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Semaine du 23/12/19

27/12/2019 : Jessy poste une annonce sur Moodle, cherchant des partenaires pour réaliser le projet « Réfrigérateur à élastiques »

28/12/2019 : Nicolas et Thomas se lancent dans l’aventure avec lui

Semaine du 13/01/20

13/01/2020 : Les trois membres se rencontrent, créent un groupe de discussion et partagent les premières réflexions : organisation des tâches, étude théorique et protocole expérimental

Semaine du 20/01/20

22/01/2020 : Recrutement de Marin suite à la présentation de l’UE Projet en autonomie

25/01/2020 : Première rédaction du wiki

Semaine du 27/01/20

28/01/2020 : Réunion afin de commencer le diagramme de Gantt et de se répartir les tâches plus en détails :

• Renseignement sur les élastiques, propriétés thermoélastiques des matériaux, longueur au repos et élongation nécessaires
• Recherche d'articles pour voir ce que contient la constante de raideur, et comment comparer les constantes des différents élastiques pour aboutir à un rendement optimal
• Prise de contact avec le professeur référent

30/01/2020 : Recherche d'élastiques dans les magasins de bricolage parisiens et sur internet

Semaine du 03/02/20

03/02/2020 : Recrutement de Gaspard

04/02/2020 : On demande aux techniciens de la licence de physique si on pourra avoir accès à une caméra thermique pour notre projet La caméra thermique de la licence est utilisée le jeudi après-midi et toute la journée du vendredi, elle est libre le reste du temps. On demande à ce que le logiciel de traitement de données propres à la caméra soit installé dans la salle de projet où l'on travaillera. Il est déjà installé dans la salle couloir 22-23, dans laquelle on pourrait aller si beaucoup d'étudiants sont déjà dans la salle de projet classique, ce qui perturberait nos mesures au vu de la chaleur dégagée par leur corps.

05/02/2020 : Première réunion du groupe au complet et entretien avec le professeur référent. Voici les points abordés :

* Notre objectif principal est de reproduire le modèle de réfrigérateur réalisé dans la vidéo Rubber Bands Refrigerator tout en optimisant les matériaux de l'enceinte, la nature des élastiques, la structure et le mécanisme du réfrigérateur.

* À propos du wiki: nous nous fixons une deadline hebdomadaire de rédaction : à dimanche 15h, les choses doivent être mises au propre. Nous devons répertorier toutes nos sources, quelles qu'elles soient, quitte à faire le tri à la fin. Nous avons convenu de nous rassembler mercredi 12 février à 16h pour faire le point et faire nos expériences. ajouter des schémas et des photos pour les expériences ou pour les mécanismes

* Le choix des élastiques est notre priorité car toutes les dimensions du réfrigérateur en dépendront, c'est pourquoi les tests de sélection des élastiques doivent être faits rapidement. L'achat des élastiques est lancé pour mercredi, nous partons sur deux modèles, de dimensions 120 x 8 mm et 150 x 6 mm (longueur x largeur).

Il faut que les élastiques puissent supporter le plus grand allongement possible pour qu'on puisse y récupérer un maximum d'énergie. On veut également qu'ils soient le plus épais pour qu'ils soient solides et aient une assez grande raideur, car la raideur d'un élastique constitué d'un matériau polymère de type caoutchouc, est liée à la température, selon la source INSÉRER UNE SOURCE + ÉTAYER LA RELATION. Photo des élastiques : INSÉRER PHOTO Les élastiques ci-dessus sont ceux qui ont été trouvés après une recherche dans les magasins de bricolage de Paris. Ceux-ci sont vendus chez Office Dépot dans le même emballage, on suppose qu'ils ont une composition globalement similaire mais seulement des dimensions différentes. Dans la même gamme d'élastiques, il y en a également de dimensions 80 x 1,5 mm et 120 x 1,5 mm. Cependant, nous supposons qu'ils sont trop peu épais pour être suffisamment efficace d'une part, et pour résister à une traction sur le long terme d'autre part. Se vendant par boite de 100g, nous décidons de ne pas les acheter mais plutôt d'en ramener de chez nous quelques uns de dimensions similaires, pour pouvoir confirmer notre hypothèse à propos de leur moindre intérêt.

Nous avons aussi considéré l'existence des élastique de déménagements, dont la largeur est de l'ordre de 3 cm et la longueur de 1m. On aurait pu les couper pour les nouer ou les attacher à la longueur dont on aurait eu besoin. Après discussion au sein du groupe, l'idée ne paraissait pas viable à cause du supposé manque de solidité et des pertes d'énergie dues au nœud que l'on aurait pu faire.

* Quant à l'enceinte nous avons plusieurs choix possibles, notamment du bois ou du plastique. Le bois a pour avantage sa facilité de découpe grâce à la découpeuse laser du fablab Trotec Speedy 100, son inconvénient est sa faible capacité d'isolation thermique (sur une épaisseur de paroi du moins). L'avantage d'une structure en plastique issue d'imprimante 3D pourrait être sa meilleure capacité d'isolation thermique, cependant celles du Fablab auxquelles nous avions accès sont très petites (voir La Up-mini, elles ne permettent que de construire des objets de taille 120 x 120 x 120 mm, et sont souvent défectueuses. Nous utiliserons donc probablement du bois. Récupérer de la laine de verre pour l'isolation pourrait de plus l'améliorer, mettre plusieurs couches séparées par de l'air ou du vide selon les moyens, comme un double vitrage, peut être aussi une idée intéressante afin d'avoir l'enceinte la plus calorifugée possible.

* Le mécanisme est en grande partie composé d'engrenages. Sur la vidéo, ils sont fait en bois, ce qui donne lieu à de nombreux lieux de friction, et donc de nombreux lieux où de chaleur est générée au sein de l'enceinte, nous faisant perdre en efficacité. (figure ci-dessous)

Nous avons pensé à plusieurs solutions : l'utilisation de lubrifiant, un roulement à bille autour du pivot, un matériau différent pour le pivot (comme le métal) pour limiter les frottements… Tout ceci reste à voir.

Nous pensons à ajouter des ventilateurs pour homogénéiser la température l'air à l'intérieur du réfrigérateur et à l'extérieur pour celle des élastiques.

* Objectif de la semaine suivante : avoir un protocole de sélection des élastiques, faire cette sélection mercredi avec la caméra thermique et un banc d'optique et faire le diagramme de Gantt, se répartir les tâches.

06/02/2020 : Visite rapide du Fablab pour déterminer comment seront fait les engrenages du réfrigérateur.

Après discussion avec un membre du Fablab, on ne pourrait couper qu'à quelques millimètres de profondeur avec la découpeuse laser à laquelle on aurait accès pour découper du bois (pour les engrenages ici). Avec un certain polymère, le PMMA (plus connu sous le nom de plexiglas), on pourrait découper jusqu'à 1 cm en profondeur. En théorie on pourrait aller plus loin, mais il faudrait demander l'autorisation aux techniciens responsables de la machine. Si ces dimensions ne nous conviennent pas, on pourra toujours imprimer les engrenages en 3D.

Semaine du 10/02/20

10/02/2020 : AVERTISSEMENT : CETTE MODÉLISATION EST ERRONNÉE, DÛ À UNE INCOMPRÉHENSION SUR LE PRINCIPE DU PIVOT Une fois les élastiques choisis, il faut déterminer une relation afin d'optimiser la position de l'axe qui va plier (tendre ou détendre l'élastique), c'est le point C sur le dessin. Ce point est à une distance x du centre du cercle et c'est cette distance que l'on veut exprimer en fonction de la longueur maximale de nos élastiques (déterminée la semaine précédente) et du rayon du cercle (qui schématise l'engrenage).

Tout d'abord on peut faire quelques observations : sur la vidéo à 2min et 37s (figure ci-dessous) on voit que les extrémités des élastiques sont fixées sur un diamètre du cercle et lorsque la roue va tourner, l'élastique (en rouge) va se déformer et s'allonger. On notera a+a' la longueur totale de l'élastique. Le segment c est perpendiculaire à [DA].

A priori x peut varier entre 0 et r. α va décroître de 180° à un minimum puis croître de nouveau jusqu'à 180°. la distance d va décroître de x à 0 puis croître de nouveau jusqu'à valoir x.

On peut appliquer le théorème de Pythagore aux triangles a'b'c, abc et xcd.

$$ a = \sqrt{c^2+ b^2} \\ a'= \sqrt{c^2+ b'^2} \\ x^2 = c^2 + d^2 $$

On remplace les $c^2$ : $ a + a' = \sqrt{x^2 + b^2 - d^2 + (x^2+ b'^2 - d^2} $ <fc #ffa500>(1)</fc>

On remarque alors que a + a' maximum correspond à d nul. c'est le cas où α est minimum et x est perpendiculaire au segment [DE] et le triangle CDE est isocèle. Par un simple calcul de sinus on a alors : $ α_{min} = 2 Arcsin(\frac{r}{a}$)

On voit aussi que plus x est choisi grand et plus a+a' est grand. Au cours du mouvement, on distingue deux étapes: α décroît (b = r, b' + d = r) ET α re-croît (b' = r, b + d = r) si l'on reporte cela dans <fc #ffa500>(1)</fc> on obtient :

$$ ∀α, a + a' = \sqrt{r^2 + x^2 - 2rd} + \sqrt{r^2 + x^2 - d^2} $$

et d = 0 correspond à l'allongement le plus grand soit :

$$(a + a')_{max} = 2*\sqrt{r^2 + x^2} $$

Nous avons alors une relation entre l'élongation maximale de l'élastique, les dimensions de la roue et la position de l'axe (point C). Il est ainsi possible de construire un engrenage de n'importe quelle taille et positionné en C de manière à maximiser l'élongation de l'élastique et donc les échanges de chaleur. Il est à noter que ce schéma ne tient pas compte de l'épaisseur/rayon de l'axe C surtout si celui-ci est “encombré” par une somme d'élastiques : il faudra tenir compte de la force de tension des élastiques pour connaitre cette épaisseur/rayon (on veut un axe qui ne casse pas donc sûrement épais, solide).

11/02/2020 : Nous fixons un protocole expérimental pour caractériser les élastiques, i.e déterminer quel élastique parmi ceux que l'on possède absorbe le plus la chaleur. Matériel : Élastiques référence , caméra thermique, logiciel d'acquisition SmartView 3.3, banc d'optique.

S'installer dans une salle vide, à température globalement homogène (vérifiable avec la caméra thermique). Fixer à une extrémité du banc (dont l'utilité majeure est de pouvoir faire coulisser simplement des objets sur un outil permettant de mesurer les distances) l'élastique. Fixer l'autre extrémité de l'élastique à un support mobile, que l'on déplacera à la main. Dans cette configuration, l'élastique est détendu. Démarrer l'acquisition de donnée par la caméra thermique, qui filme l'élastique à bonne échelle (ne pas cadrer toute la pièce, ni une moitié d'élastique). Tirer brusquement sur le support mobile et le maintenir pendant quelques secondes (typiquement 5-7) à la distance à laquelle il a été déplacé. Dans cette configuration, l'élastique est tendu. Noter la distance à laquelle il a été étendu. Attention, pour rester dans un régime élasticité linéaire, la distance à laquelle l'élastique a été tendu ne doit pas dépasser deux fois la longueur de l'élastique au repos (l'élastique ne souffre pas de déformation plastique, cf source ). Ramener brusquement le support mobile à sa position initiale, attendre quelques secondes, et arrêter l'acquisition de données.

Réitérer pour différents élastiques, et après analyse des données de la caméra thermique, déterminer quelle dimension d'élastique parmi celles proposées offre la meilleure absorption de chaleur. Réitérer si possible sur différents ordres de grandeurs de distance (Si d₀ est la longueur initiale, passer d'un allongement de 1,2 d₀ à un allongement de 1,9 d₀ par exemple, pour étudier l'effet de l'allongement de l'élastique). Réitérer si possible sur différentes vitesses d'allongement (allongement brusque, allongement progressif, allongement quasi-statique). Cette expérience sera utile pour donner une vitesse idéale de cycle tension-détente, nécessaire pour obtenir la vitesse à laquelle notre roue devra tourner.

12/02/2020 : Expériences sur trois élastiques réalisées de 16h à 18h:

Tout d'abord, nous avons réétudié le principe du pivot présent dans la vidéo de référence Rubber Bands Refrigerator. L'étude du 10/02 s'est avérée ne pas être la bonne. En effet, tous les élastiques sont reliés au point de pivot. De plus, dans le modèle du 10/02, nous considérions que le diamètre de la roue correspondait à la taille de l'élastique au repos, tandis qu'il s'avère que dans le modèle de la vidéo, la taille au repos correspond à la plus petite distance entre le point de pivot et un point de la roue. Ainsi, pour un même élastique, la roue du modèle 2 a une taille plus grande. Nous avons aussi envisagé une étude de la fatigue des élastiques, mais nous manquons de moyens pour réaliser l’expérience (voir éventuellement avec l'administration de la Méca pour accès à Saint-Cyr ?). On peut également prendre les données issues de l'Effet élastocalorique dans le caoutchouc naturel, Zhong Jian Xie, 2016, pour éviter de réaliser des expériences complexes et secondaires. Il note que “la résistance à la fatigue pour de grandes amplitudes de déformation (déformation de 1 à 6) est d'environ 800 cycles pour le caoutchouc testé”.

Nous avons donc suivi le protocole du 11/02, à ceci près que nous n'avons pas respecté la condition du régime linéaire : une élongation de moins de deux fois la taille au repos de l'élastique ne donnant aucun résultat concluant (trop faibles voire inexistantes variation de température), nous avons décidé de réaliser des allongements à distance finie (60 cm d'allongement absolu), puis un test d'élongation maximale allant de cinq à huit fois la longueur initiale de l'élastique. Enfin, nous avons ajouté une expérience, dite “de rupture”, où nous avons étudié la distance à laquelle l'élastique cassait avec une élongation brusque (son épaisseur joue bien sûr un rôle). Ces expériences ont été réalisée pour chacun des élastiques en notre possession (120 x 8 mm et 150 x 6 mm et 120 x 2 mm (à vérifier ?), filmées à la caméra thermique et à la caméra analogique (ci-dessous l'on peut trouver en image ce que l'on a pu faire comme expérience).

Sur la photo ci-dessous, nous pouvons visualiser le “montage” de l'expérience : une caméra thermique filme un élastique, qui sera tendu sur un banc optique, accroché à ses extrémités sur des supports mobiles facilitant leur déplacement et évitant la présence d'une source de chaleur (la main) qui pourrait perturber la mesure.

Malgré quelques difficultés à utiliser la caméra thermique (mises au points, trouver un bon angle…) nous avons obtenu pour chacun des élastique des captures vidéo plus ou moins satisfaisantes. Après une étude rapide sur SmartView 3.3 nous avons pu tirer plusieurs conclusions :

* L'élongation à 4-5 fois la taille au repos semble être un bon compromis pour une première expérience : obtenir une élongation permettant de voir une différence de température avec la caméra thermique, sans casser l'élastique (environ 6 fois la taille au repos pour les élastiques épais). * Les élastiques plus épais, comme prévu, se sont montré bien plus résistants à une forte élongation que le fin (120 x 2 mm). Cependant nous avons remarqué que leur épaisseur jouaient en leur défaveur : C'est l'élastique 120 x 2 mm (à vérifier ?) qui semble présenter la plus grande différence de température avant et après élongation, à longueur fixe comme à longueur maximale (il peut être étiré jusqu'à presque 1m !) Malheureusement, les mesures sur les élastiques plus épais, que l'on avait envisagé d'utiliser pour leur résistance à la rupture, furent bien moins probantes. Ils sont plus solides sur le long terme, mais bien moins efficaces. * Il va donc falloir trouver un compromis entre les dimensions limitées de notre réfrigérateur et la capacité d'absorption de la chaleur des élastiques en fonction de leur élongation. En effet, nous avons pu observer une variation de température certes, mais à volume fixé nous ne savons pas si l'efficacité de l'élastique est toujours la même : aura-t-il toujours un effet réfrigérant dans un volume trop grand ? Combien d'élastique faudra-t-il mettre ? Vaut-il mieux privilégier un petit volume, quitte à ne pas exploiter pleinement les capacités thermiques des élastiques ?

Nous avons prévu de nous retrouver mercredi 19/02 pour recommencer des mesures, notamment en faisant varier vitesse, temps entre étirement et relaxation… Mais il semblerait que l'élastique fin (120 x 2 mm) soit celui que nous allons privilégier. De plus, malgré sa moindre résistance, il présente l'avantage d'éviter un trop gros empilement niveau du point de pivot (A moins d'en utiliser un nombre trop important).

Semaine du 17/02/20

19/02/2020 : 2ème expérimentation sur les élastiques à l'aide de la caméra thermique, avec capture vidéo pour pointage de vitesse. Réalisation du diagramme de Gantt. Dimension des élastiques: 200 x 12 mm ; 150 x 6 mm; 120 x 1,5 mm

Pour chaque élastique, nous avons réalisé l'expérience suivante: Étirement et détente rapides des élastiques, puis étirement et détente lentes, le tout avec équilibre thermique après la tension. Nous n'avons pas fait l'expérience pour l'élastique 150 x 6 mm parce que l'on s'est rendu compte qu'avec des détentes lentes, l'élastique absorbait de la chaleur de la pièce et finissait avec une température froide plus élevée qu'avec une détente rapide. La détente devrait être dans l'idéal adiabatique, sans échange de chaleur avec l'extérieur. Nous avons commencé par tendre les élastiques jusqu'à une longueur telle que l'on sentait manuellement être proche d'un point de rupture et ne pas pouvoir aller plus loin. On a alors tendu les élastiques à la main à différentes longueurs correspondant à des multiples des longueurs à vide et sans dépasser la longueur seuil déterminée pour chaque élastique A chaque étirement, avant de les détendre, on gardait l'élastique tendu en attendant qu'il soit de nouveau à la température d’équilibre pour qu'il ait la température la plus basse avant de se refroidir par la détente, et pour simuler la mise à l'équilibre par le ventilateur.

En parallèle, on a aussi filmé avec un téléphone les différentes expériences pour déterminer à l'aide d'un pointage image à quelle vitesse on étirait les élastiques de manière “lente” ou “rapide” pour pouvoir implémenter ces vitesses dans le montage de la roue. Finalement, seules 3 vidéos sont utilisables.

Vidéos:

Pour les élastiques 120 x 1,5 mm et 200 x 12 mm ,nous avons aussi enchaîné une série d'étirement et détente sans attendre l'équilibre thermique après la tension ou la détente des élastiques. On observe que la température générale de l'élastique ne fait qu'augmenter. La température de ses points chaud en tension et froid en détente augmentent au cours du temps. Cela correspondrait à la situation sur la roue où les élastiques tournent trop vite par rapport au phénomène de dissipation de chaleur par les ventilateurs et où il n'y aurait que très peu de différence de température entre les élastiques chauds et froids. On en conclut qualitativement que le temps d'homogénéisation de température est très important. Mais on suppose aussi pour l'instant qu'il nous faudra une tension et une détente rapide. On pense à un bon système de ventilation et peut être ne mettre des élastiques que sur la moitié de la roue principale pour pouvoir séparer les phases de tension et de détente. Car dans le modèle de référence, en dehors du ventilateur, il n'y a pas de temps dédié à l'homogénéisation et il y a constamment des élastiques qui se tendent et d'autres qui se détendent. Il nous reste à faire les tests sur les élastiques fins.

17-21/02/2020 : Réflexion recherche et calculs en vue de la rédaction de l'article et/ou des explications sur la physique du projet à donner lors de la soutenance orale. Recherche d'outils physiques adaptés afin d'étudier thermodynamiquement un système simple constitué d'un élastique à une dimension, dans la limite des connaissances de licence. À partir de lois linéaires de dilatation et d'élasticité, détermination de l'équation d'état d'un tel système. Grâce à l'équation d'état et au potentiel thermodynamique, démonstration des inégalités thermodynamiques, ce qui permet d'expliquer en quoi l'analogie avec un gaz est contre-intuitive et du même coup en quoi le fonctionnement d'un élastique est la conséquence direct du second principe.

Semaine du 24/02/20

Nous avons envisagé d'autres structures pour notre réfrigérateur. Un changement majeur aurait été l'utilisation de la torsion des élastiques (déjà expérimentée par des chercheurs américains et chinois, dont l'article Torsional refrigeration by twisted, coiled, and supercoiled fibers est résumé ici), nécessitant plusieurs moteurs et une toute autre conception. Il s'agirait de laisser la partie arrière de la machine (contenant les élastiques) entre deux plaques qui coulisseraient en opposition de phase. Deux cas se présentent alors : - plaque intérieure fermée, élastiques en contact avec l'extérieur, torsion maximale (chauds) - plaque extérieure fermée, élastiques à l'intérieur du frigo, détendus (froids)

Le montage est assez différent, et il faut absolument une alimentation conséquente pour automatiser les mouvements de plaques et les moteurs tordants les élastiques. Une série d'engrenage permettrait de réduire le nombre de moteurs mais on risquerait alors de multiplier les sources de frottements. Un tel montage pourrait être intéressant avec des engrenages en métal. On pourrait également choisir le temps de repos des élastiques dans chaque milieu (extérieur ou intérieur). Étant donné le défaut de matériel ainsi que les plans déjà établis du projet nous décidons de poursuivre notre idée initiale.

Par ailleurs, nos expériences montrent qu'un temps d'homogénéisation de la température entre les élastiques et l'environnement est nécessaire. On envisage donc d'utiliser de grands ventilateurs et de faire tourner lentement la roue principale. Un rapport de réduction important entre l'engrenage moteur et la roue principale est prévu. Quant aux ventilateurs, contrairement à ce que l'on voit sur la vidéo, nous allons les mettre en mouvement grâce à la roue principale. Dans la vidéo ceux-ci sont actionnés par un autre mécanisme indépendant et relié à l'engrenage moteur.

La licence de mécanique à Sorbonne-Université nous donnant accès à une licence gratuite de Solidworks, nous pensons si cela est nécessaire en profiter pour y concevoir le mécanisme du réfrigérateur et simuler quelques expériences (vitesse de rotation, tension sur la roue, force motrice à exercer par exemple).

26/02/2020 : 3ème expérimentation sur les élastiques de dimension 90 x 1,5 mm

Nous avons décidé de prendre une boite d’élastique de la même gamme que ceux utilisés précédemment, et avec ces dimensions afin de s'approcher des résultats que l’on a obtenus avec les élastiques fins de 120 mm de longueur, pris en vrac de chez nous. On a encore filmé le mouvement des élastiques pour pouvoir encore associer une vitesse d'élongation à chaque mesure avec un pointage vidéo.

Modifications du protocole :

* On a rajouté une planche derrière le banc sur lequel on fait nos mesures pour que le champ de température sur l’arrière plan soit le plus uniforme possible, ce qui nous permet de mieux observer la variation de température des élastiques. * On a adapté le champ de prise de vue de la caméra thermique parce que l'on s'est rendu compte à un moment que la variation de température au sein de l'élastique était globalement homogène sauf à ses extrémités. Ainsi, on s'est permis de faire un plan très rapproché sur l'élastique en filmant une extrémité et une partie de la zone homogène en même temps. On avait alors accès à une plus grande surface de mesure et donc une plus grande précision sur la température lors de l'analyse. * La caméra thermique est accroché à une potence par un bras, ce qui permet de ne plus avoir besoin de la tenir et tout en s'assurant qu'elle reste stable pendant le déroulé des mesures.

Expériences et résultats :

• Tension et détente rapides avec équilibre thermique à la tension :

On a observé au mieux des variation de température d'environ 10° C autour de la température d'équilibre de la pièce. Au maximum et au minimum, environ 30°C en tension et 10°C en détente. Ces températures sont locales spatialement car atteintes à certains points chauds ou froids avec un peu moins d'un degré de différence avec le reste de l'élastique. Et locales temporellement car ces températures extrêmes restent environ moins d'un seconde après la tension ou la détente. On a réalisé plusieurs fois ces tests à la fois pour pouvoir vérifier les résultats de ces mesures qui nous paraissait surprenants, mais aussi pour ajuster le champ de prise de vue. On a alors pu observer plus distinctement ces variations de température tout en obtenant des résultats assez similaires.

Les variations de température semblent être symétriques entre la tension et la détente pour les différentes élongations.

On a en plus refait 4 mesures pour 2 ; 2,5 ; 3 et 3,5 fois la longueur à vide pour avoir le plus de données possibles sur cette partie où l'on observait le moins de variation de température. Cette zone d'élongation que l'on considère comme linéaire est la moins efficace.

• Tension et détente rapides sans équilibre thermique à la tension :

Avec cette condition supplémentaire, on vérifie pour ces élastiques fins ce qui a été conclut la semaine précédente : il faut absolument un temps et/ou une méthode de refroidissement après chaque tension.

• Tension lente et détente rapide :

Avec des tensions qualitativement plus faibles que pour les tensions “rapides”, on obtenait systématiquement pour chaque élongation que les variations de température que l'on obtenaient étaient bien moindres. Cela peut être dû à la fois au flux thermique sortant de l'élastique et au travail fourni qui pourrait être moindre avec une vitesse d'élongation plus faible. On en conclut avec les expériences de détentes lentes précédentes qu'il faudrait dans l'idéal que la tension et la détente des élastiques se fassent le plus rapidement possible. Nous n'avons d'ailleurs pas déterminé de vitesse optimale ni observé de vitesse limite lors de nos essais.

• Mesure du temps de retour à l'équilibre à la tension et la détente :

On a fait ces expériences pour les plus grandes élongations relatives possibles de l'élastique de 6 cm : 5 et 6 fois sa longueur au repos.

Les variations de température pour chaque essai sont à noter, et à relier à la vitesse d'élongation des élastiques que l'on obtiendra par pointage. Il reste aussi à analyser les temps de retour à l'équilibre. Compte tenu des longueurs des élastiques nécessaires aux variations de température que l'on a observé, on se demande si il ne serait pas plus juste de considérer des élastiques plus courts. Reste alors à les choisir parmi ceux disponibles dans la gamme d'élastique d'Office Dépot que l'on utilise, et de déterminer avec nos tests si ils ont des caractéristiques élastocaloriques aussi intéressantes ou non pour qu'on puisse ensuite se fixer sur les élastiques à choisir et les dimensions de notre machine.

Semaine du 02/03/20

04/03/2020 matin : 4^e expérience pour la caractérisation des élastiques (de dimensions 60 x 1,5 mm et 90 x 1,5 mm)

Au regard des résultats de la semaine précédente, nous avons cette fois-ci voulu comparer les élastiques fins de 9 cm utilisés le 26/02 à d'autres élastiques, plus petits, de 6 cm de longueur afin de déterminer quel type d'élastique correspondra le mieux à nos différentes contraintes, celles-ci étant :

* une différence de température maximale entre la tension et la détente

* une préférence pour des élastiques dont l’élongation maximale est inférieur au demi-mètre afin de conserver des dimensions de machine raisonnables

* une relative résistance des élastiques aux fortes tensions, c’est à dire une bonne résistance à l’effet de fatigue, pour qu’ils puissent faire plusieurs tours de roue sans casser

Les tests réalisés sont similaires à ceux du 26/02. Ils ont été faits dans une salle dont la température variait entre 18 et 19°C. Les différences de températures ont été établies à l’aide d’une caméra thermique. L'expérience a été filmée par un téléphone portable en vu d'un pointage vidéo permettant la détermination de la vitesse à laquelle les élastique ont été tirés.

Expériences :

* Tension et détente rapides avec équilibre thermique pour les élastiques de 6 cm (NB : nous avons fixé la taille au repos de ces élastiques à 7 cm pour cause de contraintes pratiques.) et ce à différentes élongations : de 2 à 5 fois la longueur de l'élastique.

* Même chose avec les élastiques de 9 cm.

* Avec les 2 types d'élastiques à une tension maximale, nous avons attendu un équilibre thermique total avec l'extérieur afin de déterminer la durée de cet équilibre.

Les résultats des 2 premières expériences se sont avérés décevants par rapport aux différences de températures de la semaine précédente. Nous avons compris que nous ne les avions pas tirés assez rapidement. Nous avons donc renouvelé les expériences avec des tensions et des vitesses d'étirement maximales. Les résultats se sont avérés bien meilleurs, nous obtenons une différence de température de + 9/10 °C et de - 9/10°C. Les petits élastiques de 6 cm avaient tendance à produire de meilleures différences de température. Étant donné leur petite longueur, compatible avec notre cahier des charges, c’est ceux-là que nous utiliserons pour le réfrigérateur à élastique.

04/03/2020 après-midi : 2^nd rendez-vous avec notre professeur référent Charles Antoine.

Le résultat de la réunion est plutôt positif quant à l'avancement du projet, nous sommes dans les temps par rapport à ce qui était prévu et nos résultats sont pour l'instant satisfaisants. Cependant il faut à présent prendre une décision : allons nous nous lancer dans la construction du réfrigérateur, et si oui quel type de machine construire (roue à pivot décentré ou plaques mobiles) ? Après diverses argumentations quant à la faisabilité et à la qualité d’étude d’un système différent de celui de la vidéo de référence, nous avons décidé de nous tenir à la réalisation de notre première idée : une roue constituée de rayons sur lesquels sont accrochés les élastiques et munie d'un pivot décentré qui permettra de faire passer les élastiques d'un état tendu à un état au repos. Les élastiques seront probablement attachés au pivot sur un arc de la roue qui ne tournera que par demi-tours successifs : cela permettrait de créer une tension et une détente rapide, avec une mise à l’équilibre dont on pourrait fixer le temps. Nous avons en effet remis en question l’efficacité de la roue telle que présentée, qui tendrait progressivement les élastiques si elle avait une vitesse constante, ce qui, au vu des résultats des expériences, limiterait beaucoup la variation de température des élastiques. Ils ne seront par ailleurs pas répartis sur l'ensemble de la roue, par cohérence avec ce qui est énoncé ci-dessus (les repartir uniformément réduirait le champ d’action de ceux qui ne sont pas aux points extrêmes de la roue par rapport à l’horizontale). Grâce aux expériences faites sur les élastiques, nous savons que la roue devra faire approximativement 40 cm de diamètre maximum (6 cm pour les élastiques au repos, 30-35cm pour les élastiques tendus plus ~2cm pour le pivot).

Quant aux expériences sur les élastiques, il ne nous resterait qu'à faire des tests pour déterminer la résistance à la fatigue pour des déformations choisies. (Est ce qu'attendre ou non l'équilibre thermique après chaque déformation ferait varier le nombre de cycles avant rupture ? Influence de la vitesse ?) Il serait peut-être judicieux de ne faire ces essais qu'à partir du système que l'on aura fabriqué étant donné que certains paramètres de déformation seront directement liés à structure et au fonctionnement de notre machine.

Nous passons donc maintenant en phase de construction du réfrigérateur.

Définition d'une répartition des tâches pour la(les) semaine(s) suivante(s) :

* Thomas : Simulation numérique, Découpe, et recherche sur les matériaux à utiliser

* Jessy : Relations élongation vitesse en fonction de la rotation de la roue, Analyse des vidéos thermiques

* Nicolas : Simulation numérique, Recherches sur le ventilateur

* Gaspard : Carte Arduino (?), Pointage des vidéos

* Marin : Pointage des vidéos

Semaine du 09/03/20

09/03/2020 : Définition de l'élongation et de la vitesse d'élongation en fonction de la rotation

Si on réalise le système discuté précédemment, le schéma ci-dessus représente notre roue. Avec R le rayon de la roue, L la longueur de l'élastique tendu sur [AB], repéré par B(x,y), à la distance du point de pivot A au centre de la roue O, et α l'angle (xOB) décrivant la rotation de la roue depuis son centre.

* Longueur de l'élastique :

Avec le théorème de Pythagore, on a : $R^2 = x^2 + y^2$ et $x = ± \sqrt{R^2 - y^2}$

et $l = \sqrt{(x + a)^2+ y^2} $

d'où $$ l = \sqrt{( (± \sqrt{R^2 - y^2} +a)^2+ y^2} = \sqrt{R^2 - y^2 +a^2 ± 2a\sqrt{R^2 - y^2} + y^2} = \sqrt{R^2 +a^2 ± 2a\sqrt{R^2 - y^2}} \\ \Rightarrow l=\sqrt{R^2 +a^2 ± 2a\sqrt{R^2 - (Rsin(α))^2}} = \sqrt{R^2 +a^2 ± 2aR\sqrt{1 - sin(α)^2}} $$

Donc $ l = \sqrt{R^2 +a^2 + 2aRcos(α)} $

En rouge, des positions d'élastique. En vert le pivot. (Il ne faut pas prendre en compte la partie de l'élastique à l'intérieur du pivot en vert dans le schéma. Les élastiques sont accrochés à l'extérieur.) En considérant le fait que le pivot est un cylindre de dimensions non nulles apparaissant ici comme un disque. Le pivot est centré sur le point A précédent et correspond au disque vert de rayon r.

Si le pivot tourne idéalement sur lui même avec peu de frottements en suivant la roue, les élastiques sont dirigés radialement au pivot pour toute position sur la roue, on aurait alors simplement :

$$ L = l - r = \sqrt{R^2 +a^2 + 2aRcos(α)} - r $$

* Vitesse d'élongation

Soit V la vitesse d'élongation de l'élastique sur la roue

$$ V = -\frac{\frac{d(α)}{dt}2aRsin(α)}{2\sqrt{R^2 +a^2 + 2aRcos(α)}} $$

Soit $ω = \frac{d(α)}{dt} = 2πf $ ; ω la pulsation et f la fréquence liée à la rotation de la roue. On effectue un changement de variable de la variable d'angle α à la variable temporelle t :

$$ V = - \frac{ωaRsin(ωt)} {\sqrt{R^2 +a^2 + 2aRcos(ωt)}} = - \frac{2πfaRsin(2πft)}{ \sqrt{R^2 +a^2 + 2aRcos(2πft)}} $$

A noter que la pulsation $ω = \frac{d(α)}{dt}$ a été supposée constante dans le calcul, bien qu'en réalité, notre système de roue n'est pas censé tourner en continu mais par à-coups. Elle ne peut donc pas être vraiment constante, mais l'on peut supposer ici qu'on essaiera de s'en approcher dans la manière dont on la fera tourner.

Et pour pouvoir comparer cette vitesse sinusoïdale de la roue théorique aux vitesses obtenues par pointage, on travaille avec les valeurs moyennes de la vitesse théorique. Cette valeur moyenne est prise sur une demi-période $\frac{T}{2}$, parce que sur ce modèle, une rotation d'un demi tour à partir des angles de 0 ou 90° fait passer les élastiques de leur position tendue à détendue et inversement. Et cette vitesse moyenne de demi-période est censée correspondre à la vitesse moyenne que l'on a en tendant ou détendant les élastiques sur le banc de mesure.

Ici cette valeur moyenne de demi période $<V>_{\frac{T}{2}}$ vaut : $ <V>_{\frac{T}{2}} = ± 4\frac{a}{T} = ± 4af $

On obtient alors pour l'élongation et la vitesse des élastiques

Les paramètres a, et R sont choisis ici pour correspondre à une longueur minimale $R - a= l_0$ et une longueur maximale $R + a = 5×l_0$, ce qui donne $a = 2l_0$ et $R = 3l_0$.

Donc pour que la vitesse moyenne de demi-période théorique corresponde à la vitesse obtenue par pointage de 1 m/s, la fréquence f de rotation de la roue doit valoir $\frac{V_{moyenne}}{4a} = \frac{V_{moyenne}}{4*2*l_0} = \frac{1}{4*2*0.06} = 2.08 ∼ 2 $ tours/seconde pour des élastiques dont la longueur à vide vaut 6 cm, et 1,8 tour/seconde pour des élastique tendus à vide à 7 cm.

(Dans nos expérimentations sur les élastiques de 6 cm, les élastiques étaient tendus à vide à 7 cm.)

Semaine du 16/03/20

L'université ferme ses portes suite à l'expansion du Covid-19 sur le territoire français. Cette semaine, nous étions censé aller acheter le bois nécessaire récupérer du PMMA auprès de la plateforme expérimentale de la licence de physique afin de réaliser, à l'aide de la découpeuse laser, notre prototype de réfrigérateur. Cela a compromis nos plans et nous a obligé à trouver une autre organisation, ce qui a été l’œuvre de cette semaine. Notre projet étant principalement expérimental, surtout en cette phase finale de conception d'un prototype, il nous sera moins aisé de le combler avec des ressources bibliographiques supplémentaires.

Semaine du 23/03/20

Découverte d'un modèle théorique intéressant issu en partie du corrigé d'une banque d'annales Ulm-PC. Il permet de calculer la variation de température par élongation d'un élastique. Nous allons commencer par exprimer l'entropie de l'élastique avec la loi de Boltzmann $S = k_b ln\Omega$ <fc #ffa500>(1)</fc>, pour avoir accès grâce aux identités thermodynamique la fonction d'état du système, ce qui nous permettra de caractériser la variation de température de l'élastique lors d'une tension ou d'une contraction.

Supposons un élastique en caoutchouc de température $T$ et de longueur $L$, fixe d'un côté, soumis à une force de traction $f$ de l'autre. Nous le représentons comme une chaîne polymère composée de $N$ monomères (un monomère étant un motif élémentaire qui se répète le long de la chaîne). Supposons alors qu'un monomère peut être dans deux états, un de longueur $a$, et un autre de longueur $b < a$, représentant donc l'étirement ou la contraction de la chaîne. On suppose que les deux configurations possibles ont la même énergie. On note alors $n_a$ et $n_b$ le nombre de monomères respectivement de longueur $a$ ou $b$, tel que $N = n_a + n_b$. On va commencer par compter le nombre de configuration $\Omega$ du système permettant d'obtenir une chaîne de longueur $L$.

Avec $ L = an_a + bn_b \leftrightarrow L = an_a + b(N - n_a)$, on peut obtenir l'expression de $n_a$ : <fc #ffa500>(2)</fc> $$ n_a = \frac{L-L_{min}}{a-b} $$ Pour avoir une chaîne de longueur $L$, il faut donc choisir $n_a$ monomères de longueur $a$ parmi $N$ : $\Omega = \binom{N}{n_a} = \frac{N!}{n_a!(N-n_a!)}$

On suppose $n$ très grand, ce qui nous permet d'utiliser la formule de Stirling : $\ln n! \simeq n \ln n - n$ <fc #ffa500>(3)</fc>

En injectant <fc #ffa500>(2)</fc> dans <fc #ffa500>(1)</fc> et en utilisant <fc #ffa500>(3)</fc>, il vient : (A) $$ \boxed{S = k_b[ N \ln N - \frac{L-L_{min}}{a-b} \ln{\frac{L-L_{min}}{a-b}} - (N - \frac{L-L_{min}}{a-b}) \ln(N - \frac{L-L_{min}}{a-b}) ]}$$

On suppose une transformation infinitésimale et réversible. Rappel des deux premiers principes dans ce cas :

• $dU = \delta Q_{rev} + \delta W$

• $\delta Q_{rev} = TdS$

Or $\delta W = fdL \Rightarrow dU = TdS + fdL \Rightarrow dS = \frac{dU}{T} - \frac{f}{T}dL$. Et comme $dS = \frac{\partial S}{\partial U}|_{L,N} dU - \frac{\partial S}{\partial L}|_{U,N} dL$, par identification : <fc #ffa500>(4)</fc> $$ \boxed{\frac{f}{T} = - \frac{\partial S}{\partial L}|_{U,N}} $$

Calculons $\frac{\partial S}{\partial L}|_{U,N} $ d'après (A) .

$ \frac{\partial S}{\partial L}|_{U,N} = k_b(0 - \frac{1}{a-b} \frac{\partial}{\partial L}(L\ln{\frac{L-L_{min}}{a-b}} - L_{min}\ln{\frac{L-L_{min}}{a-b}} - [N(a-b) + L_{min}]\ln{(\frac{N(a-b) - L + L_{min}}{a-b})} + L\ln{(\frac{N(a-b) - L + L_{min}}{a-b})})|_{U,N}) $

Or, $Na = L_{max}$, $Nb = L_{min}$, et donc $N(a-b) + L_{min} = L_{max}$

$$ \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial L}|_{U,N} = \frac{-k_b}{a-b} \frac{\partial}{\partial L}(L\ln{\frac{L-L_{min}}{a-b}} - L_{min}\ln{\frac{L-L_{min}}{a-b}} - L_{max}\ln{(\frac{L_{max} - L}{a-b})} + L\ln{(\frac{L_{max} - L}{a-b})})|_{U,N}$$

$$ \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial L}|_{U,N} = \frac{-k_b}{a-b} \frac{\partial}{\partial L}((L- L_{min})\ln{\frac{L-L_{min}}{a-b}} - (L_{max}- L)\ln{(\frac{L_{max} - L}{a-b})})|_{U,N}$$

Or, $\frac{\partial}{\partial L}(\ln({\frac{L_{max} - L}{a-b}}))|_{U,N} = -\frac{1}{a-b} \frac{a-b}{L_{max} - L} = \frac{1}{L- L_{max}}$

et $\frac{\partial}{\partial L}(\ln({\frac{L-L_{min}}{a-b}}))|_{U,N} = \frac{1}{a-b} \frac{a-b}{L-L_{min}} = \frac{1}{L-L_{min}}$

$$ \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial L}|_{U,N} = \frac{-k_b}{a-b} (\ln{(\frac{L-L_{min}}{a-b})} + \frac{L-L_{min}}{L-L_{min}} - \frac{L- L_{max}}{L- L_{max}} - \ln{(\frac{L_{max} - L}{a-b})} ) $$

$$ \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial L}|_{U,N} = \frac{-k_b}{a-b} (\ln{(\frac{L-L_{min}}{a-b})} - \ln{(\frac{L_{max} - L}{a-b})})$$

D'où : <fc #ffa500>(5)</fc>

$$ \frac{\partial S}{\partial L}|_{U,N} = \frac{-k_b}{a-b} \ln{(\frac{L-L_{min}}{L_{max} - L})} $$

En injectant <fc #ffa500>(5)</fc> dans <fc #ffa500>(4)</fc>, il vient ainsi : (B) $$ \boxed{f = \frac{k_bT}{a-b} \ln{(\frac{L-L_{min}}{L_{max} - L})} } $$

Nous avons énoncé comme supposition le fait que les deux configurations aient la même énergie. L'énergie interne ne dépendrait donc pas de la longueur mais uniquement de la température du matériau. On introduit alos une capacité thermique $c$ telle que $dU = cdT$. Enfin, soit $L_0$ la longueur de l'élastique avant tension, et $L_f$ la longueur de l'élastique tendu. Considérons que l'on fasse varier rapidement la longueur de l'élastique de $L_0$ à $L_f$ (N.B : c'est ce que l'on a pu faire durant les expériences de caractérisations de l'élastique. Un réfrigérateur reposant sur ce système aurait plutôt un système de tiroir, que l'on a évoqué précedemment, mais nous comptons optimiser la vitesse de tension de l'élastique en faisant tourner la roue par à-coups. À voir dans quelle mesure cela sera réalisable en pratique). La transformation étant rapide, on peut la considérer comme isentropique, et ainsi supposer $dS = 0$, soit : $$ dS = \frac{dU}{T} - \frac{f}{T}dL = 0 \Rightarrow \frac{cdT}{T} - \frac{\frac{k_bT}{a-b} \ln{(\frac{L-L_{min}}{L_{max} - L})}}{T}dL = 0$$ (C) $$\Rightarrow \boxed{\frac{cdT}{T} = \frac{k_b}{a-b} \ln{(\frac{L-L_{min}}{L_{max} - L})}dL}$$

À partir de cette équation, nous allons présenter deux solutions possibles. Le premier s'éloigne complètement de la banque d'annale tandis que le second restera plus fidèle au corrigé. Il en existe cependant beaucoup d'autres, en fonction de la manière dont on aura initialement modélisé l'élastique, que vous pouvez trouver dans la partie Bibliographie.

I. Intégration immédiate On intègre (C) entre $T_0$ et $T_f$ d'une part, entre $L_0$ et $L_f$ d'autre part (avec $L_f \ne L_{max}$, on suppose $L_{max}$ comme la longueur à laquelle l'élastique casse).

$ \int_{T_0}^{T_f} \frac{cdT}{T} = \int_{L_0}^{L_f} \frac{k_b}{a-b} \ln{(\frac{L-L_{min}}{L_{max} - L})}dL \Rightarrow c\ln{(\frac{T_f}{T_0})} = \frac{k_b}{a-b} (\int_{L_0}^{L_f} \ln{(L-L_{min})}dL - \int_{L_0}^{L_f} \ln{(L_{max} - L)}dL) $

On fait deux changements de variable : $L' = L - L_{min}$, $dL' = dL$, $L_0' = L_0 - L_{min}$, $L_f' = L_f - L_{min}$ et $L'' = L_{max} - L$, $dL'' = -dL$, $L_0'' = L_{max} - L_0$, $L_f'' = L_{max} - L_f$

$\Rightarrow c\ln{(\frac{T_f}{T_0})} = \frac{k_b}{a-b} (\int_{L_0 - L_{min}}^{L_f - L_{min}} \ln{L'}dL' + \int_{L_{max} - L_0}^{L_{max} - L_f} \ln{L''}dL'')$

$\Rightarrow c\ln{(\frac{T_f}{T_0})} = \frac{k_b}{a-b} [(L_f- L_{min})\ln{(L_f - L_{min})} - (L_f - L_{min}) - (L_0 - L_{min})\ln{(L_0 - L_{min})} + (L_0 - L_{min}) + (L_{max} - L_f)\ln{(L_{max} - L_f)} - (L_{max} - L_f) - (L_{max} - L_0) \ln{(L_{max} - L_0)} + (L_{max} - L_0)]$

$\Rightarrow c\ln{(\frac{T_f}{T_0})} = \frac{k_b}{a-b} [L_f\ln{(L_f - L_{min})} - L_{min}\ln{(L_f - L_{min})} - L_0\ln{(L_0 - L_{min})} + L_{min}\ln{(L_0 - L_{min})} + L_{max}\ln{(L_{max} - L_f)} - L_f\ln{(L_{max} - L_f)} - L_{max}\ln{(L_{max} - L_0)} + L_0\ln{(L_{max} - L_0)}]$

$\Rightarrow c\ln{(\frac{T_f}{T_0})} = \frac{k_b}{a-b} [L_f\ln{(\frac{L_f - L_{min}}{L_{max} - L_f})} + L_{min}\ln{(\frac{L_0 - L_{min}}{L_f - L_{min}})} + L_{max}\ln{(\frac{L_{max} - L_f}{L_{max} - L_0})} + L_0\ln{(\frac{L_{max} - L_0}{L_0 - L_{min}})}]$

$\Rightarrow \ln{(\frac{T_f}{T_0})} = \frac{k_b}{c(a-b)} [\ln{(\frac{L_f - L_{min}}{L_{max} - L_f})^{L_f}} + \ln{(\frac{L_0 - L_{min}}{L_f - L_{min}})^{L_{min}}} + \ln{(\frac{L_{max} - L_f}{L_{max} - L_0})^{L_{max}}} + \ln{(\frac{L_{max} - L_0}{L_0 - L_{min}})^{L_0}}]$

$$\Rightarrow \ln{(\frac{T_f}{T_0})} = \ln{(\frac{L_f - L_{min}}{L_{max} - L_f})^{\frac{k_b}{c(a-b)}(L_f)}} + \ln{(\frac{L_0 - L_{min}}{L_f - L_{min}})^{\frac{k_b}{c(a-b)}(L_{min})}} + \ln{(\frac{L_{max} - L_f}{L_{max} - L_0})^{\frac{k_b}{c(a-b)}(L_{max})}} + \ln{(\frac{L_{max} - L_0}{L_0 - L_{min}})^{\frac{k_b}{c(a-b)}(L_0)}}$$

ou encore : $\Rightarrow \frac{T_f}{T_0} = (\frac{L_f - L_{min}}{L_{max} - L_f})^{\frac{k_b}{c(a-b)}(L_f)} \cdot (\frac{L_0 - L_{min}}{L_f - L_{min}})^{\frac{k_b}{c(a-b)}(L_{min})} \cdot (\frac{L_{max} - L_f}{L_{max} - L_0})^{\frac{k_b}{c(a-b)}(L_{max})} \cdot (\frac{L_{max} - L_0}{L_0 - L_{min}})^{\frac{k_b}{c(a-b)}(L_0)}$

(D1) $$\Rightarrow \boxed{T_f = T_0[(\frac{L_f - L_{min}}{L_{max} - L_f})^{L_f} \cdot (\frac{L_0 - L_{min}}{L_f - L_{min}})^{L_{min}} \cdot (\frac{L_{max} - L_f}{L_{max} - L_0})^{L_{max}} \cdot (\frac{L_{max} - L_0}{L_0 - L_{min}})^{L_0}]^{\frac{k_b}{c(a-b)}} }$$

Pour déterminer $a-b$, on peut utiliser la formule (B) , et mesurer la force nécessaire pour tendre un élastique de dimension minimales et maximales fixées, de température fixée, à une certaine longueur $L$. Pour déterminer $c$, on pèse un élastique et on multiplie la masse trouvée par la capacité calorifique massique $c_m$ du caoutchouc.

Le modèle (D1) établi est utile pour être comparé à des résultats expérimentaux ou comme modèle de simulation appliqué à des cas déjà bien définis (où l'on connait les caractéristiques de l'élastique), mais il n'est pas très facilement exploitable, surtout lorsqu'on cherche un modèle capable de “prédire” le fonctionnement d'un système (en l'occurence si l'élastique augemente en température lorsque l'on le tend). Pour ce faire, nous allons établir une deuxième solution à partir de l'équation (C) , en ajoutant certaines hypothèses.

II. Monomères n'ayant accès qu'à deux positions

On suppose cette fois-ci que les maillons sont soit “vers la droite”, avec une longueur $a$, soit “vers la gauche”, avec une longueur $b = -a$. De plus on suppose que l'élastique est loin de sa configuration la plus étendue, à savoir $L \ll L_{max}$ (ce qui pourrait correspondre aux suppositions que l'on émettait au début du projet, lorsque l'on souhaitait rester dans un “régime d'élasticité linéaire”).

On peut alors, en se rappelant que $Na = L_{max}$ et $Nb = L_{min}$, réécrire (C) comme :

$\frac{cdT}{T} = \frac{k_b}{a-(-a)} \ln{(\frac{L-N(-a)}{Na - L})}dL$

$ \Rightarrow \frac{dT}{T} = \frac{k_b}{2ac} \ln{(\frac{Na + L}{Na - L})}dL$

$ \Rightarrow \frac{dT}{T} = \frac{k_b}{2ac} \ln{(\frac{Na(1 + \frac{L}{Na})}{Na(1 - \frac{L}{Na})})}dL$

$ \Rightarrow \frac{dT}{T} = \frac{k_b}{2ac} \ln{(\frac{1 + \frac{L}{Na}}{1 - \frac{L}{Na}})}dL$

Par un DL à l'ordre 1 : $\frac{dT}{T} \simeq \frac{k_b}{2ac} [ \frac{L}{Na} - (\frac{L}{2Na})^2 - (-\frac{L}{Na} - (\frac{L}{2Na})^2) ] dL$ $\Rightarrow \frac{dT}{T} \simeq \frac{k_b}{2ac} \frac{2L}{Na} dL$

$\Rightarrow \frac{dT}{T} \simeq \frac{k_bL}{cNa^2}dL$

Et donc, en intégrant entre $T_0$ et $T_f$ à gauche et entre $L_0$ et $L_f$ à droite, il vient : $ \ln{\frac{T_f}{T_0}} = \frac{k_b}{cNa^2}(L_f^2 - L_0^2) $

D'où : (D2) $$ \boxed{T_f = T_0 \exp{[\frac{k_b}{cNa^2}(L_f^2 - L_0^2)]} }$$

Pour déterminer $Na^2$, on peut utiliser la formule (B) , et mesurer la force nécessaire pour tendre à une certaine longueur $L$ un élastique de température $T$ fixée. Pour déterminer $c$, on pèse un élastique et on multiplie la masse trouvée par la capacité calorifique massique $c_m$ du caoutchouc.

Ce modèle (D2) est bien plus simple à analyser et à utiliser. Il montre en effet que la température évolue de manière exponentielle avec la différence des carrés des longueurs initiales et finales de l'élastique, ce qui a une importance : cette différence des carrés nous fait comprendre qu'il peut être intéressant de “pré-tendre” l'élastique si l'on doit l'étirer à une longueur maximale fixe (ce qui est le cas de notre système), car pour une même variation de longueur $\Delta L = L_f - L_0$, la variation de température d'autant plus grande que $L_0$ est grand, par l'effet des carrés, que vient renforcer l'exponentielle (nous songions à appliquer une tension initiale à l'élastique pour optimiser la variation de chaleur, mais au vu des moyens disponibles pour réaliser le projet, cette idée ne restera qu'hypothétique). De plus, il permet de calculer facilement une variation de température pour n'importe quel élastique, peu importe ses propriétés (longueurs minimale et maximale, pas toujours connues à l'avance).

Semaine du 30/03/20

02/04/2020 : 3^e rendez-vous avec notre professeur référent Charles Antoine. Dû au confinement, il a été effectué à l'aide du logiciel Discord. Un compte-rendu de la discussion pourrait être :

* Il faut que l'on commence à organiser le plan de l'article (que l'on rédigera sur Overleaf) * Grâce au travail fourni avant ce temps de crise, nous avons suffisamment de ressources pour pouvoir traiter convenablement de l'étude de l'effet élastocalorique des élastiques * Nous cherchons à compléter nos connaissances par de nouvelles sources bibliographiques * Nous continuons à construire le réfrigérateur avec les ressources que l'on a chez soi (planches de bois, Lego™) en espérant pouvoir faire des expériences avec

$$ $$

Précisions sur la roue en Lego™: Comme il ne nous est plus possible de découper notre roue au laser, j'ai envisagé l'option Lego™, la roue a été assemblée de manière un peu aléatoire (il faut le dire) en essayant de renforcer les parties qui se tordaient le plus sous la contrainte d'un élastique de 20cm (pas du tout ce que l'on a prévu de mettre). Il apparaît que la contrainte est déjà assez importante pour plier la roue, je demande donc à Jessy (détenteurs de nos élastiques) de me les envoyer par la Poste afin de tester ma roue.

Cette option a cependant permis de réaliser qu'une liaison pivot (en Lego™) composée d'un bâton de section plane en croix insérée dans un trou circulaire frotte assez peu a priori. Les essais n'ont pas encore été réalisés avec la structure complète (contrainte bien plus importante dans ce cas). On se tourne donc vers une planche de bois pour tenir les élastiques et un pivot en Lego™ pour minimiser les frottements de la liaison.

Semaine du 06/04/20

07/04/2020 : Refonte de la mise en page du wiki pour le rendre plus clair, plus lisible

09/04/2020 : Construction du prototype (et probablement de la version finale)

Votre fidèle serviteur ayant du matériel de récupération chez lui décide de construire le prototype seul afin d'avoir la main mise sur le réfrigérateur mouahahaha.

C'est ainsi que de longues planches de bois (toutes plus ou moins identiques et pas en super état) sont sauvagement découpées à la scie circulaire en blocs de 40cm x 9cm x 2cm. Les 24 blocs sont assemblés par 4 pour former les faces du cube/frigo grâce à de la colle à bois (les surfaces à coller sont d'abord poncées afin d'optimiser l'adhérence de la colle). On attends un peu pour calculer la taille de l'ouverture de la roue avant d'assembler la dernière face.

Changement de plan pour les pivots, on va utiliser de la colle UHU !!! (chuchotements dans l'assemblée)

Après avoir réfléchi, il me semble peu probable que les bâtons en Lego™ qui sont très fins <0.5mm de largeur supportent la tension des élastiques… c'est alors que l'idée m'est venu de prendre un tube de colle UHU: comme nous le savons, la colle sort de ces tubes en tournant un cylindre à la base du tube. Notre système n'a pas besoin de tourner continûment 2π rad, il suffit de faire des aller-retours de roue (+π puis -π) donc un tube de colle suffisamment vide peut servir de pivot (et a plus de chances de survivre à la contrainte). Je joins aussi les images du corps du frigo (vu de la face où il y aura la roue ensuite). Je comblerai comme je peux les trous dus aux irrégularités des planches.

J'ai ensuite construit la roue à part du cube. Comme nous avons besoin d'un temps de transfert thermique entre les élastiques et l'air (et en l'absence de ventilateurs) nous avons décidé de concentrer les élastiques sur une petite partie de la roue donc finalement, une planche suffit (on la prend dans le même bois que le reste de la construction et on y plante des clous aux extrémités pour accrocher les élastiques. Le centre de la planche-roue est percé d'un trou de 2cm de diamètre puis limé pour que la base du tube de colle (2.1cm de diamètre) y rentre. Ceci est monté sur un socle en bois assez épais et lui aussi percé pour incruster le reste du tube de colle. Nous avons ci-dessous le socle puis l'arrière de la planche-roue puis le tout assemblé.

Il reste maintenant à accrocher les élastiques, nous avons déjà les clous aux extrémités mais il faut les fixer au reste de la structure grâce à un anneau de porte-clé (en métal (très résistant) celui-ci doit être assez grand pour avoir à l'intérieur l'épaisseur des élastiques et le second tube de colle (solidaire du cube). Ainsi la rotation de la roue entraîne celle de cet anneau même si il y a quelques frottements à ce niveau.

Avec ce montage, la partie roue+socle peut supporter au moins 30 élastiques au total (15 de chaque côté, 5 par clou) mais j'ai peur que la tension générée ne soit trop forte pour la jonction avec le cube et on ne peut savoir ceci que lorsque tout sera monté et solidement fixé… voici les images.

Semaine du 13/04/20

14/04/2020 : Documents indisponibles / Envoi d'un mail à Luis Henrique Benetti Ramos

Luis Henrique Benetti Ramos a mené en 2016 lors d'un stage à l'ENSTA, un projet de recherche, “Étude de prototypes de réfrigération élastocalorique”. Le projet est censé porter sur l'étude de prototypes proposés dans la littérature, la description d'un modèle mathématique de l'effet élastocalorique et des matériaux qui présentent cet effet, ainsi qu'une simulation d'une implémentation d'une technologie élastocalorique dans un réfrigérateur conventionnel.

Son rapport de stage ne nous étant pas accessible, ni pour nous, ni pour notre référent Charles Antoine, mais pouvant nous être assez utile, nous avons pris contact avec lui par mail en lui expliquant notre démarche pour lui demander s'il pouvait nous l'envoyer. (A ce jour, nous n'avons pas eu de réponse.)

Un autre document que l'on aurait voulu obtenir est un article de vulgarisation scientifique de C.L Stong publié dans la colonne “The Amateur Scientist” de “Scientific American” en 1971. L'article présente un prototype de moteur rudimentaire alimenté par l'effet élastocalorique des élastique en caoutchouc naturel. Cela correspond à l'effet inverse que l'on recherche, cependant l'ensemble des considérations techniques et des résultats du prototype aurait pu être intéressant. L'article n'est pas accessible non plus, mais selon Charles Antoine, il pourrait être trouvé dans les archives physiques des bibliothèque. Seule la première page de l'article est disponible. Elle est référencée en bibliographie.

Semaine du 20/04/20

Le groupe travaille sur l'article, et songe aux moyens de réaliser la vidéo qui remplace la soutenance.

Semaine du 27/04/20

30/04/2020 : Réunion audio avec notre professeur référent pour discuter notamment des modalités d'évaluation assez particulières, et pour recevoir des conseils sur la finalisation du projet. Réflexions sur l'article et la vidéo de présentation (Besoin de synthèse, mise en avant de trois idées/points principaux à retenir, différence entre les deux média : contenu de la vidéo peut être plus expérimental, qui expliquerait notre démarche, caractère plus “friendly”). Etablissement d'un RDV samedi 2 mai pour commencer une synthèse de l'article, et commencer le travail sur la vidéo de présentation.

02/05/2020 : Réunion du groupe pour organiser le plan de la vidéo, son contenu. Voilà comment elle va s'organiser.

• Tous : Introduction
• Marin : Vulgarisation de l'effet élastocalorique
• Gaspard : analyse des expériences
• Thomas : réflexion sur les possibilités envisagées, cas idéal, dimensions
• Nicolas : montrer le proto, faire une démo et matériau de construction
• Jessy : comparaison avec la vidéo de référence, critique du modèle de la chaine entropique
• Tous : Conclusion, critique des limites de notre proto, ouverture.

On va utiliser ce Google slide pour organiser un diaporama vidéo, qu'on entrecoupera de démonstration de notre prototype entre autre. Objectif avoir fini le script pour 06/05.

03/05/2020 : Complétion des rubriques théoriques et expérimentales permettant de synthétiser les avancées de notre projet.

Semaine du 04/05/20

Nous travaillons sur l'article, la vidéo de présentation, et finissons de compléter le wiki, dont les rubriques synthétiques permettent d'avoir une meilleure visualisation de ce que l'on veut dire et rendre.