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Notre objectif premier était reproduire le modèle de réfrigérateur réalisé dans la vidéo Rubber Bands Refrigerator tout en optimisant les matériaux de l'enceinte, la nature des élastiques, la structure et le mécanisme du réfrigérateur.

Image 1 : Prototype du réfrigérateur, extrait de la vidéo de référence

Cette machine est composée d'une enceinte cubique ayant des arêtes d'une longueur d'approximativement 40 cm, enceinte qui constitue le “corps” du réfrigérateur. L'effet élastocalorique qui ressort de la traction et la détente d'un élastique est ici mis en oeuvre à l'aide d'une roue. Les élastiques sont attachés à un point interne à l'enceinte d'une part, et d'autre part tout le long du périmètre de la roue, de telle sorte qu'ils soient périodiquement tendus et détendus. Un ventilateur est ajouté au sein de l'enceinte pour homogénéiser la température interne.

La rotation est actionnée d'une manivelle, qui à partir d'engrenages peut faire tourner la roue assez rapidement (grâce à un rapport de réduction élevé). Sur la vidéo, ces engrenages sont fait en bois, ce qui donne lieu à de nombreux lieux de friction, et donc de nombreux lieux où de chaleur est générée au sein de l'enceinte, faisant perdre le refroidissement en efficacité. (figure ci-dessous)

Image 2 : Points de chauffe du prototype du réfrigérateur, extrait de la vidéo de référence

Nous avons déjà discuté des matériaux constituant l'enceinte et le résultat final. Mais qu'en est-il de ses dimensions ? Faut-il faire un petit volume, plus simple à réfrigérer, un grand volume pour laisser de la place à la roue et pouvoir maximiser l'élongation des élastiques ? Les réponses ont été apportées par l'expérimentation !

Les expériences nous ont tout d'abord montrés que les élastiques pouvaient être tendu jusqu'à 1m pour certains. Cependant ce n'était pas eux qui, pour une même élongation absolue donnée, possédait la plus grande variation de température. Elles ont permis de montrer que les élastiques de 6 cm de longueur étaient les plus rentables pour une élongation relative de 4-5 $l_0$ (ce qui, d'après la thèse de Z.J.Xie, est la meilleure déformation à appliquer pour un équilibre entre résistance à la fatigue et variation de température). Cela donne une longueur $l_{tend}$ d'élastique tendu de 30 cm. Nous nous étions alors dit que l'on pourrait prendre une roue de 35/40 cm de diamètre, pour ne pas avoir à fixer les extrémités des élastiques tout au bord de la roue (en bref pour avoir une marge), et décentrer le pivot de la longueur de l'élastique, i.e placer le point où tous les élastiques sont attachés à $d - 6$ cm du centre, avec $d$ le diamètre. N.B. : nous avons eu tort, nous avons vu trop grand. De ce fait, les élastiques de 6 cm ne sont pas compatible avec le modèle final, il faut donc prendre les élastiques de 9 cm de longueur (qui obtenaient des variation de température similaire pour une élongation relative de 4-5 $l_0$, les deux ayant la même épaisseur de 1,5 cm). Le résultat ne change donc pas réellement, nous aurions simplement pu diminuer le rayon de la roue de 5 cm, ce qui aurait peut-être influencé le choix de la dimension de l'enceinte.

<note>De ce fait, nous avons choisi de prendre une dimension d'enceinte équivalente à celle de la vidéo, à savoir un cube d'arêtes de 40 cm. Cela nous paraissait raisonnable au vu de la taille de la roue choisie pour différents critères :

• Nous pouvons ajouter des éléments, comme des ventilateurs (ce qui est fait dans la vidéo)
• La roue peut s'étendre au sein de l'enceinte (facilitation de la diffusion du “froid”), la roue et l'enceinte ont à peu près la même dimension
• Nous pouvons placer un objet quelconque dedans (car le but d'un réfrigérateur n'est pas de refroidir seulement l'air qu'il contient)

</note> Il était de toute manière difficile d'estimer la capacité de réfrigération au sein de l'enceinte en fonction de son volume au vu du peu d'informations que l'on a pu glâner dans la vidéo et sur internet (ce sujet n'étant pas extrêmement documenté).

Afin de laisser passer la roue, une des faces de notre enceinte sera fendue d'une surface de X cm x 40 cm, où X sera compris entre 5 et 10, en fonction de l'épaisseur de la roue et du système d'attache des élastiques.

Le système qui s'est imposé et que l'on a compté reproduire en premier lieu était la roue, comme dans la vidéo. Cependant, nous avons songé à d'autres structures et moyens de déformation, qui auraient peut-être amélioré le système d'origine.

<note tip>Un changement majeur aurait été l'utilisation de la torsion des élastiques (déjà expérimentée par des chercheurs américains et chinois, dont l'article Torsional refrigeration by twisted, coiled, and supercoiled fibers est lisible ici -et l'on peut trouver d'autres informations ici-). Cet article critique notamment le fait que l'on ait besoin d'une élongation de 5 à 6 fois la taille de l'élastique afin d'avoir un refroidissement en surface acceptable. Pour le citer, un élastique en caoutchouc naturel tendu à $2l_0$ et extrêmement tordu, puis relaché, aura une température de surface après la détente de 15,5°C inférieure à sa température d'origine ! Et cet effet, qu'on pourrait traduire littéralement par “torsiocalorique” est encore renforcé lorsque le matériau utilisé est un alliage de titane et de nickel (NiTi, ou Nitinol). Ce Nitinol, tordu sans appliquer aucune tension préalable, voit sa température de surface diminuer en moyenne de 14,4°C après avoir relaché la torsion, et peut refroidir de la vapeur d'eau de 7,7°C en un cycle avec ce processus ! Vous l'aurez compris, la torsion est bien plus efficace que la tension pour faire diminuer l'entropie de l'élastique et provoquer d'importantes variations de température, et le couplage de ces deux effets promet un encore meilleur résultat.</note>

Ce système nécessitait néanmoins plusieurs moteurs et une toute autre conception, enrouler très rapidement un élastique de nombreuses fois sur lui-même étant bien plus complexe que de simplement le tendre et le détendre. La machine serait alors une sorte de cube dans un parallélépipède rectangle, avec une partie “avant”, au sein du cube, qui constituerait l'enceinte principale, et une partie “arrière”, entre le cube et l'extrêmité du parallélépipède, où le dispositif de refroidissement serait situé. Il s'agirait de laisser la partie arrière de la machine (contenant les élastiques, pré-tendus) entre deux plaques qui coulisseraient horizontalement en opposition de phase. Un cycle en 4 étapes se présente alors : $ \\ $ - plaque intérieure fermée, plaque extérieure ouverte (enceinte cubique) : élastiques en contact avec l'extérieur, torsion maximale (la chaleur dégagée se dissipent à l'extérieur) $ \\ $ - plaque intérieure fermée, plaque extérieure fermée : Phase de transition nécéssaire avant l'ouverture de la plaque intérieure $ \\ $ - plaque intérieure ouverte, plaque extérieure fermée (enceinte parallélépipédique) : élastiques à l'intérieur du frigo, détordus (froids)$ \\ $ - plaque intérieure fermée, plaque extérieure fermée : Phase de transition nécéssaire avant l'ouverture de la plaque extérieure $ \\ $

Schéma 1 : Système alternatif utilisant la torsion. La phase du cycle représentée est la première : les élastiques, attachés d'une part à un socle et d'autres part aux moteurs, sont complètement tordus. La plaque extérieure est ouverte (elle translate sur des rails, non-représentés ici) pour laisser s'échapper la chaleur. Les parois mouvantes (les plaques) sont en jaunes, les élastiques sont beiges, les moteurs sont les cercles au-dessus de rectangles. En rouge est délimité le volume de l'enceinte cubique, en noir le volume de l'enceinte parallélépipèdique.

Le montage est assez différent, et il faut absolument une alimentation conséquente pour automatiser les mouvements de plaques et les moteurs tordants les élastiques (nous pension attacher l'élastique autour de l'axe de rotation du moteur : le moteur mis en marche enroule l'élastique autour de lui-même). Une série d'engrenages permettrait de réduire le nombre de moteurs mais on risquerait alors de multiplier les sources de frottements. Un tel montage pourrait être intéressant avec des engrenages en métal. On pourrait également choisir le temps de repos des élastiques dans chaque milieu (extérieur ou intérieur).

Cette idée de montage est très complexe, donc sûrement pas la plus optimale (cf principe de parcimonie ).

<note tip>Nous avons aussi songé à utiliser ce même mécanisme de plaques coulissantes simplement avec la tension, nous permettant alors d'enlever les multiples moteurs et les engrenages que nécessitaient la torsion. Nous comptions tendre simultanément tous les élastiques, que l'on aurait fixé à un socle commun translatant périodiquement sur des rails. Le défaut de ce système était la taille qu'il aurait dû prendre : si l'on veut tendre de $5l_0$ un élastique d'une dizaine de centimètre, cela ajoute au moins 50 cm de profondeur à notre enceinte initiale. Cela aurait pu être résolu en “pré-tendant” les élastiques, c'est à dire en les soumettant avant la tension à une tension initiale, de sorte qu'ils ne commencent pas l'expérience dans leur état naturel, que leur longueur ne varie plus de $l_0$ à x$l_0$ mais de $\alpha l_0$ à x$l_0$, avec $\alpha > 1$. Nous avons montré dans la théorie et dans nos expériences qu'une pré-contrainte augmentait la variation de température pour une variation d'élongation absolue $\Delta l_0$ donnée. Cependant, cette idée rendait le dispositif trop complexe, nous ne la mettrons pas en oeuvre bien qu'elle reste intéressante !</note>

<note important>Après diverses argumentations quant à la faisabilité et à la qualité d’étude d’un système différent de celui de la vidéo de référence, nous avons décidé de nous tenir à la réalisation de notre première idée : une roue constituée de rayons sur lesquels sont accrochés les élastiques et munie d'un pivot décentré qui permettra de faire passer les élastiques d'un état tendu à un état au repos. Les élastiques seront probablement attachés au pivot sur un arc de la roue qui ne tournera que par demi-tours successifs : cela permettrait de créer une tension et une détente rapide, avec une mise à l’équilibre dont on pourrait fixer le temps. Nous avons en effet remis en question l’efficacité de la roue telle que présentée, qui tend progressivement les élastiques lorsqu'elle tourne à vitesse constante, ce qui, au vu des résultats des expériences, limiterait beaucoup la variation de température des élastiques (PERTE DU CRITÈRE “ADIABATIQUE RÉVERSIBLE” DE LA TRANSFORMATION).

La nécessité d'une variation rapide de tension implique une répartition inégale des élastiques sur l'ensemble de la roue : les répartir uniformément réduirait le champ d’action de ceux qui ne sont pas aux points extrêmes de la roue par rapport à l’horizontale. Il faudrait donc ne positionner les élastiques qu'au sein d'un angle assez faible formé par ceux-ci et le point de pivot (et en théorie, plus l'angle est petit, plus la variation de température est grande pour tous les élastiques) : il faut qu'ils soient concentrés autour de deux points opposés de la roue plutôt que répartis sur tout son périmètre. </note>

Nous songions à diverses solutions, l'utilisation de lubrifiant, un roulement à bille autour du pivot ou encore un matériau différent pour le pivot (comme le métal) afin de les limiter au maximum.

<note tip>Nous songions à automatiser la rotation de la roue à l'aide d'un moteur pour plusieurs raisons. La première, d'ordre physique, était d'éviter que le fonctionnement de la machine doive se faire à l'aide d'un corps humain chaud à côté pour tourner une manivelle, ce qui fausserait les mesures (cf la vidéo à 5:30 min). La seconde était d'ordre pratique et technique : en imaginant qu'une telle machine fonctionne et soit commercialisable, il faudrait assurément qu'elle soit active tout le temps, et donc soit autonome. Cela impliquait alors un rapport de réduction important entre l'engrenage moteur et la roue principale. Nous avons finalement abandonné l'idée du moteur et des engrenages au vu de la complexité du montage par rapport au temps que nous avions, bien que cela semble être une bonne idée.</note>

Nous avions aussi pensé à fabriquer deux roues, soit superposées l'une à côté de l'autre dans une fente plus large, afin de placer plus d'élastiques, soit opposées, l'un en face de l'autre, et venait alors la nécéssité de créer un second système d'engrenage, et une seconde fente sur la face opposée. Nous avons cependant tempéré nos ardeurs, d'autant qu'apparaissaient certains problèmes avec ce que l'on nomme “point de pivot” (le point où sont tous attachés les élastiques au sein du réfrigérateur, et donc par conséquent autour duquel ils tournent, cf image 3. C'est aussi le point de chauffe de gauche sur l'image 2, il est sur son système aligné avec l'axe de rotation du ventilateur), notamment le possible emmêlement des élastiques après plusieurs rotations.

Image 3 : modélisation de la roue, extrait de la vidéo de référence

Pour pouvoir conserver les plus grands écarts de températures entre l'intérieur du réfrigérateur et le milieu extérieur, il était nécessaire que l'enceinte de notre système soit le plus possible isolée thermiquement. Et pour cela qu'elle ait une faible conductivité thermique globale.

Nous hésitions initialement entre du plexiglas (PMMA), de coefficient de conductivité thermique $\lambda_{PMMA} = 0,17-0,19 \ W·m^{-1}·K^{-1}$ à température ambiante (d'après source 1), et du bois contreplaqué, de coefficient de conductivité thermique $\lambda_{bois} = 0,11-0,15 \ W·m^{-1}·K^{-1}$ à température ambiante ( cf source 2, source 3). La valeur exacte de la conductivité thermique du contreplaqué dépend de sa densité, et nous songions à utiliser l'un ces deux matériaux car ils pouvaient facilement être découpé à la découpeuse laser Trotec Speedy 100 et fourni par l'université.

<note>Rappel : la résistance thermique d'un matériau correspond à une résistance thermique de conduction, $ R_{cond} = \frac{e}{\lambda}$, avec $e$ l'épaisseur du matériau. L'air immobile aux conditions de référence (1 bar, 20°C) est l'élément qui a la plus basse conductivité, $\lambda_{air} = 0,026 \ W·m^{-1}·K^{-1}$ </note>

Il fallait donc simplement jauger, en fonction des épaisseurs des échantillons proposés par la plateforme des T.P. de physique quelle pièce aurait la meilleure résistance thermique. Nous savions que nous pouvions couper 1 cm de PMMA contre quelques millimètres d'épaisseur de bois. L'avantage du PMMA était aussi sa transparence, nous permettant d'observer simplement l'intérieur de l'enceinte de notre machine thermique. Par ailleurs, nous songions à ajouter de la laine de verre sur les parois, afin d'accroître la résistivité thermique des parois : en effet, $\lambda_{laine de verre} = 0,030-0,040 \ W·m^{-1}·K^{-1}$ (d'après source 4, source 5).

Finalement, nous utiliserons simplement des planches de bois d'origine inconnue, qu'on suppose comme étant un bois dense, de conductivité thermique $\lambda_{bois}$ valant approximativement $0,15$ W·m^${-1}$·K^${-1}$ , et idéalement nous ajouterons de la laine de verre sur les parois internes.

Nous pensions également, comme dans la vidéo, ajouter des ventilateurs pour homogénéiser la température l'air à l'intérieur du réfrigérateur et à l'extérieur pour celle des élastiques. Nous comptions les faire tourner sur le même axe que la roue principale. <note>Nos expériences (et la vidéo, à 1:10 min) ont montré qu'un temps d'homogénéisation de la température de l'ordre de quelques secondes entre les élastiques et l'environnement est nécessaire. On envisageait donc d'utiliser de grands ventilateurs et de faire tourner lentement la roue principale. Cependant la vitesse de rotation lente de la roue est incompatible avec la tension rapide (car adiabatique) qu'impose l'effet élastocalorique (Nos expériences, par pointage, nous avaient aussi amener à déterminer une vitesse de tension idéale de 1 m/s, et une vitesse de rotation de la roue d'environ 2 trs/s d'après le modèle théorique). Nous avons alors considéré l'idée d'automatiser la rotation en la faisant tourner par à-coups, peut-être à l'aide d'une carte Arduino®. L'abandon de l'idée du moteur entraîne l'abandon de l'automatisation de la roue par à-coups. Cependant, ce qui est certain, c'est que la roue ne doit pas tourner à vitesse constante, et l'on présume plutôt des demis-tours successifs !</note>

Nous comptions alors ajouter une manivelle reliée directement à la roue, dont le centre de rotation est à l'extérieur du réfrigérateur, manivelle dont la rotation aurait été stabilisée à l'aide d'un appui, ce qui aurait créé de légers frottements mais aurait rendu le système stable (cf schéma 2 ci-dessous : l'appui de la manivelle est une extension d'une paroi de l'enceinte, ce qui aurait aussi permis de dissimuler la roue si l'on observait la machine de front). Nous aurions aussi ajouté un mécanisme bloquant la rotation de la roue au bout d'un demi-tour (mécanisme qui pourrait tout de même être franchi à partir d'une certaine force, comme une sorte de trappe qui ne s'ouvre que si l'on pousse suffisamment fort dessus.

Schéma 2 : L'idée du réfrigérateur après l'abandon des engrenages et du moteur. Une liaison pivot parfaite est assumée entre le centre de la roue et la tige de la manivelle pour qu'il n'y ait pas d'efforts internes à la jonction de ces deux éléments, qui se traduiraient par la nécessité d'une plus grande force / de plus de tours de manivelles pour entraîner la roue. Cela signifie aussi que la roue ne peut pas translater sur la tige, elle y est fixée à son extrémité. Nous avons conscience que ce système est la pire configuration possible pour une manivelle (un calcul de moment peut montrer qu'il aurait été optimal de mettre la tige à la distance d'un rayon par rapport au centre de la roue, mais il aurait alors fallu usiner un cercle dans la paroi supplémentaire, afin d'effectuer la révolution autour du centre de la roue). De toute manière, ce système n'est probablement pas réalisable, il faudrait que la manivelle soit suffisamment solide pour résister au poids de la roue, et que nous ayons suffisamment de force pour faire tourner la manivelle au gré du poids et des forces de frottements qui luttent contre notre mouvement.

Au vu de la situation exceptionnelle, nous nous sommes contenté d'un système élémentaire, un stick de colle. En effet, la colle sort de ces tubes par rotation d'un cylindre à la base du tube (liaison hélicoïdale), et cette rotation du cylindre se bloque en position initiale (colle dans le pot) et en fin de course (toute la colle est sortie). Notre système n'a pas besoin de tourner continûment dans le même sens, grâce au temps de pause de quelque secondes imposé, nous pouvons le faire tourner un certain nombre de fois dans un sens, puis un certain nombre de fois dans le sens opposé : un tube de colle suffisamment vide peut alors servir de pivot. Ainsi, la roue ne peut plus tourner “infiniment” dans un seul sens, elle va devoir inverser son sens de rotation au bout d'un certain nombre de tours. Par ailleurs, la rotation de la roue devra se faire manuellement, l'installation d'un système de manivelle étant dorénavant impossible. Cela va probablement fortement diminuer la facilité d'utilisation et le rendement de notre système, mais c'est la meilleure solution possible.

<note tip>Enfin, nous songions peut-être à ne mettre des élastiques que sur deux points opposés de la roue pour pouvoir séparer les phases de tension et de détente, car dans le modèle de référence, en dehors du ventilateur, il n'y a pas de temps dédié à l'homogénéisation et il y a constamment des élastiques qui se tendent et d'autres qui se détendent. Cette idée, contrairement aux précédentes, a été conservée, d'autant plus que l'idée d'un ventilateur a été abandonnée. La roue, qui devait à l'origine être logiquement un disque taillé dans du bois, s'est retrouvée faute de moyen (confinement oblige) être une planche de bois en rotation autour de son centre (bien qu'un modèle en LEGO™ ait été essayé). Cela ne nuit néanmoins pas à l'idée de la répartition inégale des élastiques sur la roue, cela impose seulement une plus fine surface de répartition, et à vrai dire une seule configuration possible. Nous n'avons pas les capacités d'essayer différentes configurations afin de trouver laquelle se serait avérée être la meilleure.</note>

Cette planche de bois, de longueur $L$ et de largeur $l$, tel que $L >> l$, doit donc tourner rapidement entre sa position horizontale (sa longueur est parallèle au sol) et la position horizontale inverse (celle que l'on obtient après une rotation de ±π), cf schéma 3 ci-dessous.

Schéma 3 : représentation de la planche qui nous sert de roue, dans une position où les élastiques sont soit tendus, soit détendus (la position horizontale est une position intermédiaire ou les élastiques ont la même élongation. Nous souhaitons, pour optimiser la variation de température, passer d'une position horizontale à la position suivante le plus rapidement possible.

Et voilà comment à partir des idées de ventilateurs, d'engrenages et d'une roue automatisée, tournant de π radian en 0,25 secondes puis s'immobilisant quelques secondes, en passant par une idée de manivelle et de système de blocage, nous sommes arrivés à utiliser une planche en bois d'une longueur de 40 cm environ, que l'on fait tourner manuellement (en la poussant à une de ses extrémités) et le plus vite possible. Ce système interagit avec une enceinte de 40 x 40 x 40 cm à travers une fente dont on déterminera la largeur lors de la construction du prototype.