Dans ce premier paragraphe, nous détaillerons quelques méthodes pour les simulations numériques de la propagation du rayon.
Il existe deux manières de déterminer la propagation :
Après des calculs analytiques, déterminer l'équation directrice du rayon : par le principe de Fermat, on peut remonter à une équation différentielle donnant la courbure du rayon.
En partant de la loi de Snell-Descartes, on peut déterminer numériquement la courbure du rayon en considérant un espace subdivisé et en appliquant cette loi à chaque changement d'indice.
Afin de simuler le gradient d'indice (ou du paramètre influant sur l'indice), il existe plusieurs points de vus différents, chacun plus ou moins adapté aux méthodes décrites ci dessus. Il faut cependant commencer par établir une relation entre l'indice optique, la position et parfois le temps (utilisé dans notre cas pour la perturbation).
Subdiviser l'espace en tranches fines (si la dépendance spatiale ne se fait que sur un axe) ou en carrés (ce qui est équivalent à créer une matrice) d'indices optiques. Cette méthode limite la simulation dans la précision. En effet si l'on souhaite une bonne précision, il faut que la subdivision soit très petite. Sur un gradient uniaxe, cela ne pose pas de problème. Cependant lorsque l'on considère 2 ou 3 dimensions pour le gradient, le temps de calcul peut être très long. Cette méthode est plus adapté au calcul de propagation à partir de la loi de Snell-Descartes.
Utiliser uniquement la relation analytique du gradient. Lors de l'intégration de l'équation de courbure, l'indice optique intervient, on peut alors utiliser la relation pour calculer l'indice uniquement sur les positions nécessaires. Cela permet de réduire le temps de calcul. Cependant cette méthode nécessite une équation sur la courbure du rayon, ce qui n'est pas évident à obtenir dans le cas d'un gradient à 2 ou 3 dimensions.
Enfin on peut imaginer combiner ces deux méthodes, en ne créant pas de matrice mais en utilisant uniquement les carrés utiles pour la loi de Snell-Descartes. C'est cette dernière méthode qui sera utilisée lors de la simulation de la propagation du rayon.
Pour la propagation du rayon lumineux et pour traiter le cas des perturbations dans l'eau sucrée, nous nous sommes appuyés sur deux équations différentes:
$$\frac{d²z}{dx²} \frac{1}{1 + \frac{dz}{dx}} = - \frac{1}{n} \frac{dn}{dT} (\frac{dz}{dt} \frac{dT}{dx} - \frac{dT}{dy})$$
avec T la température du milieu, n l'indice optique.
(source: Thèse d'Anthony Delmas)
$$(\frac{∂z}{∂x})² + 1 - \frac{n²}{C} = 0$$
avec C une constante.
(source: équation obtenue dans le cas d'un gradient uniaxe en z, démontré à partir de cours de physique théorique UE 3P035)