• *Projet Fablab UE LU3ST062 Pierre Naori et Yousra Manai Encadrement : L. Labrousse et P. Théry ====== Introduction ====== L’instabilité dynamique des forces de friction des failles tectoniques actives, est considérée comme le principal mécanisme qui explique le processus sismique et la récurrence des tremblements de terre depuis les travaux Brace et Byerlee (1966), entre autres. Le “stick-slip” est en effet le mécanisme le plus simple pour décrire la cyclicité sismique associée aux tremblements de terre aux limites des plaques de la lithosphère terrestre. La propriété clé du “stick-slip” est que le mouvement est divisée en deux phases: une phase «statique» intersismique où la faille est “bloquée”, et une phase «dynamique», cosismique (ou instable) où la faille glisse.. Dans notre modèle analogique, un patin fixé à un ressort peut glisser sur une surface mobile, la force de friction agissant sur le patin peut avoir 2 valeurs : τs lorsque le patin est immobile par rapport à la surface inférieure (phase statique, vitesse relative entre le patin et la surface nulle) ou τd lorsque le patin glisse le long de la surface pendant la phase dynamique associée à une diminution du coefficient de friction. Notre étude fait l'analogie avec le cycle sismique: l’instabilité qui survient très soudainement est suivie d’une période statique sur intervalle de temps plus long dans laquelle la contrainte élastique se recharge (qui correspondrait à une phase intersismique), suivie d’une autre instabilité liée au relâchement de cette contrainte, illustré dans notre système par le glissement lors de la phase cosismique. L'étude d'un système simple, avec un seul patin permet de faire le lien entre cyclicité des épisodes de glissement et propriétés de la surface (coefficients de friction dynamique et statique entre autres). Lorsqu'une faille entre en mouvement, elle libère une énergie qui se propage vers les failles auxiliaires. Le second objectif de cette étude était de modéliser une faille qui serait entourée par d'autres failles dont on connait les propriétés frictionnelles de chacune indépendamment. Pour ce faire un modèle à deux patins “en série” reliés par un ressort était envisagé. Les mesures de confinement ne nous ont pas permis d'aller jusqu'à cette étape. Une étude expérimentale et analytique du système simple patin a donc été menée. L'approche double patin a été abordée de façon numérique avec un programme matlab. On fera interagir: les propriétés de frottement, la contrainte normale (donc la masse) et la déformation élastique (raideur du ressort). ====== I Développement théorique et modélisation du problème ====== ===== Système à 1 patin ===== Fig.1 : Schéma du bilan des forces subit par le patin de masse m à la position x(t) La figure 1. A montre le système constitué d'un patin dont on étudiera le comportement stick-slip. Le patin est à la position x(t) au temps t. Il est sujet à la gravité m.g et à la force de rappel -k.x. On note la contrainte normale σ = mg/S, avec S la surface de glissement du patin. Le ressort est attaché parallèlement au support et est connecté à la masse. La base du patin est en contact avec une surface mobile mise en mouvement par un moteur à vitesse u constante. La force de frottement tangentielle à la base du support s'écrit τ = σ.μ et est toujours dans la même direction que le mouvement de la surface. μs, μk sont les coefficients statique et dynamique de frottement, respectivement. L’équation qui représente le mouvement s'écrit: F = m∂t²x = -kx + τS (1) Au cours de la phase “statique”, la vitesse est constante, donc l'accélération est nulle. Elle cesse lorsque la valeur de la force exercée par le ressort atteint la friction statique du patin m.∂t²x = -kx + τS = 0 (2) avec τ = σ.μs Le déplacement maximum du patin est atteint à la fin de la phase statique et sa valeur est x1 = μsmg ⁄ k Dans la partie dynamique / instable du mouvement, on a τ = σnμd . En effet, lors du glissement, m∂t²x = -kx + τS (3) On choisit de résoudre cette équation différentielle avec X = x - μd.(m.g)/k = x + x2. On pose ω = √(k⁄m) donc (3) devient : m∂t²X + kX = 0 (4) La solution s'écrit X = Acos(ωt')+ Bsin(ωt') avec t' = t + t1 = u.t1 + x1 ∂tX = -Aωsin(ωt')+ Bωcos(ωt') x1 = μsm.g ⁄ k et x2 = μdm.g ⁄ k Les conditions initiales sont telles que à t' = 0 et x=x1 =x2 + A et ∂t²x = u = Bω Il vient donc A = x1 -x2 et B = u ⁄ ω (3.5) donne : x = x2 + (x1 - x2)cos(ωt) + (u ⁄ ω)sin(ωt) L = √[(x1 -x2)² +(u⁄ω)²] Soit sin(φ) =(x1-x2) ⁄ L et cos(φ)=u ⁄ ωL x = x2 + Lsin(ωt+φ) et ∂tx = 0 + Lcos(ωt+φ) = u.cos(ωt) - x2.ω.sin(ωt) Dans l’espace des phases c'est-à-dire la vitesse en fonction de x (x, ∂tx), cela s'interprète ainsi : le centre de l’ellipsoïde est au point x2, L est la longueur du petit axe et ωL la longueur du grand axe. Il est également possible de considérer le problème selon une autre référence d'observation pour laquelle le patin se déplace sur un support restant immobile, comme décrit Fig 1. B. On passe d'un cas statique, défini par : kut - τS = 0 , à dynamique tel que m∂t²x = k(ut - x) + τ.S = k(ut-x) + σ.μd car le ressort étant en mouvement avec le patin, il dépend de la position x. On pose X = x - ut = l, la longueur du ressort : ∂t²x = ∂t²X donc m.∂t²X + kX = m.g.μd, qui se résout de la même façon. ===== Système à 2 patins ===== Dans cette situation, les équations différentielles du mouvement sont : m.∂t²x2 = - μd.m2.g + k2(x2 - x1).m m.∂t²x1 = - μd.m1.g + k(x2 - x1).m + k1.x1 Aucune solution analytique simple ne découle de ce système. Il s'agira donc de chercher les solutions de manière numérique. ====== II Protocole expérimental ====== Pour mettre en évidence le Stick-Slip et pour recueillir les données physiques de ce phénomène afin de les traiter numériquement, nous réalisons le montage suivant: Fig.2.1. Mise en place du dispositif Ce dispositif nous permet de faire plusieurs essais en faisant varier les différents paramètres. Les paramètres pouvant varier sont: - Le coefficient de friction (on change de grain de papier de verre) entre le(s) patin(s) et le support - Le nombre et le poids des patins - La vitesse de rotation du moteur bipolaire mettant en mouvement le papier de verre sur le support. Lorsque qu’on active le moteur bipolaire, celui-ci va enrouler le papier de verre autour de son axe de rotation entraînant ainsi les patins en direction du moteur. Les ressorts qui sont fixés sur la potence vont exercer une force de rappel sur les patins, ce qui va engendrer le phénomène. Les ressorts étant aussi reliés aux capteurs de force, nous allons pouvoir obtenir en direct sur l’ordinateur connecté à l’Arduino un graphique affichant la force exercée sur le capteur en fonction du temps. Les capteurs de force piloté sur Arduino n'ont finalement pas pu être exploités dans notre expérience. Document complémentaire pour l'utilisation du moteur et du capteur Arduino :code_arduino_a_televerser_dans_l_arduino_pour_le_moteur_bipolaire.pdf Une première étape consiste à calculer la raideur du ressort k intervenant dans la solution analytique. Le premier cas étudié est dans la configuration du support immobile. On exprime la constante k du newton-mètre utilisé 10N à l'aide de la formule k=mg/(l-l0) déduite de la Fig.2.2 Fig.2.2 Méthode pour calculer la raideur du ressort 10 N. l0=4.2cm; l=8.41 cm. A l'équilibre : mg = k.Δl Résultat: D’après la figure, on mesure k = 116 N/m pour une masse de 500g et k = 113 N/m pour 200g. On prendra k = 114 N/m pour la suite de nos calculs. L'erreur due à cette approximation est inférieure à 1%. Les autres cas seront étudiés dans la situation décrite par la figure 1.A avec un ressort identique mais différent du 10 N. La constante de raideur du ressort n’ayant pas pu être estimée avec la méthode précédente, il a fallu la déterminer de manière graphique mais beaucoup moins précise. En effet, l'équation du mouvement peut se réécrire : a(t) = ∂t²x = -(k/m)x + g.μd. Il nous suffira donc de calculer l’accélération instantanée et de tracer a(x). On obtiendra une fonction affine décroissante de pente -k/m. Ceci nous permettra par la même occasion de déduire (de l'ordonnée à l’origine) une valeur de μd, que l'on retrouvera à nouveau dans l'espace des phases. Fig.2.3: Calcul de v(t) et a(t) sur une feuille de calcul Excel Analyse vidéo: L'outil d'analyse de vidéo Kinovea (destiné à l'analyse de petites séquences vidéo sportives) (https://www.kinovea.org/ kinovea_exemple_utilisation.pdf) nous donne la possibilité de suivre la trajectoire x du patin avec un pas de temps Δt= 33 ms Pour le cas décrit figure 1.B : À chaque instant, on suit le mouvement de l'extrémité du ressort se déplaçant à la vitesse ut et le mouvement de l’autre extrémité du ressort que l’on note x. Le données sont dans un premier temps recueillies sur SciDAVis où nous traçons la droite u(t) pour en déduire la vitesse du moteur. Sur Excel, on soustrait les valeurs x et ut qui nous donne la longueur du ressort, puis nous déterminons la vitesse instantanée comme décrit Fig.2.3 Pour les autres cas, on suit simplement la trajectoire du centre de masse du patin. On doit aussi connaître l'accélération instantanée. Ces nouvelles valeurs sont par la suite transférées sur Matlab afin de tracer les fonctions et procéder à l’analyse de ces courbes qui nous fournissent une valeur numérique approchée de µd et µs pour chacune des expériences. ====== Principaux résultats ====== ===== Cas 1 ===== La surface du support est lisse tandis que celle du patin est dotée de papier de verre dont le grain contrôle les propriétés de friction. On dispose une masse de 800 g dans le patin. Cependant, sa masse à vide n’ayant pas pu être déterminée, on l'estime à 100 ± 50 g. La masse totale est donc m = 900 ± 50 g. C'est la principale source d'incertitude de notre expérience. On négligera les incertitudes des autres grandeurs. Fig.3.1 Ensemble des données (cliquer pour agrandir l'image) La figure expose toutes les données extraites de la vidéo, à savoir: (a) la vitesse du moteur u(t) , (b) les déplacements x(t) et ( c ) X(t) = x(t) - ut (Les graphiques présentés ne sont pas dans le référentiel le plus simple pour leur interprétation. On retranche u.t à toutes les données de déplacement, pour se remettre dans une géométrie à ressort fixe et tapis mobile) , (d) la vitesse v en fonction de X La vitesse du moteur est déduite du coefficient directeur de la droite u(t). Ainsi, u = 0.036 m/s On trouve x1=2.36 cm et x2 = 1.30 cm Avec k = 114 N/m et m = 900 ± 50g: μs = x1.k ⁄ mg 0.323≥μs≥0.289 μd = x2.k ⁄ mg 0.178≥μd≥0.159 ==== Solution analytique ==== Fig.3.2 Superposition de v(x) obtenu expérimentalement avec v(x) théorique dans l’espace des phases. Les 2 fonctions sont ramenées aux conditions initiales (t=0,x=0) La courbe représentée en pointillés noirs sur la Fig.3.2 est la solution analytique ajustée à partir des paramètres: x2 = 1.30 , u = 3.6 cm.s-1 et ω = 9.2 rad.s-1. (on rapelle que : x = x2 + x2cos(ωt) + (u ⁄ ω)sin(ωt) ∂x/∂t = u.cos(ωt) - x2.ω.sin(ωt) Dans les CI choisies, A = x2 = 1.30 et B = u⁄ω = 0.39 cm/rad. Le système d’équation correspondant et déduit de la solution analytique est donc: x = 1.30 + 1.30cos(9.2t) + 0.39sin(9.2t) dx/dt = 3.6cos(9.2t) - 12sin(9.2t) La valeur de ω précédemment considérée (ω ≈ √(114/900) ≈ 11.25) a nettement été surestimée, notamment en raison d'une estimation inexacte de la masse du patin. On aurait donc: µs = 0.113 et µd = 0.204 Fig.3.2.5 Superposition de v(x) obtenu expérimentalement avec v(x) théorique sans correction sur ω ===== Cas 2 ===== On utilise à présent une surface avec un papier de verre aux grains fins à moyens sans changer le patin. On diminue la masse en y disposant un objet de 350 g. Par la suite, nous ne considérons que le rapport k/m car ces deux données nous sont inconnues et n'ont pas pu être mesurées rigoureusement. Fig.3.3 Ensemble des données La Fig.3.3a nous indique qu'en moyenne, u = 7.6 cm.s-1. Par ailleurs, on choisit le point initiale en vert sur les figure 3.3 a et b (x=0, v=0) de manière a ce que le patin revienne à cette position initiale dès la fin d'un cycle. Selon la Fig.3.3b: x1 = 2.30 cm et x2 = 1.28 cm Enfin a(x), l'accélération en fonction du déplacement de la Fig.3.3c, est une droite de pente k/m ∼ 106 rad/s² On en déduit : μd = 0.138 et μs = 0.249 L'ordonné à l'origine de la droite a(x) est μdg ≈ 135 donc on retrouve bien μd ≈ 0.138 ==== Solution analytique ==== Fig.3.4 Superposition de v(x) obtenu expérimentalement avec v(x) théorique Paramètres associées au système étudié intervenant dans le système d'équation : ω = 10.3 rad/s ; x2 = 1.28 cm et u = 7.6 cm/s x = 1.28 + 1.28cos(10.3t)+ 0.74sin(10.3t) dx/dt = 7.6cos(10.3t) - 13.2sin(10.3t) On voit que l' ellipse tracé à partir de ce système coïncide assez bien avec la courbe expérimentale. ===== Cas 3 ===== On tapisse la surface et également le patin d'un papier de verre de grains fins. La masse totale du patin, bien qu'inconnue, reste identique. La valeur moyenne de la vitesse de déplacement de la surface est u = 8.15 cm.s-1 Fig.3.5. Ensemble des données En corrigeant les données comme décrit sur le graphe v(x), les positions sont x1 = 1.95 cm et x2= 1.04 cm. Après la figure a(x), on trouve k/m = 188.4 rad/s² On en conclut : μs = 0.374 et μd = 0.20. Finalement, on lit bien sur la fig. pour a(0)=201: μd = 201/g = 0.2. ==== Solution analytique ==== Fig.3.6 Superposition de v(x) obtenu expérimentalement avec v(x) théorique dans l’espace des phases. x = 1.04 + 1.04*cos(13.73t)+ 0.594*sin(13.73t) dx/dt = 8.15*cos(13.73t) - 14.28*sin(13.73t) On parvient à reproduire assez fidèlement la courbe expérimentale. ===== Cas 4 ===== Le dessous du patin est dépourvu de papier de verre et il repose sur un papier de verre aux grains très fin. La masse placée à l’intérieur vaut 500 g. On voit sur la figure 3.7a que les oscillations augmentent en amplitude, ce qui se traduit par une spirale centrifuge dans l'espace des phases. Ceci signifie que les propriétés de l'interface évoluent au cours de l'expérience. On pourrait tenter de fitter cette tendance avec une méthode numérique avec µd et µs dépendant du temps, ou du glissement cumulé. Nous nous contentons d'essayer de trouver les valeurs représentatives des derniers cycles, qui semblent ne plus varier en amplitude. En s’appuyant sur la figure : u ≈ 12 cm.s-1 ; x1 = 3.45 cm et x2 = 1.85cm(voir Fig3.7d) enfin, k/m = 110 rad/s² On trouve donc: μs = 0.387 et μd = 0.207. Selon la Fig.3.7c : μd = 207/g = 0.211 Fig.3.7 Ensemble des données ==== Solution analytique ==== Fig.3.8 Superposition de v(x) obtenu expérimentalement avec v(x) théorique dans l’espace des phases. x = 1.85 + 1.85cos(10.5t) + 1.14sin(10.5t) dx/dt = 12cos(10.5t) - 19.4sin(10.5t) ===== Cas 5 ===== Seule la masse à l’intérieur du patin est modifiée: on l'a remplacée par une masse de 830 g. Là aussi, les oscillations augmentent en amplitude au cours de l'expérience. Pour les derniers épisodes de glissement, on trouve : u = 11.5 cm.s-1, x1 = 3.55 cm et x2 = 1.9 cm k/m = 72 rad/s² μs = 0.261 et μd = 0.139 On a également : μd = 138/9.81 = 0.141**

Fig.3.9 Ensemble des données

Fig.3.10 Superposition de v(x) obtenu expérimentalement avec v(x) théorique dans l’espace des phases.

x = 1.9 + 1.9*cos(8.5t) + 1.36*sin(8.5t)

dx/dt = 11.5*cos(8.5t)) - 16.15*sin(8.5t)

Fig 4.1 Tableau récapitulatif

En comparant les cas 4 et 5, on peut déduire que pour un état de surface identique, une vitesse de moteur semblable et un même ressort, une diminution de la masse engendre une diminution de μs et μd

cas 5 : μ = μs/μd = 1.88 et cas 4: μ = μs / μd = 1.87

Si l'on compare les cas 3 et 2 : pour une même masse, une vitesse u similaire et un même ressort (le rapport k/m du cas 3 est sûrement surestimé) alors une surface plus rugueuse amène à une diminution de μs et μd.

cas 2 : μ = 1.80 et cas 3 : μ = 1.87

Bien que nous sommes parvenus à déterminer les coefficient μs et μd résultants de nos expériences, il est difficile d'en déduire ce qui influe réellement leur valeur. La solution analytique nous indique l'importance de 4 principaux paramètres : la vitesse du moteur, la rigidité du ressort, la masse du patin et la nature de la surface de contact. Il aurait donc fallu prendre en considération de manière rigoureuse ces paramètres indépendants et les faire varier de manière indépendante pour évaluer leur influence sur les propriétés frictionnelles. Pour que l'étude soit plus représentative du phénomène de stick-slip visible au niveau des failles actives qui génèrent des séismes, il est utile de se demander si nos paramètres sont comparables avec ceux estimés pour les roches. Le coefficient “statique” d'une roche saine est de l'ordre de 0.6. Le coefficient de friction de la loi de Byerlee, qui rend compte du comportement des roches endommagées est de 0.65. Nos valeurs de friction sont ici beaucoup plus faibles. Ceci étant, les valeurs de coefficient de friction de certains phyllosilicates sont très faibles dans la nature, et leur rôle dans le comportement des failles sismogéniques est discuté (comme dans les études sur le forage profond de la faille de San Andreas).

L'objectif était également d'analyser un système mettant en jeu le mouvement de deux patins. On peut rechercher solution analogique l'aide d'un programme Matlab. Le fichier ci-dessous décrit le programme et la démarche à suivre pour 1 patin.

prog_matlab_stickslip.pdf

Lors de la réalisation de ce projet, nous avons eu quelques difficultés notamment pour la mise en marche du moteur bipolaire. En effet, ce montage nécessite une pièce essentielle (Pont H lp298) qui n'était pas disponible au FabLab. De plus, ce montage nécessite une tension de 12 volts cependant, nous n’avions qu’une alimentation de 9 volts disponible aux premières séances. Nous avons dû improviser avec un moteur MECCANO le temps de se procurer ces pièces. Trouver la surface de contact pour obtenir le phénomène Stick&Slip était une tâche considérable. Nous avons donc testé notre dispositif sur plus d’une quinzaine de matériaux différent jusqu’à obtenir le phénomène permettant ainsi son étude. Ainsi, le phénomène était beaucoup à même d'être obtenu dans la cas ou nous avions un support en bois combiné avec du papier de verre collé sous le patin. Cette combinaison n'étant faisable que pour une visualisation très courte du phénomène (entre 2 ou 3 oscillation avant que le patin ait parcouru la totalité de la surface), il était nécessaire de trouver une autre combinaison afin de réaliser le dispositif final. Pour cela, nous avons inversé la combinaison des surfaces de contact en utilisant le papier de verre comme support. Ce dispositif est relativement plus efficace car elle nous permet de visualiser le phénomène avec un laps de temps beaucoup plus long (jusqu'à que le papier de verre se soit entièrement déroulé) ce qui facilite ainsi son étude.

• The Mechanics of Earthquakes and Faulting, De Christopher H. Scholz - page 81 - 83 https://books.google.fr/books?id=JL1VM5wMbrQC&pg=PA82&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
• http://www.chimix.com/an8/concours8/corbeil81.htm
• Stick Slip, Stable Sliding, and Earthquakes - Effect of Rock Type, Pressure, Strain Rate, and Stiffness, JAMES D. BYERLEE,W.F. BRACE