Début du projet : 21 janvier

Membres du projet :
Clément Charliac
Artur Oudot
Sanjay René

Adresse email:
clement.charliac@etu.upmc.fr
artur.cordeiro_ oudot _choi@etu.upmc.fr
sanjay.rene@etu.upmc.fr

Le sujet du mouvement Brownien est un sujet complexe car son étude demande une approche mathématique de haut niveau. Nous avons tout d'abord lu plusieurs articles sur le sujet (voir bibliographie) pour comprendre ce qu'était le mouvement brownien et comprendre comment utiliser ses propriétés pour réaliser des expériences physiques.

C'est un phénomène aléatoire que nous détaillerons plus en détail par la suite. Le mouvement brownien a été découvert par le botaniste Robert Brown en 1827 qui observait le déplacement de particules composant les grains de pollens à la surface de l'eau. Ces mouvement semblaient en effet aléatoire. Pendant l'année miraculeuse, Einstein proposa une étude quantitative de ce qu'avait observé Brown 70 ans plus tôt. Il expliqua que les particules en suspension (dont le diamètre était de l'ordre du micromètre) était percuté par un grand nombre de molécules d'eau de manière totalement aléatoire en raison de l'agitation thermique mise en évidence par Boltzmann en 1872. Ces travaux furent appuyés par ceux de Paul Langevin, qui proposa un protocole expérimental pour mesurer la constante d'Avogardo. Nous essaierons dans ce projet de réaliser la même expérience que Langevin et essaierons de déterminer expérimentalement la constante d'Avogardo.

Vendredi 29 mars : 2 ème rendez vous avec Yoan Gautier, professeur référent. Proposer un protocole expérimental de l'expérience de Langevin.
Mercredi 3 avril: Mettre en place le protocole expérimental, effectuer les mesures
Vendredi 5 avril : Traitement des données de l'expérience du 3 avril, comparaison avec la théorie
Vendredi 12 avril : Traitement des données de l'expérience du 3 avril, comparaison avec la théorie
Lundi 15 avril : 2 ème séance d'expériences
Semaine du 6 mai : Traitement de données et calculs d'incertitudes

https://archive.org/stream/atomsper00perruoft#page/109/mode/1up
Résumé :atoms_resume.odt

https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.1490.pdf
Résumé : brownien-motion-of-molecules_resume.odt

https://aapt.scitation.org/doi/pdf/10.1119/1.4803529?class=pdf
Résumé :improving-the-quantification-of-brownian-motion_resume.odt

Séances

Nous avons mis en place un protocole expérimental très simple pour filmer la surface d'un bécher rempli d'eau sur lequel flottent plusieurs particules Browniennes. Les techniciens de physique expérimentale nous ont fourni une caméra microscope (x400 ; 15 fps), des billes en silicone de 1μm de diamètre , un bécher ,un thermomètre , un support pour tenir la caméra et le logiciel kinovéa pour le traitement de données de la vidéo. Schéma du montage ci dessous
Lors du premier essai nous avons vite rencontré plusieurs problèmes. Tout d'abord lorsque l'on dépose les billes de silicone sur l'eau nous pouvions observer un mouvement rotatif de l'ensemble. Le mouvement brownien n'était pas observable dans ces conditions. On a dû alors filmer pendant des plus longues durées car les 10 ~ 15 premières minutes n'étaient pas exploitables. En suite le second problème était que le flash de la caméra et le fond blanc de la table nous empêchaient de bien voir les particules à l'écran. Nous avons donc filmé le tout par dessus d'un cahier noir et éteint la lampe torche de la caméra. Nous avions alors un grand contraste et nous pouvions bien suivre chaque particule sans problèmes. Mais nous avons remarqué tout au long de l'expérience que beaucoup de particules coulaient au lieu de rester à la surface. Or le mouvement brownien est observable à la surface du fluide. Donc nous avons , à l'aide de nos téléphones , éclairer la surface de l'eau par le bas. Grâce à cela nous avons pu rentrer dans les conditions propices à l'observation du mouvement brownien et nous avons pu suivre les particules sur kinovéa.

Capture d'écran des premières images obtenues

Capture d'écran des images avec une meilleure gestion de l'éclairage

Nous avons alors filmé plusieurs fois la surface du bécher à chaque séance. Pendant qu'une expérience se déroulait nous faisions le pointage de la particule d'une vidéo déja réalisée sur kinovéa ainsi que le traitement de données.

En ce qui concerne le logiciel de pointage nous avions déjà utilisé kinovéa au lycée et pour quelques expériences depuis la L1. Nous étions donc assez confortables avec son utilisation et ce n'a pas été un problème. Cependant nous avons rencontré plusieurs difficultés lors de cette étape. Tout d'abord nous avons remarqué que parfois en suivant la particule sur une longue durée elle “disparaissait”. C'est à dire qu'elle coulait au bout d'un certain temps où alors elle sortait du champ de vision de la caméra microscope. Où bien parfois certaines particules rentraient en collision et restaient attachées ce qui changeait le diamètre de la particule brownienne étudiée. Nous devions alors choisir les particules à suivre avec précaution. Pour cela nous devions regarder les vidéos en accéléré et déterminer quelles particules suivre sur kinovéa. Pour le pointage de la particule sur kinovéa ,malgré le fort contraste entre les particules et le fond ,l'outil de suivi de trajectoire automatique n'était pas très efficace. Il fallait alors rectifier le suivi manuellement. Ensuite grâce à un repère que nous avons fixé sur le logiciel et une échelle de distance mesurée avec une règle dans la vidéo , nous avons sortit en tableur les positions selon chaque axe à chaque image de la vidéo. En sachant qu'il y a 15 images par seconde nous avons un tableau qui donne les positions en fonction du temps. Dans le texte de Jean Perrin “Atoms”, le physicien nous explique qu'il est possible soit de faire l'analyse de la trajectoire de plusieurs positions successives d'une particule sur un grand laps de temps ou d'étudier la trajectoire d'un grand nombre de particules sur un court intervalle de temps de manière identique. Par mesure de simplicité nous avons choisi d'étudier un grand nombre de positions successives d'une seule bille dans un premier temps. Nous avons obtenus environ 1000 positions successives. Nous avons ensuite reproduit l'analyse sur une dizaine de particules pour avoir un résultat un peu plus précis.

Nous avons alors fait plusieurs fois l'expérience et nous avons sélectionner les meilleures vidéos parmi le total en fonction du mouvement global observé , de la durée et du contraste de l'image. Nous avons alors basé notre traitement de données sur 6 vidéos sur lesquelles nous avons suivi 1 ou 2 particules. Nous avions alors un “grand” échantillon pour calculer à plusieurs reprises de nombre d'Avogadro.

Pour analyser les données nous avons travailler avec Google Sheet. Ce logiciel nous permettait de travailler simultanément sur la même feuille de calcul. Le logiciel Kinovéa nous sort un fichier texte avec les timecode et les positions relatives des particules suivies. Un outil utile dans ce logiciel est qu'il permet de sortir des résultats dans des unités métriques si nous disposons d'une longueur de référence dans l'expérience. Nous avons donc avant chaque prise de mesure filmé une règle graduée à la même distance de la caméra que les particules en surface.

Pour traiter ces positions nous avons fait plusieurs colonnes, je vais détailler ici les calculs effectués : Les colonnes D & E correspondent à la différence de position de la particule entre les positions N+1 et N. Les colonnes F & G sont le carré des colonnes D & E. Google Sheet nous permet ensuite de faire la moyenne d'un groupe de données, nous calculons donc la moyenne des colonnes F & G Les calculs d'incertitudes sont détaillées ci-après.

Suite à l’expérience et aux différents textes étudiés précédemment (c.f improving-the-quantification-of-brownian-motion_resume.odt), nous avons relevé les sources d’incertitudes suivantes :

• Incertitude sur le diamètre des billes
• Incertitude sur la viscosité de l’eau
• Bruit du à la vibration
• Incertitude liée à la précision du thermomètre
• Incertitude liée à la précision de la mesure de la position

Discutons alors de la pertinence de chacune de ces sources d’incertitudes et de leur influence sur la détermination de la constante d’Avogadro :

1. Dans un premier temps il parait assez clair que l’incertitude sur le diamètre des billes apparait relativement faible puisque celle donnée par le fournisseur est de l’ordre du nanomètre sachant que les billes elles mêmes sont de l’ordre du dixième de micromètre. Ces valeurs sont à interpréter avec vigilance puisqu’il est en réalité très dur de renseigner des chiffres aussi précis. Cela n’est cependant pas très important puisque nous verrons par la suite que l’incertitude sur le mouvement quadratique moyen va se révéler être bien supérieur aux autres.
2. De la même manière l’incertitude sur la viscosité de l’eau est négligeable puisque une incertitude d’1 degré sur la température aboutirait à un incertitude de 2% de la viscosité dynamique. Or nous avions pour conditions expérimentales, des températures ne variant que très peu.
3. Concernant le bruit de vibration, liée aux perturbations mécaniques que nous pouvons induire, cette source d’incertitude étant difficilement quantifiable nous ne la prendrons pas en compte. De plus comme il a été expliqué au cours de notre protocole expérimental décrit ci-dessus, tout a été fait en sorte de minimiser ce bruit.
4. L’incertitude sur la température durant le déroulement de l’expérience provient essentiellement de la précision du thermomètre qui est de 0,1°C.
5. Enfin la dernière source d’incertitude que nous pouvons relever qui est également la plus importante est celle reliée au déplacement quadratique moyen sur x (ou sur y).(∆x^2) étant le déplacement quadratique moyen selon l’axe Ox, son incertitude est donc reliée a la valeur de l’ecart-type associé. Nous considérons en effet le déplacement quadratique moyen comme un échantillon statistique pouvant être décrit par une densité de probabilité et l’écart-type représenterait alors la dispersion des valeurs de cet échantillon. Un rappel mathématique nous donne :
   

Nous obtenons donc comme valeurs pour les incertitudes relatives pour T et pour (∆x^2) respectivement :

Incertitude relative totale :

Le calcul de l'incertitude relative sur la nombre d'Avogadro se calcul grâce à une formule de propagation d'incertitudes qui stipule que l'incertitude sur une variable f correspond à la somme quadratique des incertitudes relatives sur chacune des variables dont dépend f (ici en l'occurence la température T et le déplacement quadratique moyen (∆x^2)). L'incertitude relative sur Na est alors de :

Nous obtenons finalement une valeur du nombre d'Avogadro comprise entre entre [9.18 * 10^21; 5.20 * 10^22] pour la première expérience et entre [2.52 * 10^22; 1.42 * 10^23] pour la seconde. Le nombre d'Avogadro ayant pour valeur 6.02 * 10^23, nous pouvons dire que quand bien même ce dernier n'appartient pas à nos intervalles de mesures, nous nous approchons assez bien de l'ordre de grandeur de ce dernier avec des variations de l'incertitude relative allant de 45 à 70% avec un protocole abordable. Ce résultat nous parait assez satisfaisant au vue de nos conditions expérimentales ainsi qu'regard des résultats d'expériences similaires réalisées par d'autres étudiants. En effet, avec une démarche quasiment similaire à la notre, nous avons trouvés que d'autres étudiants trouvaient des erreurs comprises entre 15 et 40%. Bien qu'elles soient inférieures aux nôtres, nous nous sommes rendus compte seulement à la fin qu'il aurait fallu calculer le nombre d'Avogadro grâce au déplacement quadratique moyen total (sur les deux axes) et non séparément, et donc que ces erreurs pouvaient également provenir de là.

http://images.math.cnrs.fr/Le-mouvement-brownien-et-son.html
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.1490.pdf
http://www.maths.usyd.edu.au/u/UG/SM/MATH3075/r/Einstein_1905.pdf
https://aip.scitation.org/doi/pdf/10.1063/1.42332?class=pdf
https://archive.org/stream/atomsper00perruoft#page/109/mode/1up
https://pubs.rsc.org/en/content/articlepdf/2016/sm/c6sm01153e
https://aapt.scitation.org/doi/pdf/10.1119/1.4803529?class=pdf
https://revue-progressistes.org/2014/08/25/paul-langevin-et-le-mouvement-brownien-jean-pierre-kahane/
https://www.youtube.com/watch?v=RoBD1YP7Esw