Dans un premier temps, on cherche à calculer le champ magnétique créé par une spire de courant circulaire, qui nous servira dans la suite à modéliser une bobine. On suppose pour faire le calcul que le courant $I$ circulant dans la spire est constant afin d'utiliser les lois de la magnétostatique. On se place dans un repère de coordonnées cylindriques $\left(\vec{e_\rho},\vec{e_\varphi},\vec{e_z}\right)$ de telle façon que le vecteur $\vec{e_z}$ est orthogonal à la spire et que le courant circule dans le sens direct, comme sur le schéma suivant.

On prend un point M quelconque sur l'axe $(Oz)$. Ainsi, tout plan contenant cet axe étant un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant, le champ magnétique est dirigé que selon $\vec{e_z}$. On peut maintenant rappeler la loi de Biot et Savart qui nous dit que le champ $\overrightarrow{\mathrm{d}B}$ créé par un élément de fil $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}$ s'écrit $$ \overrightarrow{\mathrm{d}B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{\mathrm{PM}}}{\mathrm{PM}^3} $$ où le point P est un point du fil centré sur $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}$. Tenant compte de l'argument de symétrie, on peut se contenter de calculer le projeté sur $\vec{e_z}$ de l'expression précédente. La composante selon $z$ de l'élément de champ s'écrit $$ \mathrm{d}B_z=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\|\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{\mathrm{PM}}\|}{\mathrm{PM}^3}\sin{\theta}. $$ Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}$ et $\overrightarrow{\mathrm{PM}}$ étant perpendiculaires, on a $$ \|\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{\mathrm{PM}}\| = \|\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\|\|\overrightarrow{\mathrm{PM}}\|=R\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{PM} $$ où l'on a pris $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=R\mathrm{d}\varphi\vec{e_\varphi}$. Enfin, remarquons que $R=\mathrm{PM}\sin{\theta}$. En intégrant sur toute la spire — donc pour $\varphi$ variant de $0$ à $2\pi$ — et en réintroduisant la direction et le sens du champ magnétique, on obtient finalement $$ \boxed{\overrightarrow{B}(M)=\frac{\mu_0I}{2R}\sin^3\theta\,\vec{e_z}.} $$

On cherche maintenant à déterminer l'expression du champ magnétique créé par la circulation du courant dans une bobine plate. On pose $L$ la longueur de la bobine et $N$ le nombre de d'enroulements dont elle est constituée. On considère notre bobine comme une successions de $N$ spires placées les unes après les autres. On peut alors introduire le nombre $n$ de spires par unité de longueur $$ n = \frac{N}{L}. $$ Ainsi définie, sur un élément de longueur $\mathrm{d}z$, on compte $\mathrm{d}N=n\mathrm{d}z$ spires. Pour $\mathrm{d}z$ assez petit, l'angle $\theta$ varie très peu et on peut donc considérer $\sin{\theta}$ comme identique sur cette longueur. Le théorème de superposition donne alors l'élément de champ $\overrightarrow{\mathrm{d}B}$ qui est la somme des éléments de champ créés par les $\mathrm{d}N$ spires contenues dans $\mathrm{d}z$ : $$ \overrightarrow{\mathrm{d}B}=\mathrm{d}N\overrightarrow{B_1}=n\mathrm{d}z\frac{\mu_0I}{2R}\sin^3{\theta}\,\vec{e_z} $$ où $\overrightarrow{B_1}$ désigne le champ créé par une spire qui est celui déterminé en I.2.a..