Etudiants:
Léo Lajoie: leo.lajoie@etu.upmc.fr
Cyprien Chapelle: cyprien.chapelle@etu.upmc.fr
Ahmed Yousfi: ahmed.yousfi@etu.upmc.fr
Kristyna Manouskova: kristyna.manouskova@etu.upmc.fr
Nicolas Fernandez: nicolas.fernandez@etu.upmc.fr
Elyes Chalali: elyeschalali1998@gmail.com

Enseignant référent:
Louis Brézin: louis.brezin@gmail.com

Le but de ce projet et d'étudier la théorie du chaos a travers la convection naturelle d'un liquide .
Nous allons donc nous concentrer sur le passage du liquide d'un état stationnaire de la convection de Rayleigh-Benard qui va évoluer vers un état chaotique.

23/01/19:

• Première réunion du groupe: choix du sujet et de l'expérience. Nous avons choisi de parler du chaos et de mettre en place une expérience de convection pour l'étudier.
• Recherche bibliographique et internet sur le chaos, la convection et les systèmes de Lorentz.
• Planification des prochaines séances.

30/01/19:

• Approfondissement de la recherche théorique.

06/02/19:

• Création du wiki.
• Création du diagramme de Gantt.
• Prise de rendez-vous avec l'enseignant référent.

13/02/19:

• Rendez vous avec le professeur référant
• Construction du wiki sur la plateforme FABLABSU.
• Réflexion sur l’expérience .

20/02/19:

• Premières expériences de convections.
• Réflexions sur l'amélioration des expériences.
• Recherche d'un meilleur indicateur.

27/02/19:

• Amélioration des premières expériences.
• Recherche de la meilleure méthode pour améliorer les expériences .

06/03/19:

• Utilisation d'une camera thermique.
• Utilisation du silicone a la place de l'huile et de l'eau.
• Début de la rédaction de la partie théorique.

13/03/19:

• Amélioration du protocole avec l'utilisation de la camera thermique.
• Reproduction des expériences du 06/03/19 pour obtenir une meilleur acquisition photo et vidéo.
• Continuité de la rédaction de la partie théorique .

20/03/19:

• Reproduction et amélioration du protocole expérimental.
• Continuité de la rédaction de la partie théorique.

27/03/19:

• Tentative d'amélioration du protocole expérimental.
• Essai de détermination des variables et observables finales.

03/04/19:

• Détermination du protocole expérimental final.

10/04/19:

• Réalisation des expériences.
• Prise de vidéos de toutes nos expériences.
• Première analyse des données.
• Familiarisation avec LateX

17/04/19:

• Analyse des données.
• Ajout de mesures sur les points limites.
• Début de la rédaction de l'article.

24/04/19:

• Suite de la rédaction de l'article.
• Fin de l'analyse des données

01/05/19:

• Rédaction de l'article
• Début de création du PowerPoint

08/05/19:

• Suite de la création du PowerPoint
• Début de préparation pour l'oral
• Fin de la rédaction de l'article

Diagramme de Gantt initial :

Diagramme de Gantt final :

La convection est un phénomène physique désignant les transport d'énergie (notamment la chaleur) par le déplacement de particules dans un fluide. On distingue 2 types de convection : la convection forcée, créé par des forces extérieures comme le vent, et la convection naturelle, dû à un changement de masse volumique de certaines particules dans le fluide. C'est cette dernière qui nous intéressera dans ce projet.
On se met dans la configuration de l'expérience de Rayleigh-Bénard, c'est à dire que la convection se produit par échauffement de la couche inférieure du fluide, qui va donc remonter car sa masse volumique sera plus faible que les couches supérieures.

La convection est caractérisée par un ou des nombres adimensionnés, comme celui de Rayleigh qui se calcule avec la formule : Ra = (ΔT.α.g.h³)/(k.υ) , ou encore le nombre de Prandtl : Pr = υ/k avec :
- 'α' la dilatation thermique du fluide. - 'g' l'accélération de la pesanteur. - 'ΔT' la différence de température entre la source chaude et froide.
- 'h' la hauteur caractéristique du système (ici de la couche de fluide). - 'k' la diffusivité thermique du fluide. - 'υ' la viscosité cinématique.
Le nombre de Prandtl sert à déterminer le niveau d'influence de la vitesse du fluide sur sa température : ainsi, plus le nombre sera élevée et plus le profil de température à l'intérieur du fluide sera impacté par sa vitesse.
Le nombre de Rayleigh permet de déterminer dans quel type de transport d'énergie le fluide se trouve : en dessous de 1700, nombre de Rayleigh critique, la chaleur se transmet par conduction, ce que l'on peut définir comme un état stationnaire : les molécules ne se déplacent pas. Au dessus du Rayleigh critique, la convection commence de façon laminaire (périodique) : ainsi, les molécules se déplacent dans le fluide selon des trajets définies délimitant ce que l'on appelle des cellules de convection. Ces cellules possèdent une fréquence prédéfinie. En augmentant encore la valeur du nombre de Rayleigh, la convection change de comportement : des harmoniques se créent, ce qui a pour effet d'augmenter la période du cycle. C'est ce que l'on nomme la transition vers le chaos. En effet, à ce moment, les cellules commencent à ne plus être stables, les harmoniques crées “brouillant” les cellules formé initialement. Enfin, pour un forçage critique avec un nombre de Rayleigh d'environ 10⁶, la période devient infinie : les cellules disparaissent complètement et les molécules se ne déplacent plus suivant des chemins prédéfinis. On observe donc un comportement turbulent (chaotique).

Les 2 comportements ne se définissent pas avec les mêmes systèmes mathématiques :
Pour le périodique, on utilise les équations de Navier-Stokes, tout en négligeant les forces de compression par l'approximation de Boussinesq. Cela nous permet de trouver un système d'équations qui régit la convection laminaire (les termes en gras désignent des vecteurs) :

• *∇v = 0 (équation de continuité).
  ρ(∂v/∂t + v·∇v) = −∇p + ρ.g(1−α.ΔT)ez + µ∇²v (équation de quantité de mouvement).
  ρ.cp((∂/∂t) + v·∇)T = k∇²T (équation de l'énergie)
  avec :
  - v le vecteur position - ρ la masse volumique du fluide - p le vecteur quantité de mouvement (dû a la force d'Archimède) - cp la capacité thermique à pression constante - ez**, le vecteur unitaire dirigeant g

Malheureusement, quand on arrive en régime turbulent, on observe que des équations ne permettent plus de décrire ce phénomène. On peut malgré tout essayer de décrire le phénomène qualitativement grâce à la fonction de densité de probabilité de la température f(T,x,t). Ainsi, on peut voir la probabilité qu'une température donnée soit en un point de l'espace donné, à un temps donné. Cela permet d'avoir des simulations numériques qui permettent de décrire ce phénomène.

Matériel:

• Plaque chauffante.
• Thermomètre.
• Cristallisoir de diamètre 22 centimètres et de hauteur 10 centimètres.
• Encre.
• Craie.

Objectif:
Nous cherchons à observer les mouvements des particules d'eau lorsque ces dernières sont soumises à un gradient de température. Nous allons donc constater la présence ou non de :

• Etats stationnaires/périodique avec la présence de cellules de Bénard.
• Etats Chaotiques .

Nous allons regarder qualitativement l'état de l'eau dans le cristallisoir en modifiant:

• Le gradient de température induit par la plaque.
• La hauteur d'eau dans le cristallisoir.
• La méthode d'observation des flux.

Dans un premier temps nous regardons la température maximale de la plaque chauffante pour ne pas dépasser la température maximale de pyrex(300°C).
Nous observons que la plaque une fois stable atteint 260°C.
Nous avons pris pour observer l'eau:
Dans un premier temps de l'encre.
Puis après de la craie.
Observations:
Avec l'encre nous observons bien la présence de courants ascendants et de courants descendants .
Les courants ascendant sont sur les bords et descendants au centre.
Nous pouvons observer que sur une courte période précédente à l'homogénéisation de l'encre avec l'eau.
Avec la craie nous observons la même chose sur une durée plus longue mais avec moins clairement.
Conclusion de l’expérience:
Recherche de moyens pour améliorer l’expérience:

• Recherche d'un solide ou liquide permettant de visualiser les courants.
• Changement de la taille du cristallisoir pour mieux visualiser les rouleaux.
• Changement du liquide (actuellement l'eau) au profit de l'huile par exemple.
• Regard avec une caméra thermique.

Matériel:

• Même matériel que pour la première semaine
• Deuxième cristallisoir plus petit 8 centimètres et de hauteur 4.5 centimètres.
• Huile
• Cacao
• Sirop

Objectif:
Nous cherchons à améliorer l’expérience de la première semaine dans le but d'avoir une meilleure observation des flux du liquide.
Pour effectuer cela nous allons comme dans la première semaine principalement faire varier:

• La méthode d'observation (craie, sirop, poivre…).
• Le liquide utilisé pour la convection (eau ou huile).
• Le volume (diamètre et hauteur) du cristallisoir utilisé.

Nous avons pris pour observer l'eau:

• Du sirop.
• Du cacao.
• Du poivre.

Nous avons pris pour observer l'huile:

• De la craie.

Observations:

• Dans le cas de l'eau comme milieu avec le grand cristallisoir:
  

Avec le sirop nous ne pouvons rien observer le sirop ne se dilue pas mais reste au fond du cristallisoir avec effectuant des petits mouvements du haut vers le bas .
Avec le cacao nous observons des mouvements du cacao a la surface du cristallisoir .Ces mouvements forment 2 demi-cercles séparés par une droite passant par le centre du cristallisoir.
Avec le poivre nous observons la même chose que pour le cacao mais le poivre est moins visible

• Dans le cas de l'huile comme milieu avec le petit cristallisoir:
  

Pour le dépôt de craie au fond de l'huile nous observons bien les mouvements convectifs mais, après un cycle, il a homogénéisation de la craie avec l'huile. Nous pensons essayer avec moins de craie que pour la première fois .
Avec moins de craie l'observation est plus net mais il y a toujours le problème homogénéisation du milieu.

• Dans le cas de l'eau comme milieu avec le petit cristallisoir:
  

Pour les 3 méthodes d'observations(sirop, cacao, poivre) nous observons des courants semblables à ceux de l’expérience avec le grand cristallisoir.
Conclusion de l’expérience:
Nous pouvons déduire de nos observation que la meilleure méthode d'observation est: Si nous voulons observer le courant dans le liquide sur un seul cycle La craie dans l'huile parait être le meilleur moyen.
Si nous voulons observer des courants a la surface sur plusieurs cycles le poivre ou le cacao dans l'eau semblent être les meilleurs méthodes. Nous avons pas encore essayé de visualiser avec une camera thermique.

Matériel:

• Même matériel que pour la deuxième semaine.
• Cristallisoir diamètre 76.3mm et hauteur.
• Cristallisoir.
• Silicone.

Objectif:
Nous cherchons à visualiser dans le silicone des cellules de Benard avec la camera thermique.
Pour effectuer cela nous allons, comme dans la première semaine, principalement faire varier:

• La hauteur de liquide.
• Le cristallisoir utilisé.

Observations:

• Dans le cas du silicone comme milieu avec le cristallisoir de diamètre 76.3mm:

Nous observons la présence de cellules de Benard a l’œil nu. De plus, lorsque nous utilisons la camera thermique, ces cellules sont encore plus visibles.

• Dans le cas de l'eau comme milieu avec le cristallisoir de diamètre 76.3mm:

Comparé au silicone, nous observons de manière moins visible les cellules de Benard qu'à travers la caméra thermique .

Conclusion de l’expérience:

Nous avons conclus que le silicone est le meilleur liquide pour observer les cellules de Benard par rapport à l'huile et à l'eau.
La caméra thermique est un moyen simple et efficace pour l'observation des cellules de Benard.
Nous pouvons obtenir des images nettes avec ce moyen mais les vidéos ont une résolution assez faible.
Il y a aussi un problème de contraste des couleurs car la température maximale mesurée par la caméra est la plaque chauffante, dont la température est supérieure à celle du liquide .
Pour résoudre ce problème nous avons penser à obstruer la ligne de vue de la caméra sur la plaque chauffante .

Matériel:

• Même matériel que pour la troisième semaine.
• Polystyrène pour diminuer le contraste.
• Potence avec pince et noix pour stabiliser la camera thermique.

Objectif:
Nous cherchons à améliorer l’expérience de la troisième semaine dans le but d'avoir une meilleure observation des cellules de Benard .
Pour cela nous ajoutons sur les cotés du cristallisoir du polystyrène pour obstruer la vue de la caméra et ainsi avoir comme valeur maximale la température équivalente à un point à l’intérieur du liquide et non plus à un point à la surface de la plaque chauffante.

Ajout d'une plaque de polystyrène autour en hauteur du cristallisoir.

Observations:
Nous observons une diminution de contraste car la température mesuré est moins élevée a l’extérieur du cristallisoir .
Nous avons des images et des vidéos de meilleure qualité.

Conclusion de l’expérience:
L'utilisation d'un cache augmente le visibilité par le suite nous l'utiliserons toujours pour prendre des valeurs.

Matériel:

• Même matériel que pour la quatrième semaine.
• Ajout de poile pour homogénéiser la température.

Objectif:
On cherche à encore améliorer le protocole pour une observation optimale des cellules de Bénard.

Nous effectuons les mêmes expériences que la semaine passé .

Observations:
Difficulté d'atteindre le chaos avec l'huile de silicone Chaos immédiat avec l'eau .

Conclusion de l’expérience:
Nous avons revu nos objectifs :

• Trouver un moyen de fixer la température.
• Trouver un observable.
• Acheter de l'huile.
• Déterminer si le diamètre pour une hauteur donnée fixe le nombre de cellule ou la taille des cellules.

Observables possibles:

• La vitesse (impossible de la mesurer directement ).
• Temps de montée des premières particules fluides chaudes.
• Taille/Nombre de cellules.
• Temps de mise en place/apparition des Cellules.
• Temps d’invariance (0=chaos,infini=stationnaire).
• Gradient de température chaud-froid.

Variables:

• Hauteur de liquide.
• Diamètre.
• Température de la plaque chauffante (impossible de modifier la température avec le matériel disponible).
• Température initiale.
• Type de fluide utilisé (Nous n'avons pas une grande diversité de fluide disponible).

Les expériences de cette semaine ont été peu concluantes.
Nous avons voulu passer à des béchers pour avoir une plus grande liberté pour la variation de la hauteur.
Cependant le fond des béchers n'étant pas plat,de ce fait les cellules n'étaient ni régulières, ni périodiques.
Nous avons décidé de passer à des récipients en métal. Pour que l'effet de bord n'intervienne pas dans nos mesures, nous allons filmer seulement le centre sans les bords.
Malgré tout, nous avons pu prendre 2 vidéos de l'huile de silicone avec la caméra thermique : avec une hauteur de 5mm et de 9mm.
On observe la formation de cellules de convection au cours du chauffage, sans grande perturbation.
Or, avec 9mm de hauteur de fluide, on voit que les cellules ne sont pas stables : certaines disparaissent au cours du temps. Nous pensons que cette hauteur nous permet d'être dans un début de transition vers le chaos.

N'ayant pas suffisamment de liquide (huile de silicone) pour faire varier significativement la hauteur, et donc le nombre de Rayleigh, nous attendrons la semaine prochaine pour réaliser nos expériences finales, car nous aurons suffisamment de liquide pour vraiment effectuer des mesures, et ainsi pouvoir tracer moult graphes.

Objectifs: On réalise une expérience de convection avec de l'huile de silicone( polydiméthylsiloxane ) dans un récipient en métal. On observe la température à la surface grâce a une caméra thermique ( Fluke ). Les différences de température sont bien visibles. On observe donc les courants ascendants et descendants et dans certains cas ( que nous étudions ici ) des cellules de convection se forment dû à la répartition de ces derniers. Comme il ne nous est pas possible d’accéder au champ de vitesse, nous centrons notre étude sur ces cellules qui sont pour nous un bon indicateur de la présence ou non du chaos. On veut obtenir la courbe de la taille des cellules en fonction du nombre de Rayleigh. On fera varier ce nombre en modifiant la hauteur mais aussi la différence de température. A titre comparatif on recommencera l’expérience avec de l'huile végétale et de l'eau.

Variables:

• la hauteur du liquide h
• la différence de température ΔT
• éléments de comparaison avec d'autre liquides

Observables:

• quantitatif: la taille des cellules
• qualitatif: la régularité spatiale des cellules
• qualitatif: la stabilité temporelle des cellules
• quantitatif: la vitesse des courants (approximé par le temps d'apparition des cellules)

Matérielles

• un chauffe eau
• un thermomètre
• une caméra thermique
• une casserole de rayon R
• une potence
• une règle
• une éprouvette graduée

Démarche:

1. on allume le chauffe eau
2. on utilise l'éprouvette pour connaitre exactement la hauteur du liquide dans le récipient
3. on mesure la température initiale du liquide (température ambiante)
4. on place le récipient bien au centre du chauffe eau
5. on a préalablement déterminé l'angle de la caméra pour avoir une échelle rigoureuse de ce qu'on film
6. on prend une vidéo du centre du récipient
7. on enlève le récipient du chauffe eau
8. on mélange le liquide pour homogénéiser la température
9. on recommence avec une nouvelle température initiale sans avoir changé la hauteur du liquide
10. on recommence en augmentant la hauteur du liquide depuis la température ambiante

Une partie des vidéo de l'expérience : https://www.youtube.com/playlist?list=PLzRbrfiLuYIOucniniQwcxI_ErXCphSXc

On a préféré prendre de l'huile de silicone par rapport à d'autre fluides comme l'eau car on réussi à obtenir les 3 stades de la convection que l'on voulait observer.
En effet, avec l'eau, le comportement est toujours chaotique (dès 3 mm), ce que l'on attendait avec la théorie.
Avec l'huile de silicone, on a réussi à prendre de nombreuses vidéos de nos expériences, où l'on fait varier la hauteur de liquide à chaque expérience. Connaissant l'aire de la base de notre casserole, on peut faire varier la hauteur de liquide avec précision. On rajoute 1mm de hauteur de liquide à chaque nouvelle tentative. Ainsi, on observe que, sous 6mm, des cellules de convection sont présentes et stables : le régime est périodique et est caractérisé par un nombre de Rayleigh faible.
Dès 7mm, les cellules ne sont plus très stables mais sont encore clairement visibles : certaines disparaissent ou fusionnent avec des cellules avoisinantes. On commence à transiter vers un régime chaotique.
A partir de 11mm, les cellules ne sont plus distinctes : on observe des panaches provenant du fond de la casserole, sans réel motif : on a atteint un régime chaotique.

Cela peut aussi se voir avec la théorie : en effet, on a les caractéristiques de notre huile de silicone, ce qui nous permet de calculer son Rayleigh. On sait qu'à partir de 1800, la convection apparait et est périodique. Des mouvements imprévisibles commencent à apparaitre pour des Rayleigh d'environ 105, alors que le chaos est total pour des Rayleigh de l'ordre de 10⁶.

Pour notre huile, on a :
Une viscosité cinématique de l'ordre de 5 * 10^(-6) m².s¯¹
Une diffusivité thermique de 3,5 * 10^(-7) m².s¯¹
Une dilatation thermique de 1,33 * 10^(-3) K¯¹
On utilise un gradient de température de 100K et un g=9,81 m.s¯² ce qui nous donne :
Pour 4 mm : Ra=47.667 , Pour 8 mm : Ra=381.338 , et pour 12 mm : Ra=1.287.014

On voit bien que nos résultats en ce qui concerne la stabilité concordent avec la théorie (nombre de Rayleigh attendue).
On a aussi utilisé de l'huile de tournesol pour pouvoir comparer avec nos résultats précédents, même si on n'a pas observé de comportement entièrement chaotique.
Pour l'huile de tournesol, on a les caractéristiques suivantes :

Une viscosité cinématique de l'ordre de 2,7 * 10^(-5) m².s¯¹
Une diffusivité thermique de 8,25 * 10^(-6) m².s¯¹
Une dilatation thermique de 6,75 * 10^(-3) K¯¹

Cela est cohérent avec le fait que la convection commence vers 4mm (Rayleigh d'environ 1900) et que l'on n'atteigne jamais le chaos (à 20mm, Ra=237.575, soit < 10⁶)

Nous avions besoin d’une méthode pour traiter toutes les vidéos de la même manière. De plus nous avions une vidéo de 3 à 5 minutes pour chaque hauteur et chaque liquide. On avait donc beaucoup de données à traiter et un traitement image par image aurait pris trop de temps. Pour pallier à cela nous avons utilisé le logiciel ImageJ qui permet d’effectuer un traitement sur toutes les images d’une vidéo. Nous avons sélectionné seulement une petite partie de l’image mais la même sur toutes et nous les avons mis côte à côte. Le rendu final donne une sur une seule image, appelé reslice, l’évolution temporelle de la zone sélectionnée. Cette méthode nous permis de comparer plus facilement nos vidéos entre les différentes hauteurs de liquide mais aussi de suivre le déplacement des cellules se trouvant dans la zone. Notre idée étant d’observer comment se comporte la vitesse de déplacement des cellules lorsqu’on augmente le nombre de Rayleigh. On part d’un état quasi stationnaire à bas Rayleigh où le reslice est quasiment identique de la première image à la dernière. Jusqu’à des Rayleigh élevé donc très chaotique ou l’évolution temporelle ne sera pas du tout constante et prévisible. On prévoit donc entre les deux une augmentation de la vitesse de déplacement. Les reslices nous permettent donc de commenter l’évolution temporelle de notre système mais aussi d’obtenir la vitesse de déplacement des cellules. En effet malgré que les dimensions de l’image soient en pixel on sait que sur l’axe temporel pixel vaut une image. Et on connaît aussi la vitesse d’acquisition de la caméra on peut donc obtenir l’évolution temporelle en seconde. Pour les distances nous avons pris une photo échelle d’une règle. Grâce à celles-ci nous avons pu retrouver les dimensions réelles de notre système. Enfin pour obtenir la vitesse il n’y a plus qu’à calculer les coefficients directeurs des droites décrites par un point particulier de la cellule. Pour l’huile de silicone nous avons utilisé le bord de la cellule qui est plus sombre alors que pour l’huile de tournesol nous avons utilisé le centre de la cellule plus brillant car la séparation entre les cellules était moins nette. Limites et critiques:

Cette mesure de la vitesse est loin d’être parfaite. Premièrement elle demande des cellules bien définies donc lorsque le système est trop chaotique ou que le liquide ne permet pas d’obtenir des cellules, il est impossible d’obtenir des résultats. C’est pour cela qu’on n’a pas pu obtenir de valeurs de vitesse pour l’eau.  De plus les vitesses obtenues ne sont qu’une projection sur un axe et pas les vitesses réelles. Et ces vitesses ne sont valables que pour des déplacements linéaires. Pour compenser cette imprécision nous avons pris seulement la vitesse la plus élevée dans chaque reslice.

Pour comprendre ces courbes, on va utiliser le nombre de Prandtl : en effet, pour l'huile de silicone, son nombre est élevé (14,3), ce qui implique que la convection est forte. Le Rayleigh impacte fortement la vitesse des particules fluides : plus il est élevé et plus la vitesse sera importante. A l'inverse, pour l'huile de tournesol, le Prandtl est faible (0,32) : la corrélation entre vitesse des particules et Rayleigh est bien plus faible. Ainsi, les valeurs sur le graphique ne sont pas aberrantes : le profil de vitesse n'affecte pas fortement le profil de température, donc le Rayleigh. Cela explique donc que nos valeurs, qui ont pu être affectées par de nombreux autres facteurs, plus impactant à l'échelle microscopique que le Rayleigh, ne concordent pas avec la théorie, que l'on observe pourtant avec l'huile de silicone.

Analyse des données :

On vas commencer par décrire qualitativement l’évolution temporelle et spatial via les reslices. 

Comme attendu pour des h petits pour les huiles les systèmes sont assez stables dans le temps. Reslice totale de l’huile de silicone 2 mm :

Reslice partiel de l’huile de tournesol 4 mm :

Les cellules ne bouge quasiment pas dans le temps ce qui se traduit par de lignes très droites.

Si on va a des hauteurs plus élevé il n’y a plus aucune stabilité les cellules ne perdure pas et cela se traduit par une évolution très tumultueuse. Reslice total de l’huile de silicone 16mm :

Reslice total de l’huile de silicone 40mm :

Les deux reslices sont toutes fois assez différent. Ces différences s’expliquent par des propriétés de diffusion et de tensions superficielles différentes. Ces différences vont changer la manière dont les cellules se comportent mais on ne va pas les détailler et les expliquer ici car ce n’est pas le sujet de notre article. Pour l’eau les choses étant encore différentes. Nous avons même à basse hauteur (h : 2mm, 4mm,6mm) un nombre de Rayleigh très élevé(respectivement : 100 779, 806 234, 2 721 043) . Nous avons donc dès le départ un comportement assez chaotique. Reslice totale de l’eau à 2mm, 4mm et 6mm :

On remarque clairement que pour l’eau plus le Ra est bas plus l’eau comporte des grandes différences a sa surface. L’augmentation du nombre de Rayleigh va avoir un effet d’homogénéisation de la surface. Cela correspond bien à l’idée que le fluide avec un comportement très chaotique aura un comportement statistique très prévisible comme l’interprétation de la thermodynamique par Boltzmann la démontré.

Au cours de ce projet, on aura pu étudier ce phénomène physique qu'est la convection naturelle et, à travers cela, découvrir la théorie du chaos dans une de ces formes les plus “basiques”. Si de prime abord le sujet paraissait assez simple du fait que l'on puisse l'observer quotidiennement dans sa cuisine, il n'en demeure pas moins que nous avons très rapidement observé des difficultés, que ce soit au niveau théorique et expérimental.
Tout d'abord, au niveau théorique, on ne peut pas expliciter par des équations la partie chaotique de l'instabilité de Rayleigh-Bénard, ce qui nous a compliqué la tâche pour prévoir des résultats. Pour régler ce problème, on a pensé aux simulations numériques, mais nos connaissances en informatique ne nous on pas permis de poursuivre dans cette direction.
Ensuite, au niveau expérimental, nous avons passé beaucoup de temps en test pour pouvoir déterminé quels étaient les meilleures contenants et liquides à étudier. Malheureusement, avec le matériel à notre disposition, on a du effectuer quelques approximations :
- N'ayant pas à disposition de plaque permettant de garder la température supérieure du fluide constante, on a du effectuer nos mesures sans, rendant les résultats moins précis.
- On ne pouvait pas obtenir la température sur le coté de la casserole car la caméra thermique n'enregistrait que la température de la paroi extérieure de la casserole. Ainsi, on a du filmer le liquide par dessus, rendant le phénomène légèrement moins visible, nous empêchant de connaitre la température exacte au fond de la casserole ou encore complexifier la mesure des vitesses des particules dans le liquide.
Pour régler le problème de température, on a décidé de ne pas la faire varier (car on ne la contrôlait pas pour les deux extrémités de la casserole) mais plutôt effectuer plusieurs expériences en faisant varier la hauteur de fluide à chaque fois. Cela nous a permis d'obtenir des résultats satisfaisants et concordant avec la théorie.

• BERGE PIERRE LE CHAOS théorie et expériences série synthèse collection cea 1988.
  
• ARUN V.HOLDEN CHAOS nonlinear science theory and applications Manchester University Press 1986.
  
• EDWARD N.LORENZ Deterministic nonperiodic flow Massachusetts institute of technology 7 january 1963.
  
• ”Convection Libre” ou ”Convection Naturelle” : http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/ENSTA/C4cvl.ENSTA.pdf.
  
• MATHIEU GIBERT Thèse : Convection thermique turbulente: Panaches et Fluctuations 2007.
  
• Zimmermann, C. and Groll, R. (2014) “Modelling Turbulent Heat Transfer in a Natural Convection Flow.”, Journal of Applied Mathematics and Physics

liens:

• http://iusti.univ-provence.fr/document.php?pagendx=11298&project=iusti
  
• http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/ENSTA/coursMF204.pdf