Dans le cadre de notre projet, nous voulons isoler une paroi à l'aide d'un système d'ondes destructives comme nous pouvons retrouver dans les casques à isolation active de bruit. Pour cela, nous commençons par mettre en place une expérience qui met en jeu des ondes ultra-sonores puis nous extrapolerons les résultats aux onde sonores.

Pour réaliser cette expérience, nous avons besoin de:

• 2 émetteurs ultra-sonores
• 1 récepteur ultra-sonore
• 1 GBF
• 1 oscilloscope
• 3 câbles BNC-bananes

On considère deux ondes ultra-sonores sinusoïdales émises par deux sources S1 et S2. Ces deux ondes proviennent de la meme source, elles ont donc la meme pulsation et la meme amplitude.

Les ondes peuvent s'ecrire respectivement

$\psi_{1}(x,t)=A_1 cos(\omega t- k(x-x_{S1})-\phi_1)$
$\psi_{2}(x,t)=A_2 cos(\omega t- k(x-x_{S2})-\phi_2)$

Par le principe de superposition, l'onde résultante peut s'écrire $$\psi(x,t)=\psi_{1}(x,t)+\psi_{2}(x,t)$$

Si deux ondes sont en phase, on a : $\psi_{1}(x,t)=\psi_{2}(x,t) $ donc $\psi_{totale}(x,t)=2\psi_{1}(x,t) $

Les interférences sont constructives

Si deux ondes sont en opposition de phase, on a : $\psi_{1}(x,t)=-\psi_{2}(x,t) $ et donc $\psi_{totale}(x,t)=0 $

On parle alors d'ondes destructives. Dans notre cas, on cherche à annuler un son donc à créer des ondes destructives

Si les deux ondes sont en phase, on cherche à obtenir l'amplitude de l'onde résultante.

$$\psi_{totale}(x,t)=\psi_{1}(x,t)+\psi_{2}(x,t)=A_1 [cos(\omega t- k(x-x_{S1})-\phi_1)+cos(\omega t- k(x-x_{S2})-\phi_2)]$$ Si on pose $$\varphi_1= \omega t- k(x-x_{S1})-\phi_1$$ et $\varphi_2= \omega t- k(x-x_{S2})-\phi_2$

on a

$$\psi_{totale}(x,t)=A_1 [cos(\varphi_1)+cos(\varphi_2)]$$

$$\psi_{totale}(x,t)=2A1cos(\frac{\varphi_1-\varphi_1}{2})cos(\frac{\varphi_1+\varphi_1}{2})$$

En passant par la notation complexe, on obtient:

$$\psi_{totale}(x,t)=2A1cos(k\frac{x_{S1}-x_{S2}}{2}+\frac{\phi_1-\phi_2}{2})cos(\omega t- k x+ k \frac{x_{S1}-x_{S2}}{2}+ \frac{\phi_1-\phi_2}{2})$$

Le premier terme représente l'amplitude A qui va dépendre principalement de la différence de phase entre les deux ondes. C'est donc le principal facteur auquel il faut faire attention. Le second terme représente une onde sinusoïdale progressive dans le sens des x croissant.

L'amplitude qui nous interesse se défini donc comme $A=2A1|cos(\frac{\delta}{2})|$ avec $\delta=k(x_{S1}-x_{S2})+(\phi_2-\phi_1)$

Ici $(\phi_2-\phi_1)=0 $ car la source est unique. Pour faire une amplitude nulle, on doit donc avoir $k(x_{S1}-x_{S2})=\pi+2k\pi$

On va donc mettre en place le protocole suivant:

1. Placer en face à face 2 émetteur ultra-sonores et un récepteur
2. Placer notre GBF à une fréquence de 40kHz
3. Laisser notre récepteur fixe et déplacer nos deux émetteur afin d'avoir une onde résultante avec une amplitude nulle

Voici quelques photos de notre expérience

Lors de cette expérience, le