Début du projet : 25/01/2018

Nom du projet : Chaos et Attracteur de Lorenz

Membres du projet : Diego BERGER, Edouard FEINGESICHT, Yohan MADAD, Paul MANSET, Alessandro ROUSSEL

Adresse email: diego.berger@etu.upmc.fr, efeingesicht@gmail.com, yohan.madad@etu.upmc.fr, paul.manset@etu.upmc.fr, alessandro.roussel@gmail.com

• *31/01/2018 Familiarisation avec la théorie du chaos. On s'intéresse au pendule amorti forcé. Compréhension de la route vers le chaos par cascade de doublement de fréquence. (Réf: “Mécanique classique” Taylor et le cours de M1 de Grenoble sur les systèmes dynamiques). On travaille sur notre première manipulation. Ce sera un circuit RLC en régime forcé (équivalent du pendule amorti forcé). On établit la liste des graphes que l'on aimerait obtenir : diagramme de bifurcation, attracteur unique dans l'espace des phases, attracteur double, trajectoire chaotique dans l'espace des phases, section de Poincaré et évolution de l'écart entre deux trajectoires avec des conditions initiales différentes (mais proches) en fonction du temps. Début du code des simulations. On part du modèle simple de l'évolution d'une population. On trace le diagramme de bifurcation et l'évolution (en fonction du temps) de l'écart entre deux populations avec des conditions initiales différentes. Les graphes sont exactement ceux attendus, pas de soucis. On s'amuse à tracer des graphes en plus (qu'on ne trouve pas dans la littérature) et on obtient un graphe étrange qu'on ne sait pas expliquer pour le moment. Diagramme de bifurcation zoomé et non zoomé. Apparition des îlots de stabilité. Dernier graphe en cours de compréhension. —- 02/02/2018 : Nous avons réalisé que les graphes obtenus pour r > 4 n'avait aucun sens physique à cause du manque de coefficient de saturation (les populations divergeaient vers -inf). —- 07/02/2018 : Nous avons fait des recherches sur les circuits RLC et de Chua, puis les avons simulés sur http://www.docircuits.com/. Cela n'a pas été une tâche facile. Nous avons tout d'abord travaillé sur le circuit simple RLC pour obtenir un espace des phases cohérent avec la théorie (système linéaire). Ensuite nous avons cherché nous même un système électronique chaotique. Pour ce faire nous sommes partis d'équations différentielles non linéaires et nous avons tenté de chercher un système électronique reproduisant ce genre d'équations. Nous n'y sommes pas arrivé et nous avons donc décidé de chercher directement dans la littérature un circuit chaotique. Le plus simple pour commencer étant celui de Chua, nous avons décidé de le simuler. Encore une fois ça n'a pas été facile, nous n'avions pas de belles trajectoires dans l'espace des phases. En jouant sur les paramètres nous avons finalement obtenu une trajectoire formant une sorte de tore, ce que nous voulions. Pour vérifier que nous ne nous trompons pas nous décidons de simuler la trajectoire jusqu'à un certain temps, pour bien faire apparaître la convergence vers l'attracteur dans le cas RLC (linéaire) et la convergence vers l'attracteur étrange dans le cas du circuit de Chua (non linéaire). Nos résultats sont plus que satisfaisants, nous ferons la manip' mercredi prochain. —- 12/02/2018 : Rédaction de l'introduction du rapport de projet. Recherche sur internet des approches les plus pédagogiques pour introduire la notion de chaos. —- 13/02/2018 : Début de notre première manip'. On travaille sur un RLC. On a récupéré tous les composants du circuit. Quelques problèmes avec l'oscilloscope et le générateur. Il a fallu se familiariser avec les breadboards etc. —- 14/02/2018 : On a fini le circuit RLC, on a obtenu un bel attracteur dans l'espace des phases. Petit problème : on aimerait avoir la période de convergence vers l'attracteur mais cela nécessite un temps caractéristique beaucoup plus grand que celui actuel (10^-4 sec). Pour avoir un temps acceptable il faut jouer sur les paramètres du circuit (qu'on a obtenu en résolvant les équations). Problème les valeurs pour la résistance et la bobine entraînent une baisse de la qualité du signal sur l'oscilloscope. On a eu un autre soucis. La tension au bornes de la résistance n'était pas en accord avec nos calculs théoriques. On a donc dû re-simuler notre circuit pas mal de fois avant de comprendre les différents déphasages. On a bien avancé sur la partie théorique du rapport de projet. —- 21/02/2018 : Malheureusement le circuit RLC ne fonctionnait pas parfaitement. Nous avons donc dû mesurer plusieurs type de circuit (RC, RL, RLC etc) pour être bien en accord parfait avec les prédictions (rapport des amplitudes, décalage de phase). Cela nous a pris beaucoup de temps. La contrainte étant la suivante : Nous nous intéressons pour le cas RLC, à la convergence vers un attracteur, donc à la phase transitoire. Or la qualité du signal varie grossièrement comme l'inverse du temps de transition. Nous avons donc dû tester plusieurs valeurs pour les 3 composantes avant d'obtenir un résultat optimal. C'est-à-dire avoir assez de temps de phase transitoire, et une qualité acceptable. De plus, nous nous placions à la fréquence de résonance du circuit, ce qui impose déjà un paramètre. Bref tout cela n'a pas été simple car nous avons du faire beaucoup de mesure, mais les résultats sont satisfaisants. Nous avons estimé que toutes ces étapes étaient indispensables si nous voulions nous attaquer au circuit de Chua. La partie théorique du rapport est finie. —- 21/02/2018 : On a terminé le circuit RLC qui marche désormais bien, cependant on observe que pour des petites résistances les prédictions théoriques ne correspondent pas parfaitement aux valeurs mesurées. On va donc tracer l'amplitude de la réponse du RLC par rapport à l'amplitude de la tension envoyée, pour différentes valeurs de résistances, pour optimiser notre choix (on veut une résistance la plus petite possible, mais également dont la valeur est suffisante pour bien fonctionner dans le RLC). Voici les résultats des mesures pour le RLC, le but étant d'optimiser la valeur de la résistance. On trace le rapport maximal des tensions en fonction du log de la fréquence, pour des résistances entre 12 et 100 ohm. En bleu, la courbe théorique. Cela nous permet d'obtenir une courbe “de qualité” des résistances. En choisissant un seuil de 90%, on sélectionne un domaine de validité pour une résistance minimale de 20 ohm. On ne descendra donc pas en dessous de cette valeur dans toute la suite du RLC. —- 07/03/2018 : On a d'une part acheté un lot de composants électroniques pour commencer à composer le circuit de Chua. D'autre part, on développe et sélectionne deux idées d'expériences à faire en parallèle : l'expérience du double pendule pour illustrer le chaos, et celle du moulin de Lorenz pour tenter de reproduire la figure “historique” de l'attracteur de Lorenz. Pour ces deux idées on utilisera une méthode de tracking vidéo numérique en haute résolution (caméra 4K), de sorte à obtenir la position et la vitesse du pendule / des seaux en fonction du temps. On tracera ainsi leurs diagrammes dans l'espace des phases. En parallèle, on termine toutes les mesures sur le circuit RLC et on met bien en évidence le temps caractéristique de convergence vers l'attracteur. Pour différentes valeurs de résistances, condensateurs et inductances, on calcule le temps théorique de convergence, et on mesure un temps expérimental pour vérifier qu'ils correspondent. Pour ce faire, on demande à l'oscilloscope de “trigger” au moment d'un pic en tension, et on insère brusquement un courant dans le circuit initialement à vide, de sorte à sauvegarder sur une clé USB la phase de transition. On effectue 64 mesures, 2 pour chaque triplet (R,L,C), de sorte à observer la convergence à partir de deux “conditions” initiales différentes. On conçoit ensuite un code Python qui va ne garder que la phase de transition à partir du pic initial, et tracer la tension aux bornes de la résistance en fonction de la tension injectée. A première vue, on obtient bien les figures attendues. A partir de conditions initiales relativement aléatoires, les signaux (rouge et bleu) finissent par converger vers l'attracteur périodique (ellipse grise) au bout d'un certain temps. Il convient maintenant d'estimer ce temps caractéristique de convergence, et de le comparer aux valeurs théoriques. On va pour ça utiliser notre code Python pour “couper” les valeurs de nos signaux dans le temps, et essayer de sélectionner la plage temporelle qui semble le mieux correspondre à la phase de transition. Ce procédé est arbitraire et très incertain, on prendra donc en compte un ordre de grandeur entier d'incertitude sur la valeur mesurée (incertitude de 1 en log). Après avoir fait cette mesure pour les 32 graphes, on résume le tout sur un plot : temps mesurée en fonction du temps théorique en loglog (théoriquement on devrait obtenir la droite y=x). En introduisant notre incertitude d'environ 1 en loglog, on retrouve effectivement plutôt bien la valeur théorique du temps théorique. Tous les résultats à cette étape sont très satisfaisants, la théorie est vérifiée et on a mis en évidence attracteur ainsi que phase de convergence, on va donc pouvoir se focaliser sur le circuit de Chua ainsi que les deux expériences parallèles à partir de la séance suivante. —- 08/03/2018 : Conception d'un page web en Javascript pour simuler les équations du double pendule, ainsi que celles du circuit de Chua, et faire un plot 3D dans différents espaces de phase. On cherche à voir s'il est possible de trouver un attracteur tri-dimensionnel pour le système du double pendule. Voir : Double Pendule animé, Attracteur de Chua —- 13/03/2018 : On a testé la partie gauche du circuit de Chua. Cette partie est équivalente à une bobine de faible résistance. On a utilisé des AOP. Pour ce faire on a réalisé un circuit RL. Les résultats sont cohérents avec la théorie (rapport des amplitudes, décalage de phase). Cependant le signal est beaucoup plus dégradé que pour une bobine normale. On commence la partie de droite du circuit de Chua. —- 21/03/2018 : Nous avons essayé de réaliser tout le circuit de Chua : en ajoutant en entrée un signal carré, on obtient le bon attracteur et un signal concordant avec la théorie. C'est la première fois qu'on voit l'attracteur de nos propres yeux et le résultat est encourageant. Cependant cela vient du fait qu'on injecte un signal carré directement dans le circuit, normalement ce signal carré ne devrait pas être périodique mais devrait être produit à partir de l'amplification du bruit (chaotique) par les amplis op. Cela ne marche pas sans générateur (en amplifiant le bruit). Nous avons demandé de l'aide à notre encadrant (J. Beugnon) qui nous a expliqué une méthodologie pour trouver les erreurs et mieux comprendre le circuit. On commence ainsi à caractériser la partie droite du circuit (la partie “Diode de Chua”) pour voir dans quelle conditions elle se comporte comme une résistance négative. —- 04/04/2018 : Notre but est désormais de vérifier que toutes les parties de la diode de Chua fonctionnent comme prévu. On réalise le circuit de la diode comme voulu et on s'occupe de faire un graphique pour caractériser son courant de sortie en fonction de sa tension d'entrée. Ne disposant que d'un oscilloscope, donc de mesures en tensions, on place en fin de diode une résistance de 100 Ohm aux bornes de laquelle on mesure la tension, de sorte à obtenir, à un facteur près, l'intensité du courant. On mesure bien le graphique voulu, suivant la même forme linéaire par morceaux et symétrique qu'on observe dans la littérature, cependant la pente qui correspond à la résistance équivalente de la diode ne correspond pas à celle calculée par la théorie. Pire encore, en inter-changeant les deux entrées de l'oscilloscope, les valeurs mesurées changent (elles semblent changer d'un facteur 2 pour l'une, et 1/2 pour l'autre). On ne fait donc plus confiance à l'oscilloscope pour faire les mesures de tension et de courant (certainement un problème lié au transport de la terre par les câbles). Ne disposant pas d'un multimètre sur place, on est donc bloqués pour les mesures, mais on se fixe l'objectif de réaliser ce même diagramme la prochaine fois en prévoyant cette fois-ci un voltmètre et un ampèremètre. Ci-dessous on trace la tension de sortie en fonction de la tension d'entrée en Volts, pour les deux branchements possibles de l'oscilloscope. On observe que les deux branchements donnent des fonctions de transfert différentes. —- 27/04/2018 : L'étude du moulin de Lorenz est terminée. Le moulin construit par Diego fonctionne comme prévu, on l'a filmé en 4K avec différentes conditions initiales et débits d'eau. On a ensuite analysé son mouvement à l'aide de différentes méthodes numériques inspirées du domaine des effets visuels : tracking ponctuel pour repérer la position des 4 seaux au cours du temps, stabilisation inversée pour obtenir une image fixe de chaque seau, et keyframing pour suivre le niveau d'eau dans chaque seau image par image. On calcule enfin les coordonnées du centre de masse du moulin ainsi que sa vitesse de rotation à partir des données précédentes, et on trace les trois valeurs à l'aide d'un logiciel d'effets visuels, ici After Effects. Le résultat est celui attendu, à savoir un attracteur similaire à celui de Lorenz, qui semble fractal, et présente bien cette forme en “papillon”. On observe également que pour deux conditions initiales similaires, les comportements du moulin sont similaires pendant un certain temps, mais finissent par devenir complètement différents. —- 30/04/2018 : On a terminé de refaire le circuit de Chua, cette fois-ci sur une plaquette avec soudures pour un montage plus compact, transportable, et surtout plus lisible. On s'occupe de commencer l'étude de l'attracteur de Chua qui apparaît bel et bien à l'oscilloscope. Il nous manque seulement de disposer d'un oscilloscope à trois entrées pour pouvoir enregistrer les trois tensions de sorties en même temps et ainsi tracer l'attracteur en 3D. Pour l'instant on peut tracer les trois projections de la figure obtenue. Pour une meilleure visualisation de l'attracteur, on effectue une moyenne flottante de 5 échantillons pour lisser légèrement le bruit et la quantification numérique du signal de l'oscilloscope. On superpose aussi 12 mesures différentes pour chaque graphe, de sorte à voir davantage “d'instants” dans le graphe de l'attracteur. Pour faire le lien avec nos premiers graphes sur ce projet, on observe également le même comportement de bifurcation qu'avec la dynamique des populations. En faisant varier la position du curseur du potentiomètre sur notre circuit, on modifie les paramètres des équations de Chua, ce qui change l'attracteur. Celui-ci est au départ périodique, puis on observe un doublement de fréquence, suivi d'une cascade chaotique etc… On essaiera de mieux caractériser ce comportement avant de finir le projet. —- 02/05/2018 : On s'occupe maintenant de caractériser les différentes formes de l'attracteur en fonction des paramètres des équations le décrivant (résistance réglable via un potentiomètre à 1 tour). On récupère des données pour différentes formes, et on observe ainsi les différentes phases de bifurcation de l'attracteur. On trace un graphique en 3D superposant les différents attracteurs pour voir leur évolution en fonction de la résistance du potentiomètre. D'autre part, on s'intéresse à la phase de transition à l'allumage. On utilise l'oscilloscope pour trigger sur un pic de signal, ce qui nous permet d'acquérir les premiers instants du circuit juste après allumage du bloc d'alimentation. On trace en XY sur Python ces différentes données et on vérifie bien que dans chacune la trajectoire est d'abord aléatoire puis tend progressivement vers l'attracteur final. On comprend aussi finalement pourquoi le circuit précédent sur breadboard ne fonctionnait pas. L'un des deux ampli op que l'on utilisait était visiblement mort. En effet, grâce à des supports tulipe on a testé les différents amplificateurs sur le circuit final, soudé, et remarqué que pour l'un d'entre eux (que l'on utilisait avant) l'attracteur n'apparaissait pas. Tous les problèmes sont résolus. —- 04/05/2018 :**

Dernières mesures sur le circuit de Chua, on enregistre l'attracteur donné par plusieurs valeurs du potentiomètre, et on trace des graphes de ces attracteurs ainsi que de leurs transformées de Fourier rapides en espérant observer une bifurcation des fréquences du même type que celle obtenue le premier jour avec la dynamique des populations. Les graphes sont satisfaisants et on obtient bien une image du diagramme de bifurcation. Celle-ci manque cependant un peu de précision, nous aurions peut-être dû utiliser un potentiomètre à 10 tours plutôt qu'un à 1 tour, et ainsi prendre plus de valeurs, ou aussi rapatrier plus de données de l'oscilloscope pour chaque valeur de sorte à avoir une meilleure transformée de Fourier.