PROJET FABLAB UE 3T602 2020, MODELISATION VISCOSITE : BOURBON ELORA, GONDE EMILIE, SCRIBE AURELIA

Encadré par L.LABROUSSE et P.THERY

INTRODUCTION

La viscosité est une grandeur physique qui s’exprime en Pa.s et est notée μ. Elle caractérise la résistance à l’écoulement d’un fluide et dépend de la température pour certains matériaux. On distingue deux types de fluides : les fluides newtoniens, dont la viscosité ne varie pas avec la contrainte et les fluides non-newtoniens, dont la viscosité dépend de la contrainte. Le manteau terrestre étant inaccessible, il est évidemment impossible de mesurer directement la viscosité de celui-ci. Elle est pourtant essentielle dans les processus tectoniques. Dans les modèles analogiques de tectonique des plaques, des fluides visqueux (miel, gels de silicone) sont utilisés pour représenter le manteau. Pour que ces matériaux soient pertinents, il faut que leur viscosité soit dimensionnée par rapport à celle du manteau et qu'ils se comportent en effet de façon visqueuse aux échelles de temps des expériences. Le but de notre projet est de déterminer de façon simple la viscosité d'un matériau visqueux aux échelles de temps du laboratoire. Ce dernier est une pâte silly putty (pâte polymère) dont le caractère visqueux n'est pas connu : sa valeur nominale, sa nature Newtonienne ou non, sa dépendance à la température. Nous cherchons à monter une expérience permettant d'évaluer le caractère visqueux d'un matériau. La pâte silly putty est un fluide viscoélastique. Sur une échelle de temps courte, elle se comporte comme un solide, tandis que sur le long terme, elle s'écoule sous l'effet de son propre poids et agit comme un fluide visqueux. Nous avons d'abord décidé de mesurer dans un temps donné la diminution de la hauteur d'un cylindre réalisé avec la pâte afin de pouvoir déterminer la viscosité de celle-ci en une dimension. Or cette méthode ne nous donne qu'un résultat très approximatif du fait que le cylindre ne se déforme pas uniformément (la déformation en fait 2D, de révolution autour de l'axe de raccourcissement). Il a ainsi été envisagé de réaliser une crêpe de la pâte afin de mieux pouvoir calculer sa vitesse d'écoulement latérale lorsqu'une force serait exercée à la verticale afin de déterminer une viscosité plus précise de ce matériau grâce à une approche analytique 2D cylindrique.

APPROCHE UNI-DIMENSIONNELLE

• *Approche 1D “instantanée” Si on considère un cylindre de hauteur h et de rayon R, d’un matériau de viscosité η, soumis au poids d’une masse m, alors en partant de la définition de la viscosité : η=σ/ε┴· avec ε┴· la vitesse de déformation en .s−¹ et σ la contrainte en Pa, qui vaut : σ=(m.g)/(π.R² ) On peut écrire ε┴· en fonction de h et du temps t : ε┴·=dh/(h.dt)=Vz/h avec Vz, la vitesse verticale de descente de la face supérieure du cylindre, considérée à un instant t. On obtient donc : η=(m.g.h)/(π.R².Vz ) Cette relation est valable si on considère Vz comme constante, ou si on peut la mesurer de façon instantanée en même temps que h et R. Approche 1D “finie” On peut reprendre la même définition avec : ε┴· = dε/dt = σ/η et : ε=(h-h0)/h0 avec h0 la hauteur initiale du cylindre, ce qui donne : dε=dh/h0 et ε┴·=dh/(h0.dt) On a donc : dh/(h0.dt)=(m.g)/(π.R².η) Par conservation du volume de pâte, on peut écrire : π.h0.R0²=π.h.R² donc R²=R0².h0/h et donc : dh/h=[(m.g)/(η.π.R0²)].dt En intégrant entre h0 et hf et t0 et t0+∆t la durée de l’expérience : ∫dh/h (en intégrant entre hf et h0) = ∫[(m.g)/(η.π.R0²)].dt (en intégrant entre t0+∆t et t0) On obtient : ln(hf/h0 )=(m.g.Δt)/(η.π.R0² ) et donc :η=[(m.g.Δt)/(π.R0²)].ln(h0/hf) Pour cette approche expérimentale, nous avons décider de réaliser un cylindre en pâte silly putty (de hauteur h et de rayon R) afin d’en mesurer la viscosité. Pour cela, il faut calculer la déformation finie : (ε=(h-h0)/h0 ) qui dans le cadre de cette approche cylindrique se rattache à la viscosité par la vitesse de déformation En revanche, lors de la compression ou de l’extension du cylindre, la surface va varier ce qui fait que les résultats expérimentaux sont loin d’être précis. Montage expérimental-Protocole En compression : Trois plaques de plexiglas sont scotchées ensemble pour que la plaque du dessus reste le plus possible à l'horizontal. Une règle est scotchée à la verticale pour avoir la hauteur du cylindre de pâte au cours du temps. Une plaque de plexiglas appuie sous l'effet de son poids sur la pâte qui se déforme. En extension : La pâte est suspendue à une vis tenue en l'air afin de laisser la pâte s'étirer sous son propre poids. Une règle graduée est placée sur le côté de la pâte pour mesurer sa longueur. Pour déterminer la surface, le périmètre est mesuré avec une ficelle que l'on enroule au fur et à mesure autour de la pâte là où elle s'amincit, et le périmètre est marqué sur cette ficelle à différents temps de mesures avec des feutres de couleurs différentes. La déformation est mesurée afin de pouvoir déterminer la viscosité du matériau. Résultats en compression Première expérience (14/02/2020) : Le but des trois plaques de plexiglas autour est de maintenir la plaque posée sur le matériau étudié le plus à plat possible pour avoir une pression uniforme sur le cylindre. Figure 1 : Photo du montage expérimental au début de l'expérience 1 hauteur initiale = 6,5 cm ; diamètre initial = 3,5 cm Figure 2 : Photo du montage expérimental à la fin de l'expérience, cylindre compressé hauteur finale = 2 cm ; diamètre final = 6,5 cm Temps de déformation = 1 minutes 36 secondes Au cours de l'expérience, le volume du cylindre et la contrainte exercée sur celui-ci varient : la contrainte passe de 562 Pa au début à 163 Pa à la fin. Ainsi, on peut en déduire que la viscosité aussi varie au cours de l'expérience entre 1,17 * 10^5 et 3,39 * 10⁴ Pa.s. Deuxième expérience (14/02/2020) : Nous avons rajouté une plaque de plexiglas à l'avant (en boîte fermée) pour maintenir la plaque supérieure posée sur le matériau pour éviter que celle-ci penche. Figure 3 : Photo du montage expérimental au début de l'expérience 2 hauteur initiale = 5 cm ; diamètre initial = 3,8 cm Figure 4 : Photo du montage expérimental à la fin de l'expérience 2, cylindre compressé hauteur finale = 2,3 cm : diamètre final = 6 cm Temps de déformation = 2 minutes et 12 secondes Encore une fois, le volume du cylindre varie tout comme la contrainte et la viscosité. Soit la contrainte passe de 477 Pa à 163 Pa et la viscosité de 1,17 * 10^5 à 3,98 * 10⁴ Pa.s. Le 21/02/2020, nous avons réalisé une nouvelle expérience en compression (expérience 3) où on a mesuré les variations de la surface de déformation et la hauteur à des temps donnés. Les valeurs mesurées à ces différents temps, ont été représentées dans un graphique de la contrainte en fonction de la vitesse de déformation, dont la pente nous donne la valeur de la viscosité = 1,21 * 10^5 Pa.s Figure 5 : Graphique représentant la viscosité de la pâte lors d'une compression Résultats en extension (21/02/2020) Nous avons mesuré les différents périmètres et longueurs à différents temps d'un cylindre en étirement sous son propre poids (expérience 4). Les valeurs obtenues ont été représentées dans un graphique de la contrainte en fonction de la vitesse de déformation, dont la pente nous donne la valeur de la viscosité = 4,98 * 10⁴ Pa Figure 6 : Graphique représentant la viscosité de la pâte lors d'une extension Résultats discussion et problèmes rencontrés Lors de l'expérience 1, différents problèmes ont été rencontrés. La plaque se penche causant une déformation asymétrique du cylindre, il n'a plus une forme homogène (difficile d'estimer la surface et la hauteur finale), l'image est mise au point sur le cylindre, mais floue sur la règle. Il est difficile de lire la valeur de la hauteur sur la photo. Lors de l’expérience 2, grâce à la plaque rajoutée formant une boîte à la dimension de la plaque supérieure, cette dernière est mieux maintenue et le cylindre s'affaisse moins sur les côtés et garde plus sa forme cylindrique. Le montage expérimental en extension est à améliorer, d’autant plus qu'il est compliqué de mesurer le diamètre de la pâte qui coule à l’aide d’une ficelle. Par ailleurs, dans ce cas là, la pâte se déforme essentiellement à un endroit où il s’amincit mais la masse sous la partie affinée augmente au cours de la déformation, faisant augmenter son poids et modifiant les conditions de l'expérience. Avec la méthode de mesure de viscosité utilisée, cette dernière varie au cours du temps car la contrainte et le volume du cylindre varient. De plus, le cylindre compressé ne s'écrase pas sur lui même, mais se déforme. Les diverses expériences ne donnent pas la même valeur exacte de viscosité, mais elles sont toutes du même ordre de grandeur, qui est cohérent avec celui d'une pâte polymère : une pâte silly putty. Par ailleurs, les expériences de viscosité peuvent être réalisées avec cette pâte silly putty car elle a les mêmes caractéristiques que le manteau terrestre (même si sa viscosité est largement plus grande), c'est à dire, une pâte visqueuse et élastique à une température normale et liquide lorsqu'elle est chauffée. Au vu de toutes les approximations, nous avons voulu amélioré notre dispositif expérimental. Nous avons modélisé une boîte sur le logiciel Openscad pour ensuite l'imprimer en 3D. en effet, notre boîte actuelle est trop petite et instable. Figure 7 : Photo de la première modélisation d'une boîte Nous avons amélioré notre modélisation de la boîte en modifiant le programme afin de n'avoir qu'à changer les paramètres avant les étapes du programme. Nous avons aussi modélisé une cornière (8 à imprimer) pour maintenir la plaque de plexiglas aux bords pour éviter que celle-ci penche. Nous avons également modélisé un moule pour que l’on ait toujours les mêmes paramètres (hauteur et rayon) pour notre cylindre. Figure 8 : Photos de modélisation des différents éléments permettant un modèle uniforme à chaque expérience avec une boîte et un moule pour le cylindre APPROCHE 2D EN SYMÉTRIE CYLINDRIQUE Approche 2D en symétrie radiale**

Le bord de la crêpe décrit une hyperbole, due à un écoulement de Poiseuille entre les deux faces du disque, du type : v(r,z)=vmax (r ).(1-(4.z²)/h² )

On peut trouver la valeur Vmoy de la vitesse le long d’un profil vertical, en résolvant : vmoy=(1/h).∫[v(z ).dz] (intégration entre h/2 et -h/2)

ce qui donne : vmoy=2/3 vmax On peut relier Vmoy à la vitesse Vz d’écrasement du disque en écrivant la conservation du volume du cylindre : (d(π.R².h))/dt=0

d’où : dR/dt=-(R/2h).(dh/dt)

et donc v(r )=(r/2h).Vz

avec Vz comptée positivement vers le bas. Donc l’expression de v(z ) devient : v(r,z)=(3r/4h).(1-(4z²)/h² ).Vz

et vmax(r )=3r/(4h.Vz)

Si le disque est assez grand, on peut relier le gradient radial de pression à la viscosité par la loi de Poiseuille : ∂P/∂r=(8η/h²) .vmax

En introduisant Vz on peut intégrer de r à R et de P(r ) à P=0 à l’extérieur du disque (en R) : P(r )=∫[(6.η.Vz)/h³].rdr=[(3η.Vz.R²)/h³].(1-r²/R²) (en intégrant entre R et r)

On peut ensuite remonter à la force comme l’intégrale des pressions exercées sur chaque couronne concentrique du disque : Fz=∫_0^R P(r ).2πr.dr

Et on trouve : Fz=(3π.η.Vz.R⁴)/(2h³ ) et donc, si cette force est le poids d’une masse m posée sur le disque : η=(2m.g.h³)/(3πVz.R⁴)

Si on mesure Vz, h et R à un instant donné, alors on peut estimer la viscosité. L’étape ultérieure est d’utiliser cette relation instantanée, et de l’intégrer sur le temps, en utilisant : R²=R0².(h0/h)

et en introduisant : Vz=-dh/dt

On obtient : ∫_(h0)^(hf )-dh/h^5 =∫_(t0)^(t0+Δt) (2m.g)/(3πηR0⁴ h0² ).dt

d’où : η=[(8m.g.Δt)/(3πη.R0⁴.h0²)].[1/(h0⁴-hf⁴)]

Dans notre modèle, nous avons considéré que le cylindre restait parfaitement cylindrique. Cependant, ce n'est pas le cas, les bords du cylindre deviennent bombés lorsqu'on applique une force dessus. Notre modèle ne prend pas en compte cette variation, nous ne prenons en compte que la variation de hauteur et de largueur d'un cylindre. Lors de nos expériences, la pâte flue radialement mais aussi verticalement, ce qui entraîne l'élargissement de la base du cylindre. Pour pouvoir négliger les mouvements verticaux, il faut partie non pas d'un cylindre, comme nous le faisions au départ, mais d'une “crêpe”. Nous faisons donc une “crêpe” d'environ 2cm de hauteur avec notre polymère. Nous appliquons le même principe que précédemment: nous exerçons une force de compression verticale sur notre crêpe; la crêpe va s'étaler lors de la compression tout en gardant le même volume. Le flux peut être considéré comme radial, mais ce flux divergent doit être pris en compte dans notre modèle physique.

Figure 9 : Schéma des résultats aux expériences possibles avec la pâte sous forme de crêpe

Selon cette hypothèse, le flux de matière se déplacera de façon parabolique sur les bords de notre crêpe, nous permettant de déterminer la vitesse maximum qui se trouve au centre. La vitesse maximale n'est qu'en un point, or nous voulons la vitesse sur tout notre polymère.

Figure 10 : Schéma de la vitesse maximale parabolique

Afin d'avoir la viscosité, nous devons déterminer la pression exercé sur notre polymère. Poiseuille relie le gradient de pression à la viscosité dans sa formule: dP/dr=-(8η/h²)* Vmax

En intégrant sur toute la surface du disque, nous pouvons obtenir la pression qui est en rapport avec la force en lien avec la viscosité: F=(3πηVzR⁴)/(2h³)=mg Nous pouvons désormais déterminer la viscosité: η=(2mgh³)/3πVzR⁴)

On peut exprimer la viscosité en logarithme: log(η)=log(2mg/3π)+3log(h)-log(Vz)-4log(R )

Cette équation doit nous donner une droite dont la pente est la viscosité si notre hypothèse selon laquelle Vz est constante est vérifiée.

On exprime log(h)=f(log(R )) et on obtient le log(η ).

On peut exprimer la viscosité de notre premier modèle avec les mêmes paramètres que ceux qui interviennent dans l'expression de viscosité du nouveau: η=mgh/πR²Vz pour comparer ainsi nos deux modèles et déterminer ensuite lequel est le plus précis. Nous avons modifié nos paramètres de la modélisation de la boîte car nous partons d'une crêpe d'environ 2cm d'épaisseur que nous applatissons à vitesse constante. Nous ne garderons que 4 cornières à placer sur le dessus de la plaque.

Figure 11 : Photo de la boîte pour une crêpe

Réalisation de la boite

Nous avons avec l'imprimante 3D créer les quatre recoins que nous allons coller à la plaque supérieur de la boîte finale. N'ayant pu imprimer cette dernière (trop long à faire), nous avons découper au laser dans du bois les panneaux que nous avons utilisé pour finalement monter notre boîte.

Nous avons découpé au laser dans du plexiglas (4 mm d'épaisseur) la plaque que l'on placera sur le dessus de la boîte, ainsi que la “porte”, la plaque de plexiglas que l'on placera à l'avant. Nous avons aussi gravé une règle (au mm près) sur ces deux plaques. Nous avons fait des encoches dans les panneaux de bois pour soutenir la plaque avant, en délimitant l'épaisseur de la plaque au cuter puis nous avons limé le bois.

DISCUSSION GENERALE

Nos montages manquant cruellement de précisions, donnent des résultats avec une forte marge d'erreur. Par ailleurs, nous n'avons pas eu le temps de réaliser l'expérience où la pâte aurait formée une crêpe afin que la mesure de viscosité soit plus précise, nous n'avons donc pas pu tester notre boite découpée à cette effet. Compte tenu de cela, nos résultats restent proche de la viscosité attendue. Notre modèle ne nous permet évidemment pas de mesurer la viscosité du manteau même par un modèle analogique. Il est d'ailleurs compliqué de faire une mesure directe en raison des conditions qu'il faudrait reproduire. Le matériau que nous avons utilisé pour mener nos expériences a cependant l'avantage d'avoir les mêmes propriétés dites viscoélastiques que la manteau terrestre. Ainsi la pâte polymère est adaptée afin d'essayer de mieux comprendre le comportement du manteau. Ce dernier et notre matériau étant des fluides non-newtoniens, leur viscosité est dépendante de la température (un fluide tend à être de moins en moins visqueux lorsque sa température augmente). Il serait ainsi intéressant de mener de futures expériences en modifiant la température de la pâte silly puty pour étudier et modéliser les effets de la température sur la viscosité.

SOURCES

Qu’est ce qui fait bouger le manteau terrestre, Le Journal CNRS, Sophie-Anne Bouteaud, 2016/07/12, disponible en ligne sur : https://lejournal.cnrs.fr/articles/quest-ce-qui-fait-bouger-le-manteau-terrestre

Cette matière molle qui défie les lois de la physique, Le Journal CNRS, Jean-Baptiste Veyrieras, 2017/04/04, disponible en ligne sur : https://lejournal.cnrs.fr/articles/cette-matiere-molle-qui-defie-les-lois-de-la-physique

La viscoélasticité : des polymères élastiques qui coulent, Futura Sciences, Philippe Coussot, 2020/01/27, disponible en ligne sur : https://www.futura-sciences.com/sciences/dossiers/physique-rheophysique-matiere-tous-etats-1664/page/2/

High temperature creep of rock and mantle viscosity, Annual Review, Johannes Weertman, Julia R. Weertman, 1975