Début du projet : 25/01/2018

Nom du projet : Chaos et Attracteur de Lorentz

Membres du projet :

Diego BERGER,

Edouard FEINGESICHT,

Yohan MADAD,

Paul MANSET,

Alessandro ROUSSEL

emails : efeingesicht@gmail.com, alessandro.roussel@gmail.com

31/01/2018 Familiarisation avec la théorie du chaos. On s'intéresse au pendule amorti forcé. Compréhension de la route vers le chaos par cascade de doublement de fréquence. (Ref: “Mécanique classique” Taylor et le cours de M1 de Grenoble sur les systèmes dynamiques). On travail le sur notre première manip'. Ce sera un circuit RLC en régime forcé (équivalent du pendule amorti forcé). On établie la liste des graphes que l'on aimerait obtenir : diagramme de bifurcation, attracteur unique dans l'espace des phases, attracteur double, trajectoire chaotique dans l'espace des phases, section de Poincaré et évolution de l'écart entre deux trajectoires avec des conditions initiales différentes (mais proches) en fonction du temps.

Début du code des simulations. On part du modèle simple de l'évolution d'une population. On trace le diagramme de bifurcation et l'évolution (en fonction du temps) de l'écart entre deux populations avec des conditions initiales différentes. Les graphes sont exactement ce attendues, pas de soucis. On s'amuse à tracer des graphes en plus (qu'on trouve pas dans la littérature) et on obtient un graphe étrange qu'on ne sait pas expliquer pour le moment.

Diagramme de bifurcation zoomé et non zoomé. Apparition des îlots de stabilités. Dernier graphe en cours de compréhension.

02/02/2018 : Nous avons réalisé que les résultats pour r>4 n'avait aucun sens physique à cause du manque de coefficient de saturation (les populations divergeaient vers -inf)

07/02/2018 : Nous avons fait des recherches sur les circuits RLC et de Chua, puis les avons simulés sur http://www.docircuits.com/. Cela n'a pas été une tache facile. Nous avons tout d'abord travaillé sur le circuit simple RLC pour obtenir un espace des phases cohérent avec la théorie (système linéaire). Ensuite nous avons cherché nous même un système électronique chaotique. Pour ce faire nous sommes partis d'équations différentielles non linéaires et nous avons tenté de chercher un système électronique reproduisant ce genre d'équations. Nous n'y sommes pas arrivé et nous avons donc décidé de chercher directement dans la littérature un circuit chaotique. Le plus simple pour commencer étant celui de Chua, nous avons décidé de le simuler. Encore une fois ça n'a pas été facile, nous n'avions pas de belles trajectoires dans l'espace des phases. En jouant sur les paramètres nous avons finalement obtenu une trajectoire formant une sorte de tore, ce que nous voulions. Pour vérifier que nous ne nous trompons pas nous décidons de simuler la trajectoire jusqu'à un certain temps, pour bien faire apparaître la convergence vers l'attracteur dans le cas RLC (linéaire) et la convergence vers l'attracteur étrange dans le cas du circuit de Chua (non linéaire). Nos résultats sont plus que satisfaisant, nous ferons la manip' mercredi prochain.

12/02/2018 : Rédaction de l'introduction du rapport de projet. Recherche sur internet des approches les plus pédagogiques pour introduire la notion de chaos.

13/02/2018 : Début de notre première manip'. On travaille sur un RLC. On a récupéré toutes les composantes du circuit. Quelques problèmes avec l'oscillateur et le générateur. Il a fallut se familiariser avec avec les breadbords etc.

14/02/2018 : On a fini le circuit RLC, on a obtenu un bel attracteur dans l'espace des phases. Petit problème : on aimerait avoir la période de convergence vers l'attracteur mais cela nécessite un temps caractéristique beaucoup plus grand que celui actuel (10^-4s). Pour avoir un temps acceptable il faut jouer sur les paramètres du circuit (qu'on a obtenu en résolvant les équations). Problème les valeurs pour la résistance et la bobine entraînent une baisse de la qualité du signal sur l'oscilloscope.

On a eu un autre soucis. La tension au bornes de la résistance n'était pas en accord avec nos calculs théoriques. On a donc dû re-simuler notre circuit pas mal de fois avant de comprendre les différents déphasages.

On a pas mal avancé sur la partie théorique du rapport de projet.

21/02/2018 : Malheureusement le circuit RLC ne fonctionnait pas parfaitement. Nous avons donc dû mesurer plusieurs type de circuit (RC, RL, RLC etc) pour être bien en accord parfait avec les prédictions (rapport des amplitudes, décalage de phase). Cela nous a pris beaucoup de temps. La contrainte étant la suivante : Nous nous intéressons pour le cas RLC, à la convergence vers un attracteur, donc à la phase transitoire. Or la qualité du signal varie grosso modo comme l'inverse du temps de phase transitoire. Nous avons donc dû tester plusieurs valeurs pour les 3 composantes avant d'obtenir un résultat optimal. C'est-à-dire avoir assez de temps de phase transitoire, et une qualité acceptable. De plus, nous nous placions à la fréquence de résonance du circuit, ce qui impose déjà un paramètre. Bref tout cela n'a pas était simple mais car nous avons dû faire beaucoup de mesure, mais les résultats sont satisfaisants. Nous avons estimé que toutes ces étapes étaient indispensables si nous voulions nous attaquer au circuit de Chua.

La partie théorique du rapport est finie.

21/02/2018 : On a terminé le circuit RLC qui marche désormais bien, cependant on observe que pour des petites résistances les prédictions théoriques ne correspondent pas parfaitement aux valeurs mesurées. On va donc tracer l'amplitude de la réponse du RLC par rapport à l'amplitude de la tension envoyée, pour différentes valeurs de résistances, pour optimiser notre choix (on veut une résistance la plus petite possible, mais également dont la valeur est suffisante pour bien fonctionner dans le RLC). Voici les résultats des mesures pour le RLC, le but étant d'optimiser la valeur de la résistance. On trace le rapport maximal des tensions en fonction du log de la fréquence, pour des résistances entre 12 et 100 ohm. En bleu, la courbe théorique.

Cela nous permet d'obtenir une courbe “de qualité” des résistances. En choisissant un seuil de 90%, on sélectionne un domaine de validité pour une résistance minimale de 20 ohm. On ne descendra donc pas en dessous de cette valeur dans toute la suite du RLC.

07/03/2018 : On a d'une part acheté un lot de composants électroniques pour commencer à composer le circuit de Chua. D'autre part, on développe et sélectionne deux idées d'expériences à faire en parallèle : l'expérience du double pendule pour illustrer le chaos, et celle du moulin de Lorenz pour tenter de reproduire la figure “historique” de l'attracteur de Lorenz. Pour ces deux idées on utilisera une méthode de tracking vidéo numérique en haute résolution (caméra 4K), de sorte à obtenir la position et la vitesse du pendule / des seaux en fonction du temps. On tracera ainsi leurs diagrammes dans l'espace des phases.

En parallèle, on termine toutes les mesures sur le circuit RLC et on met bien en évidence le temps caractéristique de convergence vers l'attracteur. Pour différentes valeurs de résistances, condensateurs et inductances, on calcule le temps théorique de convergence, et on mesure un temps expérimental pour vérifier qu'ils correspondent. Pour ce faire, on demande à l'oscilloscope de “trigger” au moment d'un pic en tension, et on insère brusquement un courant dans le circuit initialement à vide, de sorte à sauvegarder sur une clé USB la phase de transition. On effectue 64 mesures, 2 pour chaque triplet (R,L,C), de sorte à observer la convergence à partir de deux “conditions” initiales différentes. On conçoit ensuite un code Python qui va ne garder que la phase de transition à partir du pic initial, et tracer la tension aux bornes de la résistance en fonction de la tension injectée.

A première vue, on obtient bien les figures attendues. A partir de conditions initiales relativement aléatoires, les signaux (rouge et bleu) finissent par converger vers l'attracteur périodique (ellipse grise) au bout d'un certain temps. Il convient maintenant d'estimer ce temps caractéristique de convergence, et de le comparer aux valeurs théoriques. On va pour ça utiliser notre code Python pour “couper” les valeurs de nos signaux dans le temps, et essayer de sélectionner la plage temporelle qui semble le mieux correspondre à la phase de transition. Ce procédé est arbitraire et très incertain, on prendra donc en compte un ordre de grandeur entier d'incertitude sur la valeur mesurée (incertitude de 1 en log). Après avoir fait cette mesure pour les 32 graphes, on résume le tout sur un plot : temps mesurée en fonction du temps théorique en loglog (théoriquement on devrait obtenir la droite y=x). En introduisant notre incertitude d'environ 1 en loglog, on retrouve effectivement plutôt bien la valeur théorique du temps théorique.

Tous les résultats à cette étape sont très satisfaisants, la théorie est vérifiée et on a mis en évidence attracteur ainsi que phase de convergence, on va donc pouvoir se focaliser sur le circuit de Chua ainsi que les deux expériences parallèles à partir de la séance suivante.

08/03/2018 : Conception d'un page web en Javascript pour simuler les équations du double pendule, ainsi que celles du circuit de Chua, et faire un plot 3D dans différents espaces de phase. On cherche à voir s'il est possible de trouver un attracteur tri-dimensionnel pour le système du double pendule. Voir : Double Pendule animé, Attracteur de Chua

13/03/2018 : On a testé la partie gauche du circuit de Chua. Cette partie est équivalente à une bobine de faible résistance. On a utilisé des AOP. Pour ce faire on a réalisé un circuit RL. Les résultats sont cohérents avec la théorie (rapport des amplitudes, décalage de phase). Cependant le signal est beaucoup plus dégradé que pour une bobine normale. On commence la partie de droite du circuit de Chua.

21/03/2018 : Nous avons essayé de réalisé tout le circuit de Chua : en ajoutant en entrée un signal carré, nous avons obtenu des attracteurs et signaux concordant avec la théorie. Cependant, cela devrait marcher même sans générateur (en amplifiant le bruit). Nous avons donc demandé de l'aide à notre encadrant (J. Beugnon) qui a informé sur une méthodologie pour trouver les erreurs et mieux comprendre le circuit. Nous avons ainsi commencé à caractériser la partie droite du circuit (appelée Diode de Chua) pour voir dans quelle condition elle se comporte comme une résistance négative.