* On assimile le ballon à une sphère de rayon R On néglige tout phénomène de dissipation *

* Équation de propagation d'une onde dite équation de D’Alembert: \begin{equation} \Box p=0 \end{equation} p: surpression induite par l'onde dans le milieux \begin{equation} \Box = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta \end{equation} On a $\Delta$ , le laplacien en coordonnées sphériques dans notre cas. Ce Laplacien s'écrit: \begin{equation} \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} \end{equation} On applique l'opérateur $\Box$ à p: \begin{equation} \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial p}{\partial r}) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \frac{\partial p}{\partial \theta}) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 p}{\partial \phi^2}= 0 \end{equation} La solution de l'équation est de la forme: \begin{equation} p(r,\theta,\phi,t) = p_{0}J_{l}(kr)P^{l}_{m}(cos(\theta)sin(m\phi))e^{iwt} \end{equation} l et m sont des entiers relatifs J: fonction de Bessel P: polynôme de Legendre Le terme en exponentielle est un terme de phase globale, pour nos résultats on s'intéresse uniquement au module de p. On cherche les configurations pour lesquelles p=0 c'est à dire un ventre de pression. On s'intéresse à l'ordre le plus simple. On a donc l=m=0. Le polynôme de Legendre est égal à 1 et la fonction de Bessel à l'ordre 0 est égale à: Sinc(kr) avec Sinc la fonction sinus cardinal et k le nombre d'onde k=$\frac{w}{v}$. De plus, en utilisant les conditions au bord de la sphére tel que la surpression est nulle (p=0), on peut déduire le résultat suivant On cherche donc: \begin{equation} Sinc(\frac{wR}{v})=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{wR}{v}=\pi n \end{equation} \begin{equation} w=\frac{v}{R} n \end{equation} Ou encore: \begin{equation} f=\frac{v}{2R} n \end{equation} *

*** On considère comme dans notre cas une sphère de 100 mL ($10^{-4} m^{3}$) et une vitesse v de propagation de l'onde dans l'eau à 18 degré de v=1460 m/s.

\begin{equation} \end{equation}