Membres de l'équipe

  Anis Bettira - anis2bettira@gmail.com
  Stavros Balogiannis - stavrosbaltogiannis@gmail.com
  Sasa Biljanovic - sasa.biljanovic@etu.sorbonne-universite.fr
  Sara Engeli - sara.engeli@etu.sorbonne-universite.fr 
  Frédéric Correia Lopes - frederic.correia.lopes.75@gmail.com
  

Bibliographie:

https://humbuckersoup.com/making-single-coil-guitar-pickups/ (1)

  https://www.youtube.com/watch?v=KPvIYBYeZ7k&ab_channel=KeithDecent (2)
  https://www.youtube.com/watch?v=QoSMtvdFkVY&ab_channel=RadioshopPickups (3)
  Electronics for Guitarists - Denton J.Dailey - Chapitres 1-2 (4)
  https://www.instructables.com/Make-A-Guitar-Pickup/ (5)
  https://www.fralinpickups.com/2017/09/20/dc-resistance-guitar-pickups/ (6)
  https://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/guitar.pdf (7)
  https://nordstrandaudio.com/products/nj5-vintage-single-coil#magnet  (8)
   

Introduction

L'objectif de ce projet sera de mettre en avant les applications de la physique dans la musique. Nous aurons une partie principale basée sur le passage des signaux acoustique a des signaux éléctriques, dans lequel nous créerons à la fois un pick-up mais également tout l'instrument autour. Puis dans un dernier temps nous nous intéresserons au réglage en gamme naturelle.

L'invention du pick-up est l'une des plus grandes révolutions dans le monde de la musique moderne. Les Paul (de son vrai nom Lester William Polsfuss) a construit le premier pickup (micro de guitare) et donc la première guitare électrique en utilisant la loi de Lenz. Notre objectif sera de recréer un pickup de bobinage simple et de faire son analyse de signal.

Analyse du phénomène physique

Un micro de guitare se décompose en plusieurs éléments : - Bobine de fil de cuivre (solénoïde) - Aimants permanents cylindriques - Entrée et sortie du circuit - Base en plastique

Le champ magnétique généré par la corde ferromagnétique $B_C$ va influencer celui crée par les aimants permanents $B_A$ par simple vibration de celle-ci. Cette influence se traduit par une variation temporelle de l'amplitude du champ magnétique $B_A$.

Selon la loi de Lenz-Faraday, cette variation du champ magnétique $B_A$ contenu dans le solénoïde de $N$ spires, engendre une force électromotrice $V$ valant :

$V=-N\frac{d\phi}{dt}$

Avec :

$ \phi= \int\int \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dS}$

Dans un premier temps, on supposera que la position verticale de la corde vibrante est déterminée par l'équation :

$y(x,t)=A\cdot cos(kx-\omega t)\cdot e^{-\gamma t}$

La vibration de la corde se fait avec une pulsation $\omega=2\pi\nu$ et s'atténue au fil du temps.

Nous pouvons appliquer cette équation d'onde au champ magnétique $B_A$ des aimants. Cela donne :

$B_A(x,t)=B_0\cdot cos(kx-\omega t)\cdot e^{-\gamma t}$

Pour simplifier la résolution du problème, nous nous positionnerons en $x=0$, la corde se situe au dessus de l'aimant. Nous obtenons donc :

$B_A(t)=B_0\cdot cos(\omega t + \varphi)\cdot e^{-\gamma t}$

Calculons à présent le flux magnétique $\phi$. Pour cela on se positionne dans le système de coordonnées cylindrique :

$\phi=\int\int B_A\cdot\overrightarrow{u_z} \cdot \rho d\rho dz \cdot \overrightarrow{u_z}$ $\Rightarrow\phi=\int\int B_0\cdot cos(\omega t + \varphi)\cdot e^{-\gamma t}\cdot\overrightarrow{u_z} \cdot \rho d\rho dz \cdot \overrightarrow{u_z}$ $\Rightarrow\phi=\pi R^2 B_0\cdot cos(\omega t + \varphi)\cdot e^{-\gamma t}$

Où R est le rayon du solénoïde.

La force électromotrice vaut donc :

$V=-N\frac{d}{dt}(\pi R^2 B_0\cdot cos(\omega t + \varphi)\cdot e^{-\gamma t})$

$\Rightarrow V=-N\frac{d}{dt}(\pi R^2 B_0\cdot cos(\omega t +\varphi)\cdot e^{-\gamma t})$

$\Rightarrow V=-N\pi R^2 B_0(-\omega sin(\omega t +\varphi)\cdot e^{-\gamma t}-\gamma\cdot cos(\omega t + \varphi)\cdot e^{-\gamma t})$

$\Rightarrow V=N\pi R^2 B_0[\omega sin(\omega t +\varphi)+\gamma\cdot cos(\omega t + \varphi)]\cdot e^{-\gamma t}$

Caractéristique du micro

Le solénoïde est l'élément principal constituant le micro-guitare. Celui-ci possède des grandeurs caractéristiques comme l'inductance $L$ mais aussi une résistance notée $R$ et une capacité $C$. Ce sont ses caractéristiques qui détermineront le volume (amplitude), la tonalité (fréquence de résonance) et l'enrichissement en harmoniques (bande passante) du signal généré.

En effet, en considérant que le pickup est un circuit RLC en série (circuit électrique composé d'une résistance, d'une bobine et d'un condensateur), il est simple de déterminer sa fréquence propre $f_r$, sa bande passante $\Delta f$ et son facteur de qualité $Q$.

Le premier élément auquel il est nécessaire de s'intéresser lors de la conception d'un pickup, est la résistance $R$ de la bobine. Cette résistance est entièrement déterminée par le fil utilisé et peut être obtenue par mesure à l'aide d'un ohmmètre ou par calcul avec la formule :

$R=\frac{l}{\gamma A}$

Où :

$l$ est la longueur de fil constituant la bobine (en $m$).

$\gamma$ est la conductivité électrique (en $S/m$). Par exemple, $\gamma_{cuivre}=5,96\cdot 10^6\: S/m$.

$A$ est la section du fil constituant la bobine (en $m$).

La résistance de la bobine définie la diversité d'octave pouvant être jouées par la formule :

$\Delta f=\frac{R}{2\pi L}$

Si l'on souhaite produire différentes tonalités, il nous faut donc concevoir une bobine de forte résistance.

Initialement avec une résistance recherchée de 6 k$\Omega$ puis de 7 k$\Omega$, la longueur de fil nécessaire fût déterminé à 524 m via l'expression suivante :

$l=R\gamma \pi \frac{D^2}{4} = 524 \: m$

Où :

$R=7000\: \Omega$, $\gamma_{cuivre}=5,96\cdot 10^6\: S/m$ et $D = 0,04\: m$.

En divisant cette longueur de fil par le périmètre autour des aimants centraux qui est d'environ 12 cm, on a une bobine de 4369 spires.

Le bobinage est réalisé en se fiant à la masse du fil :

$m=l\pi \frac{D^2}{4}\rho_{cuivre}=5,90\: g$

Où : $l=524\: m$, $D = 0,04\: m$ et $\rho_{cuivre}=8960\: kg/m^3$.

A la suite du bobinage, on obtiendra une résistance de 3 k$\Omega$ pour le pickup à vis et 4,5 k$\Omega$ pour le pickup constitué d'aimants en barre. Cette différence entre la valeur théorique souhaitée et la résistance expérimentale est dû à des erreurs de calculs.

3/3/2021:

Rencontre de l’équipe et mise en place des objectifs. Échanges sur la bibliographie et discussion sur la structure et la thématique précise du projet. On a aboutit à : Liste de Matériel et outils pour la création du pickup:

• fil de cuivre
• aimants de AlNiCo
• support en plastique (potentiellement imprimes )
• Oscilloscope pour l'analyse
• 2 cordes de guitare
• Bois pour construire un manche
• fer à souder
• vises de 3.6mm
• cire

10/3/2021: Conception de supports en plastique en impression 3D. Modélisation sur tinkercad.

Calcul de la largeur du fil et du nombre de tours

On a trouvé que la Résistance idéale de la bobine doit être à peu près de 6kΩ. Pour trouver la longueur du fil on a utilisé l'équation R = ρ*l/A avec ρ=0.0171 Ω*mm²/m (la résistance spécifique du cuivre): On a commencé à faire les calculs avec un fil de cuivre avec un diamètre de 0.5mm. On a trouvé qu'avec cette largeur, la lougueur nécessaire est de l=68km. C'est donc beaucoup trop long. On va essayé avec un fil plus fin. Le plus fin qu'on ai trouvé n'avait pas de diamètre indiqué et c'était trop fin pour le mesurer directement avec un pied à coulisse par exemple. Donc on a essayé de trouver le diamètre en faisant une petite bobine (40 tours) avec ce fil autour d'une bouteille (diamètre 25mm). Comme ça on avait une longueur du fil l=π*25mm*40. Avec un multimètre on a mesuré la résistance de cette bobine (R=6.8Ω). Avec l'équation A=l*ρ/R et A=πr^2 on reçoit: π*25mm*40*ρ/R=π*r^2 et donc le rayon r=0.05mm et le diamètre d=0.1mm. Avec cette valeur on a calculé de nouveau la longueur du fil pour obtenir une résistance de R=6kΩ. Cette fois on a obtenu l=2.766km. Cela nous semble déjà plus possible que l=68km mais pour vérifier si c'est une dimension possible on a calculé le poids de 2.766km de ce fil de cuivre. On a utilisé l'équation: m=ρ*l*A avec ρ=8.96g/cm^3 (la densité de cuivre) et on a obtenu m=170g ce qui nous parait pas beaucoup trop. Finalement on a calculé le nombre de tours qu'il faut pour avoir une longueur de l=2.766km. Pour le calcul on a pris un périmètre de 12cm. Cela nous donne à peu près 23'000 tours. Car ça nous semble encore un peu trop, on va essayé de trouver un fil encore plus fin pour continuer le projet.

Suports en plastique

On a dessiné les supports du pick-up.

11/3/2021:

Calcul de la longeur du fil 2

En faisant encore plus de recherche on a decidé de chercher la résistance de 7000 ohms(résistance aproximative, pas besoin d'une valeur exacte). Prenant la résistivité du cuivre ro=1,7 x 10-8 Ohm.m et le diametre du fil le plus souvent utilisé pour les pickups d=0.0633 mm, on a trouvé la longeur de notre fil l=1310 m ce qui revient à autour de 9000 tour du fil.

Nous avons fait une recherche sur internet pour trouver les materiaux necessaires. Nous avons abouti a:

https://www.amazon.fr/Without-brand-XXF-gydx-polyur%C3%A9thane-Qa-1-155/dp/B08CGCJWHV/ref=sr_1_8?__mk_fr_FR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&dchild=1&keywords=fil+de+cuivre+0.05mm&qid=1615470939&sr=8-8

https://www.amazon.fr/perfk-Polepieces-Magnets-%C3%A9lectrique-Humbucker/dp/B07FVZQBTW/ref=sr_1_3?__mk_fr_FR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&dchild=1&keywords=magnet+alnico+pickup+bar&qid=1615470736&sr=8-3

Il est possible que nous allons faire un deuxième pickup utilisant 6 aimants cylindriques de diametre 3mm, et pour le premier pickup qu'on a imprimé (image2) nous allons utiliser un aimant sous forme de barre.La raison de faire une étude des differences entre les signaux crees de nos deux pickups.

Image 2

Nous avons imprimé des nouvelles bases en plastique pour le pickup qui va utiliser les aimants cylindriques. La seule difference est le diametre des trous (3.6mm → 3mm)

17/3/2021: Nous avons passé la commande pour le matériel, il est prévu de recevoir le fil de cuivre spécial et les aimants AlniCo que début avril. Pour compenser ce retard nous avons prévu de faire une analyse de signal d'un pickup d'une guitare basse pour avoir des données. Avec ces données nous allons pouvoir faire une analyse qualitative de notre pickup quand il va être construit.

24/3/2021: Pour faire l'enregistrement du son nous allons utiliser une carte son (Focurite Scarlett Solo). En utilisant une carte son on limite ainsi le bruit ambiant. Le logiciel d'enregistrement que l'on va utiliser est Audacity. Les pickups qu'on utilise sont des Nordstrand NJ5 5 String Jazz L Size Single Coil Neck Pickup , ils sont du type single coil (comme les pickups qu'on veut concevoir) et sans pre-amplification. Ces pickups-là ont des aimants Alnico(8) malheureusement sur internet les informations de la résistance, inductance et le bobinage ne sont pas disponibles, nous avons envoyé un mail à la compagnie qui n'a pas voulu nous donner plus de précisions.

Le protocole de l'experience est:

• On branche la guitare dans le port stéréo de la carte son et on ajoute un peu de gain. Comme il s'agit d'un pickup passif il est nécessaire d'ajouter une petite amplification.
• On lance un enregistrement audacity
• On pince sur la basse les 4 chordes en acier, une par une de la corde la plus épaisse (basse) à la corde la plus mince (prime).
• On fait une analyse de signal en sélectionnant sur >analyse>plot spectrum

On obtient 4 fichiers CSV qui tracent l'intensité du son en fonction de la fréquence.

31/3/2021:

On a reçu la bobine de cuivre de 0,04 mm de diamètre. Nous allons pouvoir commencer le bobinage du pick-up avec un aimant à barre. Les aimants ne sont pas encore tous arrivés. On calcul le nombre de kilogrammes de cuivre nécessaires pour arriver à une résistance de 7000 ohms. On détermine le distance nécessaire pour en utilisant la formule l = R*S/rho et on trouve l = 1.028km en utilisant la densité de cuivre on trouve M = 11.6g. Pour déterminer le bon nombre de tours, pendant le bobinage, on pèse le pick-up régulièrement jusqu’à ce qu'on ait une masse de 11.6g de fil.

Voilà le dispositif du bobinage :

Le fil de cuivre est très fin, il est extrêmement cassant. on a essayer de plein de manière différentes, celle-ci semble la meilleur

7/4/2021:

Après l'insuccès du bobinage la semaine dernière, on a réessayé cette semaine avec un dispositif différent. On a placé la bobine verticalement contrairement à la semaine précédente en utilisant encore la perceuse. Cet fois ci, la bobine ne tourne pas sur elle même, le fil se déroule sans résistance et il ne casse pas. On obtient finalement la masse de cuivre voulue sur le pick-up. On a mesuré la résistance obtenu après bobinage. On mesure à peu près 3,5 kOhm, ce qui est la moitié de ce qui était prévu initialement. Or on avait bien atteint la masse voulue, en reprenant nos calculs on ne trouve pas notre erreur. Après vérification sur internet, il existe des pick-up avec plein de valeurs de résistance différentes, y compris les valeurs autour de 4000Ohms. Nous voilà rassurés !

On continue avec le cirage du pickup ce qui permet la protection de la bobine des éléments extérieurs, ainsi que d'empêcher les vibrations non-voulues du fil. On utilise la cire d'une bougie (paraffine) que l'on fait fondre avec une plaque chauffante, la paraffine fond très lentement. On trempe le pick-up dans cette cire à température …,on le trempe à cet température pour ne pas l'abimer On soude également les embout du pick-up pour permettre de le brancher à des fils par la suite. Malheureusement nous nous sommes rendu compte que 3 des 6 vis utilisé pour le pick-up ne s’aimantent pas. On décide de les remplacez. Pendant ce remplacement ou casse le bobinage. On doit recommencer à bobiner ce pick-up. En parallèle on a fini de construire la structure du deuxième pickup, on commence son bobinage. On mesure une résistance de 4,38 kOhms pour deuxième pick-up, le pick-up à aimant en colonne.

Finalement on a bobiné les deux pick-up et on a trempé le pick-up à aimant en colonne dans la paraffine. On obtient une résistance de 4,5kOhm pour le 1er pick-up, le pick-up à aimant en barre.

14/4/2021: On chauffe la paraffine pour trempé le pick-up à aimant en barre. On place une bande adhésive isolante sur les deux pickup.

On a préparé un fichier pour taillé un bloc de bois pour y placé les pickup, le corps de la guitare.

La machine n'est pas disponible aujourd’hui. On a connecté les deux pick-up avec un switch, le réglage du volume et le jack femelle. Le circuit est prêt :

Pour mieux comprendre le circuit :

On construit également un manche en métal pour supporté la tension de la corde. On troue une visse pour y mettre la corde et pour pouvoir régler la tension en la tournant. On prévoit une certaine hauteur pour pouvoir installer le circuit entre la corde et le manche.

On mesure les longueurs de manches pour obtenir l'octave la quinte, la quarte, la tierce Majeur et mineur et la seconde. Elles correspondent respectivement à 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 8/9, 9/10 de longueurs de cordes. On installe un bout de bois sur le manche en métal pour appuyer la corde dessus et obtenir les intervalles voulus. Le manche est prêt, il nous manque le “corps” avec le circuit et les pick-ups.

On effectue un test rapide avec le pick-up brancher à l'ordinateur et posé sous la corde, on obtient pas de résultat concret.

21/4/2021: Nous n'avons toujours pas accès à la machine qui taille le morceau de bois. Nous allons essayé d'installer les pickups et le circuit d'une autre manière puisque nous manquons de temps. On test à nouveau la tension du pick-up, on observe aucune modification lorsque la corde vibre. On test alors la résistance du pick-up testé précédemment. On remarque que le fil n'est plus connecté à la bobine. On refait la soudure. De plus, le manche est totalement desserré, on ressert donc toute les vis. Une fois que la soudure est finis on test la tension des deux pick-up sous la corde. Cette fois on observe une net augmentation de tension lorsque l'on fait vibrer la corde, et pour les deux pick-up !

On se questionne quand au fonctionnement du circuit. On retarde donc le placement du circuit sur le pick-up pour nous permettre de vérifier avant avec l'analyse sonore son bon fonctionnement.

28/4/2021: Nous avons fini l'assemblage de notre guitare et nous avons fait le premier test, qui a été marqué par un succès. Nous avons attaché les pick-ups sur la partie centrale du manche. Le circuit connectant le pick-up aimant en barre et le pick-up aimant en colonnes. Mile à branché la guitare dans un amplificateur Fender les résultats sont visibles dans la vidéo ci-dessous.

Nous avons utilisé le logiciel audacity pour faire des enregistrements et les analyser. Nous avons branché les micros dans une carte son de type Focusrite Scarlett. Nous avons enregistré plusieurs sons correspondants à des intervalles différents.

Les analyses de Fourrier vont nous aider à voir la précision de notre système de réglage et à visualiser les signaux générés par le pick-up. On utilise un peu de gain et nous voyons des pics, le pic qui a le moins d'atténuation par le système du son est la note jouée.

Niveau sonore en fonction de la fréquence pour le pick-up avec des aimants cylindriques :

Niveau sonore en fonction de la fréquence pour le pick-up avec des vis :

On voit que dans les deux cas on a beaucoup de bruit après une fréquence de 1000Hz. On compare ces résultats avec les pickup Nordstrand NJ5 5 String Jazz L Size Single Coil Neck Pickup.

Précisons qu'il s'agit de l'amplification d'une vibration provenant de la même corde dans les 3 cas. On voit que dans le cas de notre micro on a beaucoup plus d'harmoniques qui apparaissent comparé au micro de basse, ce qui a pour résultat une note beaucoup plus naturelle et du coup plus brillante que le micro de basse.

Aussi nous pouvons remarquer que le circuit électronique de la basse contient un filtre passe bas à 2200 Hz. Ceci est logique car ils annulent tous les harmoniques de haute fréquence . Nous en contradiction, comme nous construisons une guitare, le fait qu'on puisse entendre des harmoniques jusqu'à 10000 Hz n'est pas pénalisant.

Spectre de Nordstrand NJ5 5 String Jazz L Size Single Coilt :

A travers l'histoire il a existé de nombreuses façons d'accorder un instrument et de séparer les octaves en notes. De nos jours, le mode le plus commun est le réglage tempéré qui sépare une octave en 12 semi-tons équidistants en multipliant chaque fois la fréquence initiale $f$ par \sqrt[12]{2} .

Le plus souvent on utilise le LA $440Hz$ comme base, dans notre cas nous avons utilisé une autre méthode, celle de la juste intonation, en fonction de la fréquence fondamentale dans notre cas le Sol grave de 49Hz. La méthode est la suivante, on utilise les relations pythagoriciennes pour construire les intervalles. Nous décidons d'en construire le semi-ton (ratio 16:15), le ton (ratio 9:8), la tierce mineure (ratio 6:5) , la tierce majeure (ratio 5:4), la quarte (ratio 4:3) , la quinte (ratio 3:2) et au final l'octave (ratio 2:1). Ces ratios là sont des ratios de fréquence cela veut dire que si on multiplie la fréquence initiale par 2 on obtient une octave. Mais aussi si on prend la corde et que l'on appuie au milieu on obtient une octave. Donc du coup avec une règle de précision on divise le manche en utilisant ces ratios.

On analyse les fréquences reçues comme données dans l'ordinateur, le choix du micro est aléatoire car on veut voir la précision de notre système de réglage.

Notre fondamentale est un sol 1: $49 Hz$,la fréquence fondamentale dépend de la tension que nous avons appliquée sur la corde. On voit que dans le cas de l'octave nous avons un pic principal à $104Hz$ ce qui correspond a un Sol 2 dièse. On observe une différence de $6Hz$. Pour la tierce on a un pic à 60 Hz ce qui correspond a un Si 1, la tierce majeure de Sol est aussi un Si mais avec une fréquence de 61.25Hz, on a donc une différence de 1.25 Hz. Pour la quarte on a un Do# de 68Hz, or la quarte pure du Sol 1 est 65.333 Hz. Une oreille bien entraînée va pouvoir distinguer le fait que l'octave et la quarte ont une certaine distance fréquentielle avec l'intervalle pythagoricien.

On sait que la fréquence de la vibration d'une corde en fonction de la fréquence fondamentale et de la longueur est:

$$f_v = \frac{f_1 \cdot L}{L_v}$$

Avec $L$ la longueur de la corde, $f_1$ la fréquence fondamentale et $L_v$ la longueur mesurée pour une certaine fréquence.

On utilise:

$f_1 = 49 Hz$ avec une incertitude de $\Delta f_1 = 2 Hz$

L = 82.2 cm avec une incertitude de $\Delta L = 0.5 cm$

$L_{octave} = 43 cm $ avec une incertitude de $\Delta L_{octave} = 2 cm$

$L_{quarte} = 65 cm $ avec une incertitude de $\Delta L_{quarte} = 2 cm$

$L_{3maj} = 69 cm $ avec une incertitude de $\Delta L_{3maj} = 2 cm$

Pour trouver l'incertitude de $f_v$ on utilise la formule: $$\Delta f_v = \sqrt{\sum \left(\frac{\partial f_v}{\partial x_i}\right)^2\Delta x_i ^2} = \sqrt{\left(\frac{\partial f_v}{\partial L}\right)^2\Delta L ^2 + \left(\frac{\partial f_v}{\partial L_v}\right)^2\Delta L_v^2 + \left(\frac{\partial f_v}{\partial f_1}\right)^2\Delta f_1 ^2} $$

$$ = \sqrt{\left(\frac{f_1}{L_v}\right)^2\Delta L ^2 + \left(\frac{f_1 L}{ L_v^2}\right)^2\Delta L_v^2 + \left(\frac{L}{L_v}\right)^2\Delta f_1 ^2}$$

Pour l'octave on trouve donc:

$\Delta f_{octave} = 6 Hz$

Pour la quarte on trouve:

$\Delta f_{quart} = 3 Hz$

Pour la tierce majeure on trouve:

$\Delta f_{3maj} = 3 Hz$

Les incertitudes sur les fréquences calculées correspondent bien aux incertitudes mesurées dans l'analyse de Fourrier.