PROJET FABLAB UE 3T602 2020, MODELISATION VISCOSITE : BOURBON ELORA, GONDE EMILIE, SCRIBE AURELIA

Encadré par L.LABROUSSE et P.THERY

INTRODUCTION

La viscosité est une grandeur physique qui s’exprime en Pa.s et est notée μ. Elle caractérise la résistance à l’écoulement d’un fluide et dépend de la température pour certains matériaux. On distingue deux types de fluides : les fluides newtoniens, dont la viscosité ne varie pas avec la contrainte et les fluides non-newtoniens, dont la viscosité dépend de la contrainte. Le manteau terrestre étant inaccessible, il est évidemment impossible de mesurer directement la viscosité de celui-ci. Elle est pourtant essentielle dans les processus tectoniques. Dans les modèles analogiques de tectonique des plaques, des fluides visqueux (miel, gels de silicone) sont utilisés pour représenter le manteau. Pour que ces matériaux soient pertinents, il faut que leur viscosité soit dimensionnée par rapport à celle du manteau et qu'ils se comportent en effet de façon visqueuse aux échelles de temps des expériences. Le but de notre projet est de déterminer de façon simple la viscosité d'un matériau visqueux aux échelles de temps du laboratoire. Ce dernier est une pâte silly putty (pâte polymère) dont le caractère visqueux n'est pas connu : sa valeur nominale, sa nature Newtonienne ou non, sa dépendance à la température. Nous cherchons à monter une expérience permettant d'évaluer le caractère visqueux d'un matériau. La pâte silly putty est un fluide viscoélastique. Sur une échelle de temps courte, elle se comporte comme un solide, tandis que sur le long terme, elle s'écoule sous l'effet de son propre poids et agit comme un fluide visqueux. Nous avons d'abord décidé de mesurer dans un temps donné la diminution de la hauteur d'un cylindre réalisé avec la pâte afin de pouvoir déterminer la viscosité de celle-ci en une dimension. Or cette méthode ne nous donne qu'un résultat très approximatif du fait que le cylindre ne se déforme pas uniformément (la déformation en fait 2D, de révolution autour de l'axe de raccourcissement). Il a ainsi été envisagé de réaliser une crêpe de la pâte afin de mieux pouvoir calculer sa vitesse d'écoulement latérale lorsqu'une force serait exercée à la verticale afin de déterminer une viscosité plus précise de ce matériau grâce à une approche analytique 2D cylindrique.

APPROCHE UNI-DIMENSIONNELLE

Le bord de la crêpe décrit une hyperbole, due à un écoulement de Poiseuille entre les deux faces du disque, du type : v(r,z)=vmax (r ).(1-(4.z²)/h² )

On peut trouver la valeur Vmoy de la vitesse le long d’un profil vertical, en résolvant : vmoy=(1/h).∫[v(z ).dz] (intégration entre h/2 et -h/2)

ce qui donne : vmoy=2/3 vmax On peut relier Vmoy à la vitesse Vz d’écrasement du disque en écrivant la conservation du volume du cylindre : (d(π.R².h))/dt=0

d’où : dR/dt=-(R/2h).(dh/dt)

et donc v(r )=(r/2h).Vz

avec Vz comptée positivement vers le bas. Donc l’expression de v(z ) devient : v(r,z)=(3r/4h).(1-(4z²)/h² ).Vz

et vmax(r )=3r/(4h.Vz)

Si le disque est assez grand, on peut relier le gradient radial de pression à la viscosité par la loi de Poiseuille : ∂P/∂r=(8η/h²) .vmax

En introduisant Vz on peut intégrer de r à R et de P(r ) à P=0 à l’extérieur du disque (en R) : P(r )=∫[(6.η.Vz)/h³].rdr=[(3η.Vz.R²)/h³].(1-r²/R²) (en intégrant entre R et r)

On peut ensuite remonter à la force comme l’intégrale des pressions exercées sur chaque couronne concentrique du disque : Fz=∫_0^R P(r ).2πr.dr

Et on trouve : Fz=(3π.η.Vz.R⁴)/(2h³ ) et donc, si cette force est le poids d’une masse m posée sur le disque : η=(2m.g.h³)/(3πVz.R⁴)

Si on mesure Vz, h et R à un instant donné, alors on peut estimer la viscosité. L’étape ultérieure est d’utiliser cette relation instantanée, et de l’intégrer sur le temps, en utilisant : R²=R0².(h0/h)

et en introduisant : Vz=-dh/dt

On obtient : ∫_(h0)^(hf )-dh/h^5 =∫_(t0)^(t0+Δt) (2m.g)/(3πηR0⁴ h0² ).dt

d’où : η=[(8m.g.Δt)/(3πη.R0⁴.h0²)].[1/(h0⁴-hf⁴)]

Dans notre modèle, nous avons considéré que le cylindre restait parfaitement cylindrique. Cependant, ce n'est pas le cas, les bords du cylindre deviennent bombés lorsqu'on applique une force dessus. Notre modèle ne prend pas en compte cette variation, nous ne prenons en compte que la variation de hauteur et de largueur d'un cylindre. Lors de nos expériences, la pâte flue radialement mais aussi verticalement, ce qui entraîne l'élargissement de la base du cylindre. Pour pouvoir négliger les mouvements verticaux, il faut partie non pas d'un cylindre, comme nous le faisions au départ, mais d'une “crêpe”. Nous faisons donc une “crêpe” d'environ 2cm de hauteur avec notre polymère. Nous appliquons le même principe que précédemment: nous exerçons une force de compression verticale sur notre crêpe; la crêpe va s'étaler lors de la compression tout en gardant le même volume. Le flux peut être considéré comme radial, mais ce flux divergent doit être pris en compte dans notre modèle physique.

Figure 9 : Schéma des résultats aux expériences possibles avec la pâte sous forme de crêpe

Selon cette hypothèse, le flux de matière se déplacera de façon parabolique sur les bords de notre crêpe, nous permettant de déterminer la vitesse maximum qui se trouve au centre. La vitesse maximale n'est qu'en un point, or nous voulons la vitesse sur tout notre polymère.

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Figure 10 : Schéma de la vitesse maximale parabolique

Afin d'avoir la viscosité, nous devons déterminer la pression exercé sur notre polymère. Poiseuille relie le gradient de pression à la viscosité dans sa formule: dP/dr=-(8η/h²)* Vmax

En intégrant sur toute la surface du disque, nous pouvons obtenir la pression qui est en rapport avec la force en lien avec la viscosité: F=(3πηVzR⁴)/(2h³)=mg Nous pouvons désormais déterminer la viscosité: η=(2mgh³)/3πVzR⁴)

On peut exprimer la viscosité en logarithme: log(η)=log(2mg/3π)+3log(h)-log(Vz)-4log(R )

Cette équation doit nous donner une droite dont la pente est la viscosité si notre hypothèse selon laquelle Vz est constante est vérifiée.

On exprime log(h)=f(log(R )) et on obtient le log(η ).

On peut exprimer la viscosité de notre premier modèle avec les mêmes paramètres que ceux qui interviennent dans l'expression de viscosité du nouveau: η=mgh/πR²Vz pour comparer ainsi nos deux modèles et déterminer ensuite lequel est le plus précis. Nous avons modifié nos paramètres de la modélisation de la boîte car nous partons d'une crêpe d'environ 2cm d'épaisseur que nous applatissons à vitesse constante. Nous ne garderons que 4 cornières à placer sur le dessus de la plaque.

Figure 11 : Photo de la boîte pour une crêpe

Réalisation de la boite

Nous avons avec l'imprimante 3D créer les quatre recoins que nous allons coller à la plaque supérieur de la boîte finale. N'ayant pu imprimer cette dernière (trop long à faire), nous avons découper au laser dans du bois les panneaux que nous avons utilisé pour finalement monter notre boîte.

Nous avons découpé au laser dans du plexiglas (4 mm d'épaisseur) la plaque que l'on placera sur le dessus de la boîte, ainsi que la “porte”, la plaque de plexiglas que l'on placera à l'avant. Nous avons aussi gravé une règle (au mm près) sur ces deux plaques. Nous avons fait des encoches dans les panneaux de bois pour soutenir la plaque avant, en délimitant l'épaisseur de la plaque au cuter puis nous avons limé le bois.

DISCUSSION GENERALE

Nos montages manquant cruellement de précisions, donnent des résultats avec une forte marge d'erreur. Par ailleurs, nous n'avons pas eu le temps de réaliser l'expérience où la pâte aurait formée une crêpe afin que la mesure de viscosité soit plus précise, nous n'avons donc pas pu tester notre boite découpée à cette effet. Compte tenu de cela, nos résultats restent proche de la viscosité attendue. Notre modèle ne nous permet évidemment pas de mesurer la viscosité du manteau même par un modèle analogique. Il est d'ailleurs compliqué de faire une mesure directe en raison des conditions qu'il faudrait reproduire. Le matériau que nous avons utilisé pour mener nos expériences a cependant l'avantage d'avoir les mêmes propriétés dites viscoélastiques que la manteau terrestre. Ainsi la pâte polymère est adaptée afin d'essayer de mieux comprendre le comportement du manteau. Ce dernier et notre matériau étant des fluides non-newtoniens, leur viscosité est dépendante de la température (un fluide tend à être de moins en moins visqueux lorsque sa température augmente). Il serait ainsi intéressant de mener de futures expériences en modifiant la température de la pâte silly puty pour étudier et modéliser les effets de la température sur la viscosité.

SOURCES

Qu’est ce qui fait bouger le manteau terrestre, Le Journal CNRS, Sophie-Anne Bouteaud, 2016/07/12, disponible en ligne sur : https://lejournal.cnrs.fr/articles/quest-ce-qui-fait-bouger-le-manteau-terrestre

Cette matière molle qui défie les lois de la physique, Le Journal CNRS, Jean-Baptiste Veyrieras, 2017/04/04, disponible en ligne sur : https://lejournal.cnrs.fr/articles/cette-matiere-molle-qui-defie-les-lois-de-la-physique

La viscoélasticité : des polymères élastiques qui coulent, Futura Sciences, Philippe Coussot, 2020/01/27, disponible en ligne sur : https://www.futura-sciences.com/sciences/dossiers/physique-rheophysique-matiere-tous-etats-1664/page/2/

High temperature creep of rock and mantle viscosity, Annual Review, Johannes Weertman, Julia R. Weertman, 1975