Dans un premier temps, on cherche à calculer le champ magnétique créé par une spire de courant circulaire, qui nous servira dans la suite à modéliser une bobine. On suppose pour faire le calcul que le courant $I$ circulant dans la spire est constant afin d'utiliser les lois de la magnétostatique. On se place dans un repère de coordonnées cylindriques $\left(\vec{e_\rho},\vec{e_\varphi},\vec{e_z}\right)$ de telle façon que le vecteur $\vec{e_z}$ est orthogonal à la spire et que le courant circule dans le sens direct, comme sur le schéma suivant.

On prend un point M quelconque sur l'axe $(Oz)$. Ainsi, tout plan contenant cet axe étant un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant, le champ magnétique est dirigé que selon $\vec{e_z}$. On peut maintenant rappeler la loi de Biot et Savart qui nous dit que le champ $\overrightarrow{\mathrm{d}B}$ créé par un élément de fil $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}$ s'écrit $$ \overrightarrow{\mathrm{d}B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{\mathrm{PM}}}{\mathrm{PM}^3} $$ où le point P est un point du fil centré sur $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}$. Tenant compte de l'argument de symétrie, on peut se contenter de calculer le projeté sur $\vec{e_z}$ de l'expression précédente. La composante selon $z$ de l'élément de champ s'écrit $$ \mathrm{d}B_z=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\|\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{\mathrm{PM}}\|}{\mathrm{PM}^3}\sin{\theta}. $$ Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}$ et $\overrightarrow{\mathrm{PM}}$ étant perpendiculaires, on a $$ \|\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{\mathrm{PM}}\| = \|\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\|\|\overrightarrow{\mathrm{PM}}\|=R\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{PM} $$ où l'on a pris $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=R\mathrm{d}\varphi\vec{e_\varphi}$. Enfin, remarquons que $R=\mathrm{PM}\sin{\theta}$. En intégrant sur toute la spire — donc pour $\varphi$ variant de $0$ à $2\pi$ — et en réintroduisant la direction et le sens du champ magnétique, on obtient finalement $$ \boxed{\overrightarrow{B}(\mathrm{M})=\frac{\mu_0I}{2R}\sin^3\theta\,\vec{e_z}.} $$

On cherche maintenant à déterminer l'expression du champ magnétique créé par la circulation du courant dans une bobine plate. On pose $L$ la longueur de la bobine et $N$ le nombre de d'enroulements dont elle est constituée. On considère notre bobine comme une successions de $N$ spires placées les unes après les autres. On peut alors introduire le nombre $n$ de spires par unité de longueur $$ n = \frac{N}{L}. $$ Ainsi définie, sur un élément de longueur $\mathrm{d}\ell$, on compte $\mathrm{d}N=n\mathrm{d}\ell$ spires.

Pour $\mathrm{d}\ell$ assez petit, l'angle $\theta$ varie très peu et on peut donc considérer $\sin{\theta}$ comme identique sur cette longueur. Le théorème de superposition donne alors l'élément de champ $\overrightarrow{\mathrm{d}B}$ qui est la somme des éléments de champ créés par les $\mathrm{d}N$ spires contenues dans $\mathrm{d}\ell$ : $$ \overrightarrow{\mathrm{d}B}=\mathrm{d}N\overrightarrow{B_1}=n\mathrm{d}\ell\frac{\mu_0I}{2R}\sin^3{\theta}\,\vec{e_z} $$ où $\overrightarrow{B_1}$ désigne le champ créé par une spire qui est celui déterminé en I.2.a.. Pour faire le calcul, on peut introduire la longueur $\ell$ définie sur le schéma suivant.

En remarquant que $$ z-\ell=R\cot{\theta} $$ et donc que $$ \mathrm{d}\ell=\frac{R}{\sin^2{\theta}}\mathrm{d}\theta $$ on obtient $$ \overrightarrow{\mathrm{d}B}=\frac{n\mu_0I}{2}\sin{\theta}\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e_z} $$ et on peut intégrer cet élément de champ de $\theta_2$ à $\theta_1$ pour obtenir le champ créé par la bobine sur son axe : $$ \boxed{\overrightarrow{B}(\mathrm{M})=\frac{N\mu_0I}{2L}\left(\cos{\theta_2}-\cos{\theta_1}\right)\vec{e_z}.} $$

Le modèle de la bobine infinie est utile lorsque l'on considère des points dont la distance au centre de la bobine est très faible devant la longueur de la bobine. Pour l'obtenir, on peut utiliser l'expression trouvée précédemment. Il suffit de faire tendre $\theta_2$ vers $0$ et $\theta_1$ vers $\pi$, d'après le schéma. On obtient alors un champ parfaitement uniforme $$ \boxed{\overrightarrow{B}=\frac{N\mu_0I}{L}\vec{e_z}.} $$