• *Début du Projet : 18 Janvier 2017
  Fin du Projet : 24 Avril 2017 Porteurs du Projet : Amaury GASPARD (contact : amaury.gaspard@etu.upmc.fr)
  Nadim KERROU (contact : nadim.kerrou@etu.upmc.fr)
  Mohamed Salah MIMOUNA (contact : mohamed.mimouna@etu.upmc.fr)
  Léon RYRKO (contact : leon.ryrko@etu.upmc.fr)
  Diego SANCHO MARIACA (contact : diego.sancho_mariaca@etu.upmc.fr)
  Tutrice du projet : Giovanna LANI (contact : giovanna.lani@impmc.upmc.fr)
  ===== Organisation ===== ==== Répartition des rôles ==== Animateur : Diego, Salah, Amaury
  Scribe : Léon / Nadim
  Secrétaire : Nadim
  Intendant/Gardien du Temps : Nadim / Salah
  ==== Diagramme de Gantt ====
  ===== Présentation du Projet ===== ==== Sujet d'étude ==== Le but de l'expérience est de créer un système permettant de vérifier l'isospectralité des deux formes de tambours données en 1992 par Gordon, Webb et Wolpert, réalisés ici en PMMA . Il a fallu attendre de nombreux résultats sur la géométrie spectrale avant de pouvoir exhiber ces deux formes planes en 2D, non congruentes géométriquement (i.e il est impossible de pouvoir superposer les deux figures à l'aide de translation et de rotations).
  En effet, afin de construire celles-ci il a fallu réduire le champ des possibilités et ce à l'aide de nombreux théorèmes tels que le théorème de Weyl(relation nombre de valeurs propres et aire de la figure, 1911), le théorème d'Ivrii(1980, extension de celui de Weyl, permettant également d'y introduire la longueur de la frontière de la figure), théorème de Walpert …
  Ainsi il a été montré qu'il était possible “d'entendre” l'aire, le périmètre ainsi que la possible connexité, d'une membrane en vibration, lorsque nous connaissons ses fréquences propres. Une avancée considérable fut alors permise lorsque le mathématicien Toshikazu Sunada développa une méthode générale afin de construire des variétés topologiques isospectrales. C'est selon ce cheminement que s'est effectué la construction des deux formes que nous allons étudier au sein de l'expérience (et des nombreuses autres trouvées depuis).
  ==== Objectif ==== L'objectif de ce projet est de construire deux tambours en PMMA correspondants aux formes décrites et un système de vibration afin que l'on puisse observer les modes propres de vibrations (en mettant du sable ou du sucre par dessus par exemple) et d'observer qu'ils correspondent bien aux résultats prévus par la théorie d'une part, et d'autre part que l'on vérifie bien l'isospectralité de ces deux formes, permettant d'infirmer que l'on ne peut pas, du moins en 2D, “hear the shape of the drums”. ===== Journal de Bord ===== Mercredi 18 Janvier
  (Amaury, Léon, Nadim, Salah) (1H)
  Suite a la réunion d'information sur les projets, on décide de faire un groupe nous 5, et on s'oriente très vite vers l'expérience de “Can We Hear The Shape of a Drum”, en tout cas on part sur l'idée d'un projet en lien avec le son. (Amaury, Léon, Nadim, Salah, Diego) (4h)
  Lecture de différents articles. Samedi 28 Janvier
  (Amaury, Nadim, Salah) (2H)
  Première réunion, on commence à voir toute la bibliographie et on se répartit les articles à lire et les expériences à comprendre. On s'échange beaucoup d'articles et on voit un peu le travail théorique à fournir, on commence aussi à organiser les taches dans le groupe et prévoir les prochaines réunions mais l'ordre du jour c'est que tout le monde ait lu la bibliographie des expériences relatives à notre sujet. Samedi 04 Février
  (Amaury, Diego, Léon, Salah, +Nadim par skype pendant 30min)(2H)
  Répartition des taches, Salah et Amaury vont s'occuper de la partie théorique, pendant que Diego, Léon et Nadim seront sur la partie expérimentale et peut être numérique si besoin est. Mardi 07 Février
  (Amaury, Diego, Léon, Nadim, Salah) (2H)
  Suite à un échange de mails avec Giovanna Lani, on reconsidère l'experience “Electromagnetic Waves In Metal Cavities” comme étudiée par Sridhar S. et A Kudrolli en 1994 dans Phys. Rev. Letter. Pour la partie expérimentale on commence à essayer de lister le matériel dont on aura besoin mais il est vrai que le montage décrit nous parait encore flou, notamment on n'arrive pas à visualiser comment sont les cavités. On est passé au FabLAB pour voir s'ils ont un analyseur réseau mais il se trouve qu'ils n'ont qu'un analyseur de spectre et on ne sait pas s'il peut convenir à l'expérience. Pour la prochaine séance chacun doit avoir bien lu et compris l'expérience, avoir lister tout le matériel nécessaire et on doit commencer à nous procurer le matériel. On part sur un analyseur réseau vectoriel, des plaques de cuivres OFHC, un sonde coaxiale, un générateur de fréquence pour l'instant… Mercredi 15 Février
  (Amaury, Nadim, Salah) + Giovanna Lani (2H)
  Discussion autour de l'avancement du projet : Le projet d'expérience des “Electromagnetic Waves In Metal Cavities” se révèle trop complexe à mettre en oeuvre car cher et ardue, et il y aurait un risque élevé de ne pas du tout obtenir de résultats. On part sur l'idée initiale de vérifier numériquement les propriétés isospectrales de deux formes mais cela serait principalement un projet numérique. On parle de l'expérience menée dans le papier de Lausanne (référence souhaitée) d'enregistrement par 4 microphones dans une salle mais cela ne serait pas très démonstratif alors on pense aussi à l'idée des figures de Chladni et on se dit qu'on pourrait vérifier nous même, en construisant les figures, les propriétés isospectrales deux deux formes différentes. (Amaury, Nadim, Salah) (1H)
  Puis, rencontre au FabLAB avec Royce . On lui présente notre projet des figures de Chladni et on lui dit qu'on aimerait reproduire l'expérience pour vérifier les propriétés isospectrales des deux formes trouvées mathématiquement dans l'article […]. Il nous dit qu'il a déjà réalisé une expérience mais pour des formes plus simples, dans le seul but d'observer des modes propres de vibration et qu'il avait utilisé comme matériau du Polyméthacrylate de méthyle (PMMA) et qu'on observait les figures de manière plutôt encourageante. Il nous donne les dimensions des plaques (30x60cm) et on discute du moyen de vibration. En effet si on fixe le générateur d'impulsion sur la plaque on la déforme localement et on peut donc perturber l'obtention de résultats, donc on discute de pouvoir construire notre propre générateur d'impulsion à partir d'enceintes (on utiliserait l'électroaimant de ces dernières reliés à un générateur GBF). On discute d'un générateur mécanique qui cognerait la plaque avec haute fréquence mais là aussi des problèmes de fixation viennent s'ajouter car il faudrait maintenir toute la structure et fixant le générateur à certains points ce qui la aussi poserait problème. D'autre part … Mardi 21 Février
  (Amaury, Léon, Nadim, Salah) + Giovanna Lani (30min)
  Nouvelle rencontre avec Giovanna Lani, finalisation du contour du projet, discussion autour des diagrammes de Gantt. On lui explique la réunion qu’on a eu au FABlab, explication des 2 différents générateurs de fréquence que l'on a la possibilité de construire, avantages/inconvénients. Discussions sur les figures de Chladni, comment adapter la modélisation, enrichissement de notre bibliographie, processus de commandes et d'achats à l'UPMC, beaucoup d'interrogations subsistent à ce sujet. (Nadim) (1H) Nouvelle rencontre avec Royce . Demande des derniers renseignements par rapport aux achats à effectuer et aussi par rapport au logiciel d'utilisation de la machine qui va découper nos formes. On utilisera à priori Autodesk Fusion 360. On discute de l'épaisseur des plaques en se disant que pour pouvoir observer des effets de manière précise on pourrait prendre des plaques d'épaisseurs de 200 microns à 1.5 millimètre. D'autre part les enceintes ne devront pas dépasser une certaine puissance sinon on devra utiliser un amplificateur qui sera plus chaud de construire. Non discute des éléments de liaisons mais tout est disponible au FabLAB donc c'est bon on peut aller faire nos achats. Vendredi 24 Février
  (Léon) (30min)
  Rencontre avec Mme Bodu pour espérer avoir un financement mais étant donné que l'on reçoit des ECTS pour ce projet, notre demande est déboutée. (Salah,Amaury) (2H)
  Lecture de différents articles et travail sur la partie numérique. Mardi 28 Février
  (Nadim) (1H30)
  Achat des plaques de PMMA à Weber Métaux et Plastiques http://www.weber-metaux.com/index.html/mentions-legales.html . Ils n'avaient pas de 30x60cm, on a pris en 60x120cm et on découpera à l'aide d'une griffe les plaques. Achat d'une plaque 60x120cm d'épaisseur 1mm (ils n'avaient pas d'épaisseur de l'ordre du micron) plus la moitié d'une. Coût : 61.20€ . On entrepose les plaques dans le local du FabLAB et demain on va faire les prototypes des figures. . Mercredi 01 Mars
  (Nadim) (2H)
  Au FabLAB. Calcul des dimensions de nos figures; pour l'instant on réalise la figure carrée et les deux figures isospectrales. Avec l'aide de Royce, initiation à l'utilisation du logiciel Fusion360 Autodesk afin de créer les fichiers .dxf de nos figures qui seront lus par la découpeuse laser. Il s'agit d'apprendre à créer des “Sketches”, des “Bodies”, bien comprendre l'orientation et la vue de l'objet dans l'interface, utiliser les outils de base et réaliser le dessin des formes géométriques. D'autre part, on a prévu des figures avec des bords fixes, du coup on a laissé de la marge afin de pouvoir rajouter ensuite un bord-support pour chaque figure si c'est le modèle théorique que l'on choisit. Sinon, les formes sans marge pour une fixation au centre sont aussi prêtes. L'étude de notre partie théorique nous permettre de trancher, ou on pourra tester les deux modèles si on a du temps. Pour découper nos plaques en format 30x60cm pour la découpeuse, le technicien n'étant pas là le mercredi , on reviendra afin qu'il le fasse et qu'on puisse lancer la découpe laser. En attendant, achat de l'enceinte à effectuer. Mercredi 08 Mars
  (Nadim, Diego, Léon) (3H30)
  Au FabLAB. On finalise nos formes dont on veut vérifier l'isospectralité, et on lance la découpe laser. Nos plaques ont été découpés au préalable par Mr Feirera (merci à lui!) pour qu'elle puisse entrer dans la machine. On a donc nos deux formes à tester plus un carré. On a acheté également l'enceinte et on voit avec Royce comment extraire les électroaimants afin de réaliser notre vibrateur qui sera en contact des plaques. On discute aussi du modèle théorique : nos plaques sont censés être de bords fixes donc on réfléchit à un modèle de boitier qui viendrait fixer nos plaques et sous lequel on mettrait le dispositif pour faire vibrer la plaque. On construit donc le modèle sur Autodesk. On décide de se répartir les tâches pour la prochaine fois: Nadim va s'occuper de finir le montage des formes et de leur “boitier” qui leur permettra d'être fixe sur les bords, et Diego et Léon vont se pencher sur les électroaimants et le système de vibration. Mardi 14 Mars
  (Nadim, Diego, Léon, Salah, Amaury) (3H30)
  Réunion de mise au point pour voir comment chacun à avancer. On commence a mieux cerner le plan que va prendre notre projet. Amaury et Salah ont bien avancé sur la partie théorique. Nadim, Diego et Léon expliquent comment à avancer la partie expérimentale, on se donne des tâches à effectuer et on voit où on en est niveau temps. Mercredi 15 Mars
  (Nadim) (4H00)
  Au FabLAB. On finalise de modéliser la forme 1 et son “boitier” qui va la rendre fixe. Avec l'aide de Royce on lance la découpe laser avec des planches de bois 30x60cm et 6cm d'épaisseur. A l'aide du pistolet à colle on fixe les différentes plaques de bois découpées (côté, dos , face et dessus) afin d'assemblée le “boitier”. Il va falloir redécouper la forme 1 en ajoutant 2mm car la nôtre fait pile la taille de l'espace de même forme dans la plaque du dessus. Le principe est que l'on a prévu un cadre de même forme mais légèrement plus grand avec un système de trous dans lequel on placera des vis et qui va venir se fixer sur la plaque du dessus. Notre forme 1 sera entre le cadre et la plaque et se retrouvera “pincée sur les bords, ce qui constituera une bonne modélisation, nous l'espérons, du fait que les bords sont censés être fixés dans notre expérience.
  Suite à une grande utilisation de la découpe laser au FabLAB, l'équipe doit changer le filtre et le charbon de la machine, ça va prendre quelques jours, donc on ne peut pas lancer la forme 2 et son boitier. On en profite pour finaliser la modélisation sur Autodesk de la forme 2 et son boitier. (Salah, Amaury) (4H)
  Travail sur la partie numérique Mardi 21 Mars
  (Léon, Diego) (3H00)
  Travail au FabLAB sur la réalisation du dispositif agitateur de notre forme à l'aide de l'électroaimant extrait des enceintes. Prototype d'une forme de bois à venir fixer sur l'électroaimant. Mardi 28 Mars
  (Léon, Diego) (2H00)
  Travail au FabLAB. Discussion avec Royce sur le modèle de l'agitateur et reprototypage.
  (Nadim)(2h00)
  Travail au FabLAB. Découpe avec la découpe laser des formes finales bien dimensionnées et finalisation du premier “boitier” pour la forme 1 ! Le deuxième boitier suivra mais le FabLAB doit commander du bois, d'ici demain cela sera terminer. Mercredi 29 Mars
  (Léon, Diego, Nadim) (3H30)
  Travail au FabLAB. On a finit nos deux boitiers pour nos deux formes à tester! Pour l'agitateur, on a notre modèle suite aux discussions d'hier et on a imprimé une planche de bois pour couvrir l'enceinte et on a imprimé une petite épée de bois qui va aller faire vibrer nos planches. On a fait plusieurs essais pour avoir des épées de bonnes tailles car il y en a qui étaient trop courtes ou trop longues. On a fait un test et ça marche, cela fait vibrer les plaques! notre électroaimant et relié à un logiciel de générateur de fréquence sur notre ordinateur par un branchement USB (alimentation) et jack (fréquence) avec le système qui était fournie avec l'enceinte. On a plus qu'à tester avec du sable ou des spores pour voir si on obtient des figures de spectres telles qu'attendues. (+Giovanna Lani) Présentation du travail accompli jusque là, discussion sur l'expérience avec le sable qu'on va effectuer prochainement, comment rédiger l'article et autres détails sur l'évaluation. Mardi 4 Avril
  (Salah, Amaury, Léon, Diego, Nadim) (3H30)
  Réunion pour tester des valeurs propres et les convertir en fréquences propres. Premiers tests avec du sucre blanc et de la poudre d'amande. Test avec différentes longueurs d'épée pour le système vibrant. On a cassé une épée et une soudure s'est un peu abîmé; prévision d'une nouvelle séance. Mardi 18 Avril
  (Léon, Diego, Nadim) (3H30)
  Réunion pour tester des valeurs propres et les convertir en fréquences propres. Premiers tests avec du sucre blanc et de la poudre d'amande. Test avec différentes longueurs d'épée pour le système vibrant. On a cassé une épée et une soudure s'est un peu abîmé; prévision d'une nouvelle séance. Travail sur l'article. rédaction, diagramme de Gantt. Vendredi 21 Avril
  (Salah, Amaury,Léon, Diego, Nadim) (3H30)
  Nouveaux tests sur l'expérience. Rédaction de l'article. Samedi 22 Avril
  (Nadim) (3H30)
  Nouveaux tests sur l'expérience. Finalisation. Dimanche 24 Avril **
  

(Léon, Diego, Amaury, Salah) (2H00)

Participation à la rédaction de l'article. Partie numérique et théorique.

(Nadim) (5h00)

Mise en forme LaTeX, insertion des figures, Bibliographie, Bilan de l'expérience et de ses résultats.

- 1 plaque de Polyméthacrylate de méthyle (PMMA) 60x120cm d'épaisseur 1mm plus la moitié d'une plaque - 2 enceintes de 30W max, 15V, 1A avec un cable USB et une prise jack
- 4 plaques de bois 60x120cm, épaisseur 0.6cm - 16 vis - 16 écrous

- On découpe les plaques de PMMA à l'aide d'une griffe pour former des carrés de dimension 30x30cm. En effet la découpeuse laser ne prend des dimensions max que de 30x60cm et nos figures sont pour la plupart contenues dans des carrés.
- A l'aide du logiciel Fusion360 Autodesk, on réalise les fichiers .dxf de nos figures car c'est le format lu par la découpeuse laser. Nos formes sont comprises exactement dans des carrés de côté 24.6cm afin de laisser de la place pour le système de fixation.
- Toujours avec Fusion360 Autodesk, on réalise le système de boitier de fixation des formes. Ce système est constitué pour chaque forme de :

• deux plaques “side”
• une plaque “back
• une plaque “front”
• une plaque “top” avec un trou de même forme mais plus petit de 0.2cm afin qu'on puisse la poser dessus
• un cadre de même forme que la figure souhaitée mais plus grande, avec des trous de fixation pour des vis.
  

On essaiera de faire un schéma des pièces afin que cela soit plus clair.

-On assemble à l'aide d'un pistolet à collet le boitier; pour cela on colle les plaques “side”, “back”, “front” et top.
-On assemble notre système ; pour cela on pose notre figure étudiée sur le boitier, on recouvre avec le cadre et on vis. Notre figure est maintenant fixée au bord.

- On s'occupe maintenant de réaliser le système vibrant. Pour cela on découpe dans une même planche de bois de 6mm un ovale de la forme du micro de l'enceinte, avec un trou au milieu, et une petite “épée” de bois qui va venir toucher le dessous des formes en PMMA.

- On place le dispositif vibrant sous les figures et on place du sucre brun dessus. On Relie au logiciel ToneGenerator et on teste nos fréquences propres trouvés par la méthode numérique.

fig4.pdf

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@book{DAlembert, address={France}, author= {Jean Le Rond D'Alembert}, title={Recherches sur la courbe que forme une corde tendu mise en vibration}, year={1747}, }

@article{MarkKac, author= {Mark Kac}, journal={The American Mathematical Monthly}, month={apr}, number={4}, page={1–22}, title={Can One Hear The Shape Of A Drum}, volume= {73}, part={2}, url={http://www.jstor.org/stable/2313748}, year={1966} }

@article{Giraud, title = {Hearing shapes of drums: Mathematical and physical aspects of isospectrality}, author = {Giraud, Olivier and Thas, Koen}, journal = {Rev. Mod. Phys.}, volume = {82}, issue = {3}, pages = {2213–2255}, numpages = {0}, year = {2010}, month = {Aug}, publisher = {American Physical Society}, doi = {10.1103/RevModPhys.82.2213}, url = {https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.82.2213} }

@article{NotHearingShape, title = {Experiments on not ``hearing the shape'' of drums}, author = {Sridhar, S. and Kudrolli, A.}, journal = {Phys. Rev. Lett.}, volume = {72}, issue = {14}, pages = {2175–2178}, numpages = {0}, year = {1994}, month = {Apr}, publisher = {American Physical Society}, doi = {10.1103/PhysRevLett.72.2175}, url = {https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.72.2175} }

@Article{Sridhar1992, author=“Sridhar, S. and Hogenboom, D. O. and Willemsen, Balam A.”, title=“Microwave experiments on chaotic billiards”, journal=“Journal of Statistical Physics”, year=“1992”, volume=“68”, number=“1”, pages=“239–258”, issn=“1572-9613”, doi=“10.1007/BF01048844”, url=“http://dx.doi.org/10.1007/BF01048844” }

@article{Fisher, title = “On hearing the shape of a drum”, journal = “Journal of Combinatorial Theory”, volume = “1”, number = “1”, pages = “105 - 125”, year = “1966”, note = ””, issn = “0021-9800”, doi = “http://dx.doi.org/10.1016/S0021-9800(66)80008-X”, url = “http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S002198006680008X”, author = “Michael E. Fisher”, }

@article{Dokmanić, author = {Dokmanić, Ivan and Parhizkar, Reza and Walther, Andreas and Lu, Yue M. and Vetterli, Martin}, title = {Acoustic echoes reveal room shape}, volume = {110}, number = {30}, pages = {12186-12191}, year = {2013}, doi = {10.1073/pnas.1221464110}, URL = {http://www.pnas.org/content/110/30/12186.abstract}, eprint = {http://www.pnas.org/content/110/30/12186.full.pdf}, journal = {Proceedings of the National Academy of Sciences} }

@phdthesis{TheseEven, title = the_role_played_by_the_contour_shape, author = {Even, Catherine}, url = {https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006615}, note = {Membres du jury : Eric Akkermans, Peter Buser, Yves Couder, Patrick Oswald, Pawel Pieranski et Bernard Sapoval}, school = universit_e_paris_sud_-_paris_xi, year = {1999}, month = Jun, keywords = {liquid crystals ; smectic films ; drum ; vibrating membrane ; eigenmodes ; isospectrality ; fractal ; cristaux liquides ; films smectiques ; tambour ; membrane vibrante ; vibrations ; modes propres ; isospectralit{\'e} ; fractale}, type = {Theses}, pdf = {https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006615/file/tel-00006615.pdf}, HAL_ID = {tel-00006615}, HAL_VERSION = {v1}, }

@Article{Gordon, author = www.jstor.org_stable_1971195_author_toshikazu_sunada_journal_annals_of_mathematics_number_1_pages_169-186_publisher_annals_of_mathematics_title_riemannian_coverings_and_isospectral_manifolds_volume_121_year_1985_online_numer_author_cleve_moler_title_can_one_hear_the_shape_of_a_drum, year= {2012}, url = {http://blogs.mathworks.com/cleve/2012/08/06/can-one-hear-the-shape-of-a-drum-part-1-eigenvalues/}, urldate = {2012-08-06}, }

@article{Weyl, author={Hermann Weyl}, title={Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte}, journal={Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen}, year={1911}, page={110-117}, }

@article{Ivrii, author ={V. Ja. Ivrii}, title={ The second term of the spectral asymptotics for a Laplace-Beltrami operator on manifolds with boundary.}, Journal ={ Funktsional. Anal. i Prilozhen. 14:2 }, year ={1980}, page ={ 25-34}, }