) + σeau constant
σ eau constant = DM dt OA^v1= Dm dt (R uy)^(v1 ux) = Dm.dt+ R.V1.uz
σ(t+dt)= Jw (t+dt) Uz + Dm dt (R ur) ^ V2 Uteta =(Jw(t +dt) + DM dt R V2 ) Uz
dσ/dt =(Dm R(V2-V1) + lim J(W(t+dt) - w(t))/ dt )uz =(Jdw/dt + Dm R (v2-v1) Uz
Sur Uz
Jdw/dt + DmR(v2-v1) = (Γ + MP/O + MR/O) Uz
⇒ Jdw/dt + DmR(v2-v1) = Γ uz
w(t) et v2 sont inconnus
Bilan d’énergie mécanique : Il n'y a pas d’énergie interne.
H(t+dt) - H(t) + Ec(t+dt)+ Ep(t+dt)-Ep(t)= δWu + δQ = Pméca dt
On sait que la puissance mécanique P = Γ.w
Ep(t+dt)- Ep(t)= 0
Ec (t+dt)= Ec turbine(t+dt) + Ec eau = Ec turbine(t+dt)+ (1/2)v2^2 = 1/2 J w^2 (t+dt) +(1/2) V2^2 Dm dt
Ec(t) = Ec turbine (t) + 1/2 v1^2 Dm dt = (1/2) JW ^2 (t) + 1/2V1^2 Dmdt
H(t+dt)-H(t)= DMdt(h(t+dt)-h(t))=(P2/nu -P1/nu)DMdt =0. Car P1=P2 Et énergie interne =0
(1/2)J(w^2 (t+dt) -w^2(t)) + (1/2)Dm(V2^2 - V1^2)dt(w(t+dt) +w(t))= (dw(t)/dt)dt*2w(t) (Taylor)
(1) Jdw/dtw + 1/2DM (V^2 -V1^2)=Γ.w (2) Jdw+DmR(V2-V1)=Γ
(1)-(2): 1/2 DM (V2^2 -V1^2)- WDmR(V2-V1)=0 V2+V1=wR V2=2wR-V1
Donc (2): Jdw/dt + DmR(2wR-2V1)=Γ = dw/dt + DmR^2w= Γ + Dm Rv1
Dw/dt+w/𝛕= (Γ+2DmRv1)/𝛕 avec 𝛕=J/2DmR^2
w=Aexp(-t/𝛕) + wlim
P méca= Γ.w
Résultats:
Au cours de nos séances, nous avons pu déterminer expérimentalement chaque paramètre de nos équations. NB: Lors de nos calculs nous estimons des erreurs, nous faisons ensuite un calcul d’incertitude tel que: A = B.(C/D) ⇒ lnA= lnB +ln C - ln D ⇒ dA/A= dB/B + dC/C - dD/D ⇒ dA=A*(dB/B + dC/C - dD/D)
Résultats expérimentaux:
Rayon point d’impact/centre: R=0,06 m
Débit massique Dm= 0,1534 ± 0,015 kg/s
Diamètre du tuyau: d=7mm
Surface de la section du tuyau: S=38*10^6 m^2
Débit Volumique: Dv=(1,53 ± 0,15)*10^-4 m^3/s
Vitesse du fluide avant impact: V1= 4,024 ± 0,4 m/s
Intensité électrique: I=35 mA
Tension électrique: U= 7 V
Wlim la vitesse angulaire à t grand: Wlim= 48,317 ± 6 rad/s
Le temps caractéristique de la vitesse angulaire: 𝛕=J/2DmR^2 en s
Izz le moment d'inertie de l’hydrolienne: J
On a :
P méca= Γ.w=Γ*(Aexp(-t/𝛕) + wlim)= (Jd(Aexp(-t/𝛕) + wlim)/dt + DmR(2(Aexp(-t/𝛕) + wlimR-2V1))(Aexp(-t/𝛕) + wlim)
Nous réalisons notre étude a t»𝛕, de sorte à ce que la vitesse angulaire ne soit plus en régime transitoire. Aexp(-t/𝛕) tend donc vers 0 et W(t) vers Wlim. Ces approximations sont valables puisque nous avons réalisé nos mesures à t grand, tel que W(t) soit constant. Nous avons donc:
dW/dt = 0 ⇒ Pméca= DmR(2(wlim)R-2V1)*wlim Pélec=U*I
Rendement: Ɣ =Pélec/Pméca= (U*I) / DmR(2(wlim)R-2V1)*wlim
Analyse numérique:
Puissance mécanique “consommée”: Pméca=-1,00W Puissance électrique “produit”: Plectrique= 245 mW
Rendement: Ɣ= 24,5%