FablabSU

On dépose une goutte sur un bain liquide oscillant verti- calement. On note les équations horaires de la plateforme :

z(t) = A ∗ cos(ω ∗ t)

v(t) = −A ∗ ω ∗ sin(ω ∗ t)

a(t) = −A ∗ ω2 ∗ cos(ω ∗ t)

avec A l’amplitude d’excitation et ω = 2*π*f0 avec f0 la fréquence d’excitation. On note γ = A*ω2 l’accélération de forçage de la plateforme et on considère que pour un γ suffisamment grand la goutte n’aura jamais temps de casser le film d’air avant d’être projetée dans l’air à nouveau.

Revenons sur cette limite. En effet, on établit deux conditions sur le film d’air nécessaires à la « survie » de la goutte : il doit résister à la pression de la goutte pendant la moitié d’une période (quand le liquide remonte) et il doit se renouveler pendant l’autre moitié (quand le liquide descend). Ces conditions sont remplies seulement à partir d’une valeur de γ qu’on notera γc . Donc si on a γ < γc la coalescence va se dérouler normalement mais si γ > γc la goutte va se mettre à rebondir infiniment ! (dans un cas idéal). La détermination de cette valeur critique se fait expérimentalement et varie avec la taille de la goutte [2]. Or, pour les petits rayons on aura γc = g , un résultat intuitif.

A faible rayon, ce modèle est équivalent à une bille inélastique sur un plateau oscillant. Dans cette expérience, lorsque l’accélération du plateau dépasse la valeur de g la bille décolle du plateau en décrivant un vol parabolique et se met à rebondir avec une période constante égale à la période d’oscillation. À partir de cet état, si on augmente γ on va augmenter la vitesse de décollage de la bille et donc son temps de vol parabolique. Lorsque ce temps dépasse la période d’oscillation du plateau on observe une double pé- riode qui apparait. Ce doublement de période se reproduit en augmentant de plus en plus la variable de contrôle. Ainsi, selon l’accélération de forçage utilisée on aura des rebondis- sements à 1, 2, 4, 8, 16, . . . périodes. Lorsque le nombre de périodes est trop important, on n’est pas capables de dis- tinguer un comportement périodique d’un comportement chaotique : on parle alors de « chaos déterministe ».