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• *Résonateur de Helmholtz :**
  

Dans le cadre de ce projet, nous avons décidé d'étudier l'isolation acoustique. Nous avons vu précédemment que l'isolation passive à l'aide de mousses nous permettait d'isoler les basses fréquences. Nous avons donc décidé de mener une seconde expérience pour isoler les moyennes fréquences. Il s'agit de l'expérience des résonateurs de Helmholtz. Les résonateurs de Helmholtz sont des cavités qui étaient disposés dans les paroies et utilisées pour corriger l'acoustique des théâtres grecques ou romains. Les pioniers des cavités raisonnantes furent Hermann von Helmholtz (1860) et Lord Rayleigh (1870). Bien que ces cavités portent actuellement de nom de Helmholtz, ce sont les travaux de Rayleigh dans son livre « On the theory of resonators » qui ont permis de mettre en évidence ce phénomène d'atténuation acoustique.

Il existe un modèle mathématique simple qui permet d'expliquer quantitativement le résonateur de Helmholtz et d'estimer sa fréquence propre. Ce modèle est établi sous certaines hypothèses qui sont les suivantes :
- Le résonateur est assimilité à une cavité fermée de volume V et qui communique avec l'extérieur par l'intermédiaire d'un petit tube de longueur L.
-toutes les dimentions sont petites devant la longueur d'onde ondes accoustique - l'air est considéré comme un gaz parfait.
- au vu des échelles de temps mises en jeu au passage de l'onde, on considère que la bouteille est thermiquement isolée.
-tous les effets dissipatifs sont négligés.

Dans le col, il apparaît un petit déplacement des molécules d'air. On peut assimiler cette perturbation à un système masse-ressort. La fréquence de résonance bien connue de l’oscillateur mécanique est : $f_{res}=\frac{c}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ (on peut écrire $m=\rho.S_{col}.l$). Comme on suppose que la bouteille est isolée thermiquement la transformation est adiabatique $PV^{\gamma}=cste$ et donc $\frac{\Delta P}{P_0}=-\gamma \frac{\Delta V}{V_0}$ où $P_0$ est la pression atmosphérique, $\Delta P$ la compression produite dans le volume V de la bouteille et $\Delta V$ la variation de volume de la cavité. Or on sait que $\rho.c^2=\gamma .P_0$ nous en concluons que $\Delta P=-\rho.c^2.\frac{\Delta V}{V}$. La variation de volume de la cavité peut être exprimée en fonction du déplacement de la masse m (noté u) d'où $\Delta V=S_{col}.u$ et donc que $\Delta P=-\rho .c^2.\frac{S_{col}.u}{V}$. La raideur de la cavité vaut donc $k=-\frac{S_{col}.P}{u}=\frac{\rho .c^2.S^{2}_{col}}{V}$. Nous obtenons ainsi la fréquence de Helmotz $f_H=\frac{c}{2 \pi}\sqrt{\frac{S_{col}}{V_{cavité}.l}}$.

Comme défini précédemment, cette expression n’est valable que si les dimensions de la cavité sont faibles par rapport à la longueur d’onde.

Voici une photo du résonateur que nous avons pu construire:

On peut calculer la fréquence propre du résonateur avec ce tableau:

Pour notre résonateur la fréquence propre est donc de 380HZ

Nous avons tester ce résonateur et nous en avons conclus que a 380Hz il procurait une atténuation de 4dB. Cela est intéressant mais les résonateurs sont trop compliqués à expérimenter car ils n'isolent que sur une seule fréquence et celle ci est très précise.