Equipe du projet :

• Zietek Geoffrey (geoffrey.zietek@etu.upmc.fr)
• Thomas Baptiste (baptiste.thomas2@etu.upmc.fr)
• Bolteau Pierre-Alexandre (pierre-alexandre.bolteau@etu.upmc.fr)
• Bergier Thomas (thomas.bergier@etu.upmc.fr)
• Ramkhelawon Atish (atish.ramkhelawon@etu.upmc.fr)

Professeur encadrant : Dupic Thomas

Imaginée et conçue en 1784 par le physicien anglais George Atwood, la machine d'Atwood (à droite) est un dispositif mécanique constitué de deux masselottes liées par un fil, supposé inextensible, roulant sur une poulie. À l'origine, ce système à visée pédagogique permettait aux étudiants de mettre à l'épreuve le principe fondamental de la dynamique ainsi que la conservation de l'énergie mécanique. Dès lors, de nouveaux appareils reprenant certaines des propriétés physiques de la machine furent développés, tel le pendule d'Atwood (à gauche) en illustre un exemple. Ce dernier s'apparente en grande partie à son ancêtre, à cela près qu'une des masses (en bleu) n'est plus astreinte à osciller verticalement et se trouve libre d'évoluer dans un plan. Un simple degré de liberté supplémentaire, crucial, qui donnera lieu à des trajectoires contre-intuitives et extrêmement sensibles aux conditions initiales.

Comme présenté, notre projet s'articulera autour du pendule d'Atwood. Nous chercherons, en confrontant développements théoriques, mesures expérimentales et simulations numériques, à mettre en évidence une transition du pendule vers le chaos hamiltonien. Plus précisément, notre objectif consistera, à partir de l'analyse de plusieurs portraits de phase du pendule, à décrire leurs spécificités pour des rapports de masses bien choisis.

Au cours de ce projet, nous tâcherons de suivre le programme ci-après :

Plus précisément, voici le détail des travaux effectués chaque semaine :

Semaine du 22/01 :

• Recherche bibliographique d'articles traitant du pendule d'Atwood et d'ouvrages autour de la mécanique analytique ;
• Discussion concernant les premiers appareillages nécessaires à la modélisation du pendule.

Semaine du 29/01 :

• Choix d'une base stable pour le pendule (potences très massives) et d'un support en liège, solidement fixé aux potences, sur lequel les poulies pourront rouler sans perturbations ;
• Recherche théorique concernant les systèmes intégrables et quasi-intégrables.

Semaine du 5/02 :

• Impression 3D de poulies et de leur fixation, premiers tests non concluants de la simple machine d'Atwood ;
• Début de l'étude théorique du pendule : établissement des équations du mouvement à l'aide du formalisme lagrangien et recherche de valeur(s) du ratio de masses pour lequel le système est intégrable. Étude similaire en adjoignant deux poulies au système initial.

Semaine du 12/02 :

• Remplacement des poulies présentant trop d'aspérités par des poulies achetées dans le commerce, sans succès ;
• Étude théorique de l'influence des diverses forces dissipatives agissant sur le pendule ;
• Premières simulations numériques de la trajectoire du pendule, avec et sans poulies, avec et sans frottements ;
• Début de la rédaction de l'article.

Semaine du 19/02 :

• Simulations numériques approfondies et mieux exploitées ;
• Poursuite de l'étude des forces dissipatives.

Semaine du 26/02 :

• Ayant rencontré de nombreuses difficultés dans la réalisation expérimentale du pendule, d'autres alternatives sont envisagées (roulement à bille, ficelle plus épaisse, rainure plus marquée sur de nouvelles poulies) ;
• Amélioration des simulations numériques afin d'obtenir des graphes plus explicites quant à l'effet des frottements fluides ;
• Mise à jour de l'article.

Semaine du 05/03 :

• Le roulement à bille fonctionne correctement, on s'attache à présent à l'insérer dans une poulie permettant de le maintenir sur son axe ;
• On cherche également à modifier le support qui ne reste pas stable lorsque la petite masse décrit un mouvement brusque.

Semaine du 12/03 :

• Impression de nouvelles poulies présentant une rainure incurvée, utilisation de potences liées entre-elles par un barreau rigide (à la base des potences) ;
• Incorporation d'une partie “prototypage” dans notre article, recensant nos divers essais dans la conception du pendule ;
• Analyse des portraits de phase pour différents rapports de masses à partir des simulations numériques.

Semaine du 19/03 :

• Le pendule fonctionnant globalement, il nous reste à perfectionner le dispositif : les frottements du fil sur la poulie demeurent non négligeables lorsque les masses sont plutôt lourdes ;
• Sécurisation du dispositif en modifiant les extrémités des poulies.

Semaine du 26/03 : Semaine d'examens, pas de contribution au projet.

Semaine du 02/04 :

• Mesures expérimentales de l'accélération de la pesanteur sur la machine d'Atwood, afin d'en déduire l'importance des frottements secs ;
• Impression de nouvelles poulies dans le but de minimiser les frottements, de gagner en solidité et d'obtenir un alignement parfait de ces dernières ;
• On constate que les potences sont d'autant plus stables que le barreau les liant est proche de l'axe des poulies, ce pour quoi on le fixe plus en hauteur ;
• Rédaction des parties théorique et d'analyse numérique du rapport final.

Semaine du 09/04 :

• Des mesures similaires aux précédentes sont réalisées sur la machine d'Atwood, dans le but de gagner en précision ;
• Les nouvelles poulies étant plus performantes, les mesures sur le pendule rendent compte de résultats encourageants ;
• Tracé des premiers diagrammes de phases sur la base de nos mesures expérimentales.

Semaine du 16/04 :

• Poursuite des mesures de positions et de vitesses des masses par pointage vidéo ;
• Traitement des données du pendule et de la machine d'Atwood recueillies, prise en compte des incertitudes de mesure ;
• Incorporation de ces nouveaux résultats à l'article.

Semaine du 23/04 :

• Analyse approfondie des résultats, comparaison entre théorie et expérience, tout en cherchant à expliquer les disparités observées ;
• Peaufinage du wiki et dernière corrections.

Semaine du 30/04 :

• Fin de la rédaction de l'article, relectures ;
• Rédaction des conclusions.

Dans cette section, nous développerons les principaux résultats théoriques obtenus.

Dans un premier temps, nous nous contenterons d'établir les équations du mouvement ainsi que l'hamiltonien du pendule lorsqu'il n'est soumis qu'à la gravité.
Notre système, évoluant dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, est constitué du fil inextensible et des deux masses $m$ et $M$, assimilées à des points matériels, distantes de $D$. L'axe $(Oz)$ est vertical, dirigé vers le bas, et l'on désigne par $\theta$ l'angle formé par $m$ avec celui-ci. Étant donné le choix d'origine, on repérera $m$ par $r$ (de cote $z_m$) et $M$ par $D + z_M$ (cf. Figure 1).
Notant $L$ la longueur totale du fil, on a la relation évidente $L = r+D+z_M$, d'où $z_M = L-r-D$ et $\dot{z_M} = v_M = -\dot{r}.$ Nous constatons que le pendule possède deux degrés de liberté, et nous considérerons par la suite le jeu de variables naturel $(r,\theta)$.

Dans ces conditions, l'énergie cinétique totale du système est simplement la somme des énergies cinétiques $T_M$ et $T_m$ des masses $M$ et $m$ respectivement, d'où $$ T = T_M + T_m = \frac{1}{2}Mv_M^2 + \frac{1}{2}mv_m^2 = \frac{1}{2}M \dot{r}^2 + \frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\right) = \frac{1}{2}(m+M)\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2. $$ Le système n'étant soumis qu'à la gravitation, il possède une énergie potentielle de pesanteur, somme des énergies potentielles $V_M$ et $V_m$ des masses $M$ et $m$ respectivement $$ V = V_M + V_m = -Mgz_M - mgz_m = Mgr - mgr\cos\theta = gr(M - m\cos\theta), $$ où l'on s'est affranchi des constantes et où l'accélération de la pesanteur $\vec{g}$ est supposée uniforme.

Ainsi, le lagrangien du système est donné par $$ \mathcal{L}(r, \theta, \dot{r}, \dot{\theta}) \equiv T - V = \frac{1}{2}(m+M)\dot{r}^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 + gr(m\cos \theta-M).$$ Nous pouvons à présent déterminer les équations du mouvement. En effet, on a, en la variable $r$ $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r}} = (m+M)\dot{r} \implies \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r}}\right) = (m+M)\ddot{r} \quad \text{et} \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r} = mr\dot{\theta}^2+g(m\cos \theta-M).$$ De même, en la variable $\theta$ $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = mr^2 \dot{\theta} \implies \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}\right) = mr(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}) \quad \text{et} \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} = -mgr\sin\theta.$$ Les équations d'Euler-Lagrange $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0 $$ fournissent alors les équations du mouvement \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} (1+\mu)\ddot{r}&=r\dot{\theta}^2+g(\cos \theta-\mu)&\text{(1)}\\ r\ddot{\theta}&=-2\dot{r}\dot{\theta}-g\sin\theta&\text{(2)}\\ \end{aligned} \right. \end{equation*} où l'on a introduit le rapport de masses $\mu \equiv \frac{M}{m}$.

Quant à l'hamiltonien, il prend la forme $$ \mathcal{H}(r, \theta, \dot{r}, \dot{\theta}) \equiv T + V = \frac{1}{2}(m+M)\dot{r}^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 + gr(M-m\cos \theta).$$ Exprimons-le à présent en fonction des moments conjugués $p_r$ et $p_\theta$ des variables $r$ et $\theta$ respectivement ; ceci nous sera utile pour le tracé du portrait de phase.

Puisque $$ p_r \equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r}} \quad \text{et} \quad p_\theta \equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}, $$ on obtient aisément $$ \mathcal{H}(r, \theta, p_r, p_\theta) \equiv p_r\dot{r} + p_\theta \dot{\theta} - \mathcal{L} = \frac{p_r^2}{2(1+\mu)} + \frac{p_\theta^2}{2r^2} + gr(\mu -\cos \theta).$$

Afin de modéliser au mieux le système théorique qu'est le pendule d'Atwood, nous avons fait le choix, sur le modèle de l'article [4], d'un montage comprenant deux poulies $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ de masses effectives $m_p$ et de rayon $R$ sur lesquelles glisse un fil inextensible reliant les deux masses (cf. Figure 2). Pour le moment, nous considérerons le système uniquement soumis à son propre poids.
Les notations sont les mêmes que dans l'étude précédente, à cela près qu'ayant affaire à des corps rigides, il importe de définir certains points et grandeurs supplémentaires, on désignera alors par :

• $Q$ (respectivement $Q'$) le point au niveau duquel le fil se sépare de la poulie $\mathcal{P}$ (respectivement $\mathcal{P}'$) du côté de la masse $m$ (respectivement $M$) ;
• $P$ (respectivement $P'$) le point au niveau duquel le fil se sépare de la poulie $\mathcal{P}$ (respectivement $\mathcal{P}'$) du côté de l'autre poulie ;
• $O$ le centre de la poulie $\mathcal{P}$, correspondant à l'origine du repère $(Oxyz)$ ;
• $\varphi$ l'angle formé par l'arc de cercle $P'N$, où $N$ est un point quelconque de $[P'Q']$.

Premièrement, notons que la portion de fil $P'Q'$ reste constante, la masse $M$ n'oscillant qu'à la verticale, le point de perte de contact $Q'$ n'est pas changé ; son expression est alors $P'Q' = \frac{\pi R}{2}$.
Pour ce qui est de la portion $PQ$, la situation est différente puisque la masse $m$, évoluant dans le plan $(Oyz)$, fait varier l'angle $\theta$ et donc la position du point $Q$ ; son expression est alors $PQ = R\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)$.

L'angle $\varphi$ est défini comme $\varphi = \frac{PN}{R}$. Ainsi, en l'absence de frottement du fil sur la poulie, on peut exprimer la vitesse angulaire de la poulie comme $\dot{\varphi}=\frac{\dot{PN}}{R} = \frac{\dot{z_M}}{R}$.

Notant de nouveau $L$ la longueur totale du fil, on trouve d'après les résultats précédents $L = AQ + QP + PP' + P'Q' + Q'B = r + D + \pi R - R \theta + z_M$. D'où, en dérivant cette expression, $\dot{z_M} = R\dot{\theta} - \dot{r}$.

Finalement, $$\dot{\varphi} = \frac{R\dot{\theta}-\dot{r}}{R}.$$ Comme attendu, notre système possède deux degrés de liberté, l'adjonction des poulies ne change pas la nature du système ; ainsi nous choisirons naturellement le jeu de coordonnées $(r,\theta)$.
L'énergie cinétique du système s'exprime comme $$ T = T_M + T_m + 2T_p = \frac{1}{2}Mv_M^2 + \frac{1}{2}mv_m^2 + 2 \left(\frac{1}{2}I_p\dot{\varphi}^2 \right), $$ où $T_p$ désigne l'énergie cinétique apportée par une poulie et $I_p = m_pR^2$ son moment d'inertie relativement à l'axe $(Oy)$.
Profitons-en pour préciser que la grandeur $m_p$ correspond à la masse de la poulie distribuée sur les bords à une distance $R$ du centre, et n'est donc pas exactement égale à la masse de la poulie elle-même.

En remarquant que $\vec{v_m} = \dot{\overrightarrow{OA}} = \dot{\overrightarrow{OQ}} + \dot{\overrightarrow{QA}}$, et puisque $\overrightarrow{OQ}= -R\cos\theta \vec{u_y} - R \sin \theta \vec{u_z}$ et $\overrightarrow{QA}=-r \sin \theta\vec{u_y}+r\cos \theta \vec{u_z}$, on obtient l'expression $$ \vec{v_m} = \left( \begin{array}{clcr} 0 \\ R\dot{\theta}\sin \theta-r\dot{\theta}\cos\theta-\dot{r}\sin\theta\\ -R\dot{\theta}\cos \theta-r\dot{\theta}\sin\theta+\dot{r} \cos \theta \end{array} \right). $$ De même, $\vec{v_M} = \dot{z_M}\vec{u_z}=(R\dot{\theta} - \dot{r})\vec{u_z}$.

Les poulies étant pesantes, il est intéressant de définir une masse effective totale du système $M_t \equiv M + m + 2m_p$.

Après développement, l'énergie cinétique prend la forme finale suivante $$ T = \frac{1}{2}M_t(R\dot{\theta}-\dot{r})^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2. $$ Concernant l'énergie potentielle, elle correspond ici aussi à la somme des énergies potentielles de pesanteur de chacune des masses $$ V = V_m + V_M = -m\vec{g}\cdot\overrightarrow{OA} -M\vec{g}\cdot\overrightarrow{OB} = -mgz_m - Mgz_M = mg(R\sin\theta-r\cos\theta)+Mg(r-R\theta), $$ où l'on s'est affranchi des termes constants.

Le lagrangien est transformé en $$ \mathcal{L}(r,\theta,\dot{r},\dot{\theta}) = \frac{1}{2}M_t(R\dot{\theta}-\dot{r})^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2-gr(M-m\cos\theta)-gR(m\sin\theta-M\theta).$$ En procédant comme dans l'étude du pendule sans poulies, on aboutit aux équations du mouvement que sont \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \mu_t(\ddot{r}-R\ddot{\theta})&=r\dot{\theta}^2+g(\cos \theta-\mu)&\text{(1')}\\ r\ddot{\theta}&=-2\dot{r}\dot{\theta}+R\dot{\theta}^2-g\sin \theta&\text{(2')}\\ \end{aligned} \right. \end{equation*} où l'on a posé $\mu_t \equiv \frac{M_t}{m}.$

Notons qu'en prenant $R=0$ et $m_p=0$, on retombe bien sur les équations du mouvement $(1)$ et $(2)$ du pendule sans poulies.

L'hamiltonien devient $$ \mathcal{H}(r,\theta,\dot{r},\dot{\theta}) = \frac{1}{2}M_t(R\dot{\theta}-\dot{r})^2 + \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2+gr(M-m\cos\theta)+gR(m\sin\theta-M\theta),$$ ou encore, en fonction des moments conjugués, $$ \mathcal{H}(r,\theta,p_r,p_\theta) = \frac{1}{2}\left(\frac{p_r^2}{M_t}+\frac{(p_\theta+Rp_r)^2}{mr^2}\right)+gr(M-m\cos\theta)+gR(m\sin\theta-M\theta).$$

L'UE de projet étant principalement à but expérimental, nous avons voulu connaître l'influence des divers frottements agissant sur le pendule, afin de les minimiser et d'obtenir un comportement le plus fidèle possible aux prédictions théoriques.

Notre système pourvu de ses poulies est le siège de trois types de frottement, à savoir :

• Le frottement de l'air sur les masses en mouvement ;
• Le frottement des roulements à bille constituant les poulies, sur leur support ;
• Le frottement du fil sur les rainures des poulies associé à un léger glissement, pouvant être modélisé par un roulement avec glissement.

Nous étudierons la contribution de la première source dans le paragraphe suivant. Quant aux deux autres sources, nous les traiterons conjointement en fin de section, à l'aide des équations de Newton.

Ne sachant pas, a priori, si le domaine d'étude est celui d'un régime laminaire ou turbulent, nous avons calculé le nombre de Reynolds, dont on rappelle l'expression $$ \mathrm{Re} = \frac{\rho_av_aD}{\eta_a}, $$ où $D \approx 3\text{ cm}$, $\rho_a \approx 1,2 \text{ kg.m}^{-3}$, $v_a \approx 0,1\text{ m.s}^{-1}$ et $\eta_a \approx 1,8.10^{-5}\text{ kg.m}^{-1}\text{.s}^{-1}$ sont respectivement des approximations du diamètre d'une masse, de la masse volumique de l'air, de la vitesse caractéristique de l'air en l'absence de courant et de la viscosité dynamique de l'air dans les CNTP ($T = 293 \text{ K} $ et $P = 1 \text{ atm}$). On obtient un nombre de Reynolds $ \mathrm{Re} \approx 200 < 2000$, venant confirmer l'intuition d'un écoulement laminaire.

Il est alors possible de modéliser les frottements de l'air par une force $\vec{F} = -k\vec{v}$, où $k$ est un coefficient dépendant de la géométrie du corps considéré. Dans le cas d'un corps sphérique de rayon $R$, on a $k = 6\pi\eta_aR$.

Pour pouvoir ajouter une force de frottement dans les équations d'Euler-Lagrange, il nous faut définir la notion de force généralisée. Dans le cadre de la mécanique analytique, on travaille non plus sur les coordonnées usuelles de l'espace, mais sur des coordonnées dites “généralisées” qui permettent de supprimer les contraintes propres au système. Par extension, on peut également introduire des forces généralisées, de la forme $$ Q_{i} = \sum_{\alpha} \vec{F}_{ext,\alpha}\cdot\frac{\partial \vec{r}_{\alpha}}{\partial q_{i}}, $$ où $\vec{r}_{\alpha}$ est la coordonnée de l'espace de la particule $\alpha$ et $q_{i}$ sa coordonnée généralisée.
À partir de ces forces généralisées, on peut déduire du principe de moindre action (cf. référence [7]) les équations d'Euler-Lagrange généralisées $$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{i}}=Q_{i}.$$

Revenons à notre force de frottement, $\vec{F} = -k\vec{v}$, où l'on peut écrire $$\vec{F}=-\vec{\nabla}_{v}\mathcal{F}\quad\text{avec}\quad\mathcal{F}=\frac{1}{2}kv^{2}.$$ Ainsi, la force généralisée prend la forme $$Q_{i}=-\vec{\nabla}_{v}\mathcal{F}\cdot\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_i}.$$ En calculant la différentielle de $\vec{r}(q_i,t)$, on remarque que $$\frac{\partial \dot{r}}{\partial \dot{q_i}}=\frac{\partial r}{\partial q_i}.$$ Finalement, après développement, on obtient l'expression des équations d'Euler-Lagrange en présence d'une force non conservative, proportionnelle à $\vec{v}$ $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = -\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{q_i}}. $$

Pour notre système, on a $\mathcal{F} \equiv \frac{1}{2}(k_Mv_M^2+k_mv_m^2) = \frac{1}{2} \left(k_M\dot{r}^2 + k_m\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right) \right)$ avec $k_m$ et $k_M$ le coefficient des masses $m$ et $M$ défini plus haut. En menant les calculs sur le pendule sans poulies, on déduit les équations du mouvement \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} (1+\mu)\ddot{r}-r\dot{\theta}^2+g(\mu-\cos\theta)&=-\frac{1}{m}(k_m+k_M)\dot{r}&\text{(3)}\\ r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}+g\sin\theta&=-\frac{1}{m}k_mr\dot{\theta}&\text{(4)}\\ \end{aligned} \right. \end{equation*} En choisissant $k_m=k_M=0$, on retrouve bien les équations $(1)$ et $(2)$ du pendule sans frottements.
L'étude sur le pendule pourvu de poulies amène aux équations du mouvement \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \mu_t(\ddot{r}-R\ddot{\theta})-r\dot{\theta}^2+g(\mu - \cos \theta)&=-\frac{1}{m}(k_m+k_M)\dot{r}&\text{(3')}\\ r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}+g\sin \theta-R\dot{\theta}^2&=-\frac{1}{m}\left[(k_m+k_M)\frac{R\dot{r}}{r}+k_mr\dot{\theta}\right]&\text{(4')}\\ \end{aligned} \right. \end{equation*} définissant le pendule d'Atwood pourvu de poulies, en présence de frottements fluides.
De nouveau, si l'on choisit $R = 0$ et $m_p = 0$, on retombe, comme attendu, sur les équations $(3)$ et $(4)$.

Comme exposé dans la section “Simulations numériques”, en nous limitant à un intervalle de temps d'environ $110$ secondes, les frottements de l'air sont négligeables. Il nous reste alors à quantifier les frottements provenant des deux autres sources. Dans l'objectif de simplifier cette étude, nous transposerons le problème sur la machine d'Atwood, sur le modèle de l'article [7], en supposant qu'elle n'est le siège que du frottement du fil sur la poulie, du roulement sur son support et de la gravité. La masse du fil étant très inférieure à l'ordre de grandeur des masses utilisées, nous la négligerons dans la suite.
Supposant que $M > m$ et notant $T_m$ (respectivement $T_M$) la tension du fil sur la masse $m$ (respectivement $M$), le principe fondamental de la dynamique appliqué aux masses $m$ et $M$ fournit les relations $$ mg - T_m = m\ddot{z}, $$ $$ Mg - T_M = M\ddot{z}. $$ Les tensions ainsi introduites modélisent le frottement (dynamique) du fil sur la poulie.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la poulie de rayon $R$ et de moment d'inertie $I_p$ permet quant à lui de caractériser la friction (dynamique) du roulement par l'intermédiaire d'une différence de tension constante de part et d'autre de la poulie, exprimée par un couple de frottements $\Gamma_r$, selon $$ T_mR-T_MR - \Gamma_r = I_p\ddot{\varphi}, \quad (*) $$ où $\ddot{\varphi}$ désigne l'accélération angulaire de la poulie.
Nous avons supposé que ce couple, proportionnel à la masse totale du système, demeure constant pour une masse totale donnée. En effet, si tel n'était pas le cas, le système ne subirait pas de décélération constante, comme observé expérimentalement. Ainsi, le couple étant supposé constant, nous l'écrirons $ \Gamma_r = m_rgR$, où $m_r$ représente une masse fictive traduisant le frottement du roulement. De la même façon, la masse $m_p$ intervenant dans l'expression $I_p=m_pR^2$ est une masse effective (cf. “Pendule d'Atwood avec poulies”). En considérant ces deux nouvelles masses effectives, la relation $(*)$ se réécrit $$ T_mR-T_MR - m_rgR = m_pR^2\ddot{\varphi} $$ ou encore, puisque $\ddot{\varphi} = \frac{\ddot{z}}{R}$, $$ T_m -T_M - m_rg = m_p\ddot{z}. $$ À l'aide des deux premières relations, on aboutit à une modification de l'accélération de la pesanteur de la forme $$ g = \frac{M + m + m_p}{M- m -m_r}\ddot{z} \quad (5)$$ où l'on distingue clairement les contributions des deux sources de frottement, comparativement au cas $$ g = \frac{M + m}{M - m}\ddot{z} \quad (6)$$ où seule la gravité est considérée.
Remarquons que l'on peut intégrer le frottement dû au roulement à bille, caractérisé par la masse $m_r$, dans une nouvelle masse $m_{pm}$ (masse $m_p$ modifiée), telle que $$ m_{pm} = \frac{m_p(M-m) + m_r(M+m)}{M-m-m_r}.$$ Il s'ensuivra alors une modification du moment d'inertie de la poulie, noté à présent $I_{pm}$. C'est précisément ce qui a implicitement été fait dans l'article [4], et alors $$ g = \frac{M+m+m_{pm}}{M-m}\ddot{z} \quad (5').$$

Dans cette section, nous présenterons les différentes simulations numériques ainsi que leurs interprétations. Ce premier graphique correspond à la simulation de la trajectoire du pendule idéal, en l’absence de frottements et de poulies, pour le rapport de masses $\mu=3$. En effet, pour ce rapport, le système est intégrable et il est alors intéressant d'étudier ses particularités. De plus, en le comparant avec la simulation faite dans l'article [4], on vérifie que le programme nous donne bien la trajectoire attendue. Ces graphiques nous permettent d'évaluer si les frottements de l'air sont négligeables ou non, et sur quel intervalle de temps. La simulation a été réalisée en supposant des masses rondes d'un rayon de l'ordre du centimètre. La première observation que l'on peut faire est que l'erreur faite sur l'angle est majorée par l'erreur sur $r$, on peut donc se restreindre à ne regarder que l'erreur sur $r$. On observe qu'en ne regardant la trajectoire que sur un intervalle de temps inférieur à $110$ secondes après le lancé, les frottements de l'air n'induirons qu'une erreur inférieure à $5 %$ . Ils peuvent alors être négligés en première approximation pour cet intervalle de temps. Enfin, nous mettons en comparaison le pendule idéal avec celui pourvu des poulies. Pour ce faire, on a supposé des poulies d'un rayon de $2$ cm. On ne regarde qu'un intervalle de temps de 110 secondes en raison des frottements de l'air. On remarque immédiatement que, comme pour les frottements de l'air, l'erreur sur $r$ majore l'erreur sur $\theta$. L'erreur sur $r$ est toujours supérieure à $12%$ quelle que soit le temps $t$, ce qui nous oblige à ne pas négliger l'impact des poulies sur la trajectoire du pendule.

Dans cette section, nous recenserons les différents montages réalisés aboutissant à un pendule adapté aux mesures expérimentales.

Pour notre premier montage, nous avons fait le choix de disposer une potence solide, soutenant une poutre de liège à l'aide d'une pince, sur laquelle sont vissées deux poulies. Ces poulies ont été conçues par une imprimante 3D, aux dimensions affichées, sous les conseils de notre technicien référent. Les masses sont reliées par un fin fil de nylon.
Le système reliant les poulies à la poutre était simplement constitué d'une vis et de deux écrous ; nous n'avions pas conscience que la forme de la vis et le mauvais serrage des écrous créeraient tant de frottements.
Le fichier des poulies 3D imprimées est accessible ici : poulie_1.zip.

Dès les premiers lancés, nous avons constaté un problème majeur ; le fil n'était pas suffisamment robuste et se rompait après quelques oscillations, pour des masses plutôt élevées. Nous avons alors opté pour un fil légèrement plus épais, toujours en nylon, acheté dans le commerce.
Ce détail pris en compte, deux autres problèmes firent leur apparition :

• Le frottement des poulies étant beaucoup trop important, l'oscillation du pendule s'arrête prématurément. Il était impossible d'obtenir un mouvement correct, mesurable ;
• Une unique potence n'étant pas suffisante pour maintenir la stabilité du dispositif, il demeure bancal.

Nous avons alors repensé notre montage afin de corriger ces problèmes.

Avec pour objectif d'améliorer la stabilité du système, nous avons naturellement choisi d'ajouter une potence. À présent, une potence est placée à chaque extrémité de la barre de liège, au niveau du lieu de fixation des poulies, et permet un équilibre plus stable.
Quant aux poulies, on a d'abord voulu les remplacer par des poulies achetées dans le commerce, sans succès puisque les dimensions de ces dernières n'étaient pas adaptées, et leur roulement souvent mauvais. Alors, d'une part, nous avons entamé la fabrication d'un système de poulie disposant d'une large ouverture pour y insérer un roulement à bille et ainsi bénéficier d'un roulement de qualité. D'autre part, nous avons imaginé des poulies aux rainures incurvées avec pour fonction de favoriser le glissement du fil sur ces dernières. Ces deux modifications nous permirent effectivement de réduire considérablement les frottements du fil sur les poulies et des poulies sur leur support.
Le fichier des nouvelles poulies 3D imprimées est accessible ici : poulies_2.zip.

Afin de tester la contribution des deux modifications séparément, nous avons imprimé deux formes de poulie, l'une correspondant au montage précédent, et l'autre jouissant de rainures incurvées. Dans chacune d'entre-elles a été implanté un roulement à bille de dimensions [????], acheté dans le commerce.

La version conique crée des problèmes de désaxage dans le mouvement, en raison d’un manque de précision lors de son impression (la rainure, sur laquelle repose le fil, n’est pas tout à fait droite puisque la largeur de la poulie est trop faible), ce qui entraîne une distribution non uniforme de la masse sur la poulie. En revanche, les problèmes de frottement du fil semblent majoritairement résolus, la durée d'oscillation est plus satisfaisante. Notons tout de même que nous n'avons toujours pas suffisamment d'oscillations pour réaliser des mesures concluantes.
Comme nous l'attendions, la version plane souffre d'un frottement toujours trop important du fil, la version conique s'impose.
De façon générale, le roulement des poulies sur leur support s'est nettement amplifié, pour les deux modèles, nous conserverons donc l'idée du roulement à bille.

Malgré ces changements fructueux, les frottements du fil sur les poulies et des poulies sur leur support pouvaient être encore améliorés. De même, il fallait résoudre le problème de désaxage des poulies à rainure incurvée et celui de non fixité des poulies. En effet, ayant obtenu des oscillations plus longues, nous nous rendîmes compte que la fixation des poulies sur la barre de liège n'était pas parfaite, les vis avaient tendance à se désaxer après quelques oscillations rapides.

Ces problèmes nous menèrent à un dernier montage.

Pour ce dernier montage, nous avons abandonné la barre en liège pour une attache au niveau de chaque poulie. Le pendule conserve ses deux potences dont chacune soutient, à l'aide d'une pince, un système composé d'une barre filetée sur laquelle repose une (nouvelle) poulie entourée de deux joints en caoutchouc et de deux écrous. De cette façon, le centre du roulement à bille est immobilisé par les joints sans pour autant gêner le mouvement des poulies. Ce système, joint aux écrous et à la barre filetée, permet une fixité certaine des poulies, avec la possibilité d'un alignement précis de celles-ci. De même, le support des poulies étant mieux adapté, on a diminué le frottement des roulements sur leur support.

De nouvelles poulies ont également été imprimées, afin de palier au désaxage permanent lié à leur rainure. Elles ont été pensées plus grandes, avec une rainure plus large pour accueillir un fil qui frotte moins ; avec une ouverture au centre plus étroite, pour assurer un bon jumelage avec le roulement à bille. Il a d'ailleurs fallu refroidir les roulements à bille pour les incorporer plus aisément aux nouvelles poulies, et même se servir d'un marteau tellement le jeu était juste.
Le fichier des nouvelles poulies 3D imprimées est accessible ici : poulie_3.zip.

Enfin, un barreau de fer a été introduit dans le but de lier fermement les deux potences et ainsi éviter tout penchement du dispositif, comme observé préalablement.

Matériel :

• 2 potences
• 2 pinces
• 1 barre de fer
• 2 barres filetées
• 4 écrous
• 4 joints en caoutchouc
• 2 roulements à billes
• 2 poulies imprimées en 3D
• 2 masses
• 1 fil en nylon

Notre système fonctionne alors correctement, et nous permet d'effectuer des mesures sur une vingtaine d'oscillations à chaque lancé.

Comme décrit dans la partie “Influence des frottements secs”, nous avons décidé d'évaluer l'importance de ces derniers sur un dispositif plus simple, similaire au pendule d'Atwood. La machine d'Atwood s'est alors rapidement imposée comme une candidate idéale.

Nous avons naturellement transformé notre troisième montage du pendule en un montage adapté à la machine, afin qu'elle tire profit des différentes améliorations apportées.
Ainsi, elle est constituée d'une potence maintenant, par une pince, un système composé d'une barre filetée sur laquelle a été enfilé une poulie identique au troisième montage, deux écrous et deux joints en caoutchouc. Les masses, reliées par un fil de nylon, sont disposées de part et d'autre de la poulie.

Matériel :

• 1 potence
• 1 pince
• 1 barre filetée
• 2 écrous
• 2 joints en caoutchouc
• 1 roulement à bille
• 1 poulie imprimée en 3D
• 2 masses
• 1 fil de nylon

Nous avons décidé, dans un premier temps, d'étudier la machine d'Atwood simple, afin de pouvoir quantifier les frottements de notre pendule.
[Titre : Schéma de l'expérience], mettre un h minuscule (sur le premier schéma uniquement), pas besoin de noter les “états”, retirer les traits jaunes sur le dernier schéma, une seule flèche de chaque côté du second schéma, noté \Delta t pour le dernier schéma

L'impact des frottements se reflétant au travers d'une diminution de l'accélération des masses, on cherche à la mesurer expérimentalement. Pour ce faire, on place la masse $m$ au contact du sol, de sorte à ce que la masse $M$ soit à sa hauteur maximale $h$, que l'on relève précisément. Une fois le système stabilisé, on lâche la masse retenue au sol en actionnant un chronomètre. Lorsque les positions des masses sont échangées, c'est qu'elles ont parcouru la distance $h$, on arrête alors le chronomètre et l'on relève une durée $\Delta t$.
Les masses testées sont les suivantes :

• $M=200$ g, $m= 100$ g
• $M=550$ g, $m =500$ g
• $M=110$ g, $m=100$ g
• $M=130$ g, $m=100$ g
• $M=200$ g, $m=120$ g

On effectue une série de cinq à dix mesures pour chaque rapport de masse étudié, afin de moyenner le temps obtenu et ainsi de gagner en précision.
On obtient alors l'accélération $\ddot{z}$ d'une des masses par la relation triviale $h = \frac{1}{2}\ddot{z}(\Delta t)^2$. Il suffit ensuite d'insérer cette accélération dans l'équation $(6)$, pour obtenir une valeur expérimentale de la modification de l'accélération de la pesanteur, notée $g_{exp}$, que nous comparerons avec sa valeur théorique $g = 9.81 \text{ m.s}^{-2}$.

Lors de l'expérience, nous distinguons une incertitude sur :

• Le temps, liée au chronomètre (estimée à $0.01$ s), mais négligeable devant le temps de réaction de l'expérimentateur, estimée à $\delta(\Delta t) \approx 0.2$ s. Mais ayant effectué des séries de 5 mesures, on peut la réduire;
• La hauteur, liée à la règle utilisée (estimée à $0.5$ mm), mais négligeable devant l'imprécision des conditions de mesure (fil très long), estimée à $\delta h \approx 0.5$ cm ;
• Les masses, donnée par le fabriquant $\delta m = \delta M \approx 0.5$ g ;
• L'accélération, obtenue par un calcul de propagation d'erreur.

Les résultats obtenus sont reportés sur les graphes ci-dessous :

D’après l’équation $(6)$, où l'on considère uniquement la gravité, $g$ dépend de façon linéaire au rapport $\frac{M-m}{m+M}$. Pour de petites différences de masses absolues et de petits rapports de masse, la différence entre théorie et résultats expérimentaux devient frappante (on monte jusqu'à un écart relatif de $72$%) et la tendance linéaire n'est pas retrouvée. Néanmoins, on constate que nos valeurs de $g_{exp}$ commencent à se superposer à la constante $g$ pour des rapports $\frac{M + m}{M - m}\ddot{z}$ plus élevés et qu'une tendance linéaire est retrouvée. Si nous avions effectuer des mesures pour un grand nombre de rapports de masses plus élevés, nous pouvons supposer qu'un ajustement linéaire des valeurs de $g_{exp}$ aurait tendu vers la droite constante correspondant au $g_{th}$. Ici , l'ajustement linéaire que nous pouvons trouver avec les rapports de masses à un coefficient directeur beaucoup trop élevés car les valeurs de rapports de masses maximales que nous avons étudiées sont trop faibles.

Pour essayer de se rapprocher de la droite constante du $g_{th}$, nous avons réalisé un ajustement linéaire de nos valeurs. En effet, une droite linéaire avec un coefficient directeur qui tend vers 0 se rapprocherait d'une droite constante. Dans notre cas, le coefficient directeur de l'ajustement est beaucoup trop élevé, car nos valeurs de $g_{exp}$ pour les rapports de masses les plus faibles sont trop éloigné du $g_{th}$. Plus les rapports de masses sont élevés, plus les frottements secs sont négligeables et donc pour que cet ajustement soit correct, nous pouvons supposer qu'il aurait fallu plus de mesures sur des rapports de masses plus élevés qui auraient tendu vers le $g_{th}$. Dans notre cas nous ne pouvons pas faire cela, nous calculons le $m_{pm}$ pour évaluer les frottements secs et déterminer dans quelle mesure nous pouvont les négliger.
Nous avons calculé deux ajustements linéaires, l'un sur tout nos rapports de masses en excluant la mesure avec une masse totale de $1.05kg$ (le g le plus élevée pour le rapport le plus faible sur la figure) pour garder une constance dans les masses totales. Et l'autre en excluant le plus petit rapport (le fit visible sur la figure 4).
Nous obtenons pour le premier une droite de coefficient directeur $21.5$ avec une coefficient de régression linéaire de $0.73$. Nous obtenons pour le second, un coefficient directeur de $14.6$ et un coefficient de regréssion linéaire de $0.99$, on retrouve donc une tendance linéaire bien plus marquée avec un coefficient plus faible, ce qui se rapproche de ce que nous attendions.

Ces observations s'expliquent par le fait qu'en ne considérant que la gravité, nous n'avons pas pris en compte les divers frottements secs (on a montré dans la section “Simulations numériques” que les frottements fluides étaient négligeables, pour un intervalle de temps d'étude inférieur à $110$ secondes). Précisons que l'on aurait pu, dans cette même étude, incorporer les frottements fluides en ajoutant un terme proportionnel à la vitesse dans les équations de Newton, l'expression de $g$ ci-dessous aurait alors été modifiée.
L’équation qui tient compte des frottements secs nous fournit une accélération de la pesanteur modifiée $g_{mod}$ telle que $$ g_{mod} = \frac{M + m + m_{pm}}{M- m}\ddot{z}, $$
où $m_{pm}$ désigne la masse modifiée de la poulie, comme explicitée plus haut.
Il est alors possible de calculer cette masse $m_{pm}$ :

• *0.1 et 0.2 kg
  $m_{pm} = 0.029 \pm 0.005$ pour la poulie 1
  $m_{pm} = -0.006 \pm 0.0012$ pour la poulie 2
  0.5 et 0.55 kg
  $m_{pm} = 0.28 \pm 0.018$ pour la poulie 1
  $m_{pm} = 0.19 \pm 0.012$ pour la poulie 2
  0.1 et 0.11 kg
  $m_{pm} = 0.54 \pm 0.032$ pour la poulie 1
  $m_{pm} = 0.30 \pm 0.019$ pour la poulie 2
  0.1 et 0.13 kg
  $m_{pm} = 0.10 \pm 0.01$ pour la poulie 1
  $m_{pm} = 0.09 \pm 0.01$ pour la poulie 2
  0.12 et 0.2 kg**
  

$m_{pm} = 0.027 \pm 0.004$ pour la poulie 1
$m_{pm} = 0.049 \pm 0.008$ pour la poulie 2

À partir de ces données, nous pouvons déterminer la valeur de l'accélération de la pesanteur modifiée, devant être plus proche de la valeur théorique que précédemment.

Maintenant on cherche à savoir dans quelle mesure peut-on négliger $m_{pm}\quad$ .

Quand les rapports de masses sont faibles, $m_{pm}\quad$ ne peut être négligée, on monte même à des $m_{pm}\quad$ qui dépasse nos masses. Cela cause une différence entre le $g_{théorique}\quad$ et le $g_{expérimental}\quad$, et cette différence est de plus en plus importante pour des petits rapports. Mais pour des rapports de masses plus élevés, $m_{pm}\quad$ devient beaucoup plus faible comme le montre les valeurs que nous avons obtenus, ce qui équivaut à un $g_{théorique}\quad$ et un $g_{expérimental}\quad$ beaucoup plus proche et nous permet donc de 'relativement' négliger $m_{pm}\quad$.

La différence de masse absolue joue aussi un rôle. Si la masse totale augmente mais que $\mu$ et $m_{pm}\quad$ reste du même ordre, l'influence de $m_{pm}\quad$ est réduite. Si on s’intéresse à nos mesures pour $\mu = 1.1$, on voit qu'entre 550-500 et 110-100 la masse totale a été quintuplé, mais $m_{pm}\quad$ a diminué.$m_{pm}\quad$ représente donc 27% de la masse totale dans le premier cas et 257% dans le second. Donc l'influence de $m_{pm}\quad$ a été réduite pour le cas 550-500. Ceci est clairement visible sur la deuxième graphique de la partie. On voit aussi sur le premier graphique que l'on obtient un résultat du même ordre pour $\mu = 1.1$ avec une masse totale de 1 kilo et pour $\mu = 1.3$ avec une masse totale de 230 g.
Si on regarde les rapports $\frac{M + m + m_{pm}\quad}{M - m}$ et $\frac{M + m}{M - m}$, la différence pour $550-500g$ est de $15\%$ alors que pour $110-100g$ elle est de $59\%$. La masse totale influe donc sur l'influence des frottements secs.

On peut donc commencer à 'relativement' négliger les effets de friction et d'inertie de la poulie, et la traction du fil sur la poulie pour des rapports plus grands que $\mu=1.3$ avec une masse totale la plus grande possible (difficile à quantifier précisément, mais de l'ordre de $500g$ devrait être suffisant) et cela devient de plus en plus sur en augmentant $\mu$ .

Dans un second temps, nous avons réalisé des mesures sur le pendule d'Atwood, correspondant au dernier montage, afin d'étudier sa trajectoire pour différentes valeurs du rapport de masses $\mu$.
Préalablement à la mesure, nous avons minutieusement vérifié l'alignement des poulies afin d'éviter des répercussions indésirables sur nos valeurs. Aussi, nous avons très précisément mesuré, à l'aide d'un mètre adapté, une portion du fil servant d'étalon pour le pointage numérique. Pour un rapport de masses donné, le mouvement débute lorsque la masse $m$ est lâchée avec un angle initial faible. À l'aide d'une caméra et d'un logiciel de pointage, on marque la position de chacune des masses pour un grand nombre de temps. Bénéficiant ainsi de la trajectoire des masses, il est possible de remonter aux grandeurs qui nous intéressent, et notamment aux moments conjugués.

Une nouvelle fois, nous devons lister les incertitudes inhérentes à l'expérience, sur :

• La résolution $R$ de la caméra, précise au pixel près. Néanmoins, à cause de la vitesse du mouvement, la masse devient floue sur plus d'un pixel pour certaines images, nous estimons donc l'incertitude à $\delta R = 2$ pixels pour couvrir l'intégralité de l'erreur potentielle. La caméra étant en 480×360 pixels, on obtient une incertitude relative différente pour les deux axes ;
• Les positions $x(t)$ et $y(t)$. Ayant pris soin de définir un étalon, on peut calculer simplement le rapport pixels/cm. Il suffit ensuite de se servir de l'incertitude sur la résolution pour déterminer les incertitudes sur les positions ;
• Le temps, liée au logiciel de pointage utilisé, et donnée par $\delta t = 0.01$ s.

Par propagation des erreurs, cela induit des incertitudes sur les grandeurs telles que l'angle, la vitesse ou l'accélération des masses. Par exemple, on détermine l'incertitude sur l'angle en traçant un triangle rectangle de côtés la coordonnée selon x, selon y et la position de la masse $m$. Cela nous fournit l'angle, et son incertitude est alors obtenue par un calcul de propagation des incertitudes sur ces longueurs.

Voici un exemple de pointage numérique réalisé pour le rapport $\mu = 1.3$ :

Nous présentons, à gauche, les trajectoires réalisées avec nos valeurs expérimentales, et à droite, leurs homologues, réalisés par simulation numérique des équations théoriques.

Rapport de masses $\mu=1.5$ :

Rapport de masses $\mu=1.4$ :

Rapport de masses $\mu=1.3$ :

Rapport de masses $\mu=1.2$ :

Rapport de masses $\mu=1.1$ :

On retrouve expérimentalement la forme générale des trajectoires obtenues en simulation, mais les trajectoires expérimentales présentent des valeurs de coordonnées $(x(t), y(t))$ souvent inférieures à celles des courbes simulées.
L'incertitude sur la prise des mesures est beaucoup trop faible pour en être la cause. En effet, comme exposé dans la liste des incertitudes, le pointage garantit une indétermination relativement faible de la trajectoire obtenue. Notons qu'il est difficile de faire apparaître les incertitudes sur les graphes sans les rendre illisibles, en raison du grand nombre de points, et puisqu'ils sont minimes, nous avons fait le choix de ne pas les ajouter. Ces disparités entre trajectoires simulées et expérimentales peuvent donc trouver leur origine dans les défauts de notre montage. Par exemple, de nombreuses vibrations qui semblent indissociables au montage, provoquent un désaxage des poulies ; ou encore, les frottements du fil sur les poulies demeurent non négligeables, ce sont les principaux responsables de ce que nous observons. L'expérimentateur contribue lui aussi à ces disparités puisque l'angle initial qu'il donne à la petite masse peut être légèrement différent de celui imposé à la simulation numérique. Étant en présence d'un système chaotique, cette légère différence se fera ressentir lors du tracé. Précisons également que le caractère irrégulier des diverses courbes (fortes variations) ne facilite en rien une approche par l'expérience, malgré un pointage répété. Enfin, il aurait été préférable de poursuivre l'amélioration de notre dispositif, le pendule ne permettant la mesure que d'une vingtaine d'oscillations.
L'importance des frottements est particulièrement visible sur les deux premiers graphiques, où la courbe semble « s'écraser » aux alentours du point de coordonnées $(0,0)$, correspondant au centre de la poulie soutenant la petite masse. Les frottements freinant la petite masse, cette dernière n'acquiert pas suffisamment de vitesse, nécessaire à faire remonter l'autre masse, et voit sa trajectoire limitée dans une région proche de l'origine.

Dans cette section, nous définirons les limites de notre montage et nous proposerons certaines modifications, qui, à notre sens, permettraient d’acquérir des résultats plus corroborant.

Tout d'abord, notre pendule est limité dans la variété des mesures qu'il peut effectuer proprement. En effet :

• Lorsque le rapport de masses excédait la (faible) valeur $1.5$, nous faisions face à des mouvements difficilement contrôlables où le fil sortait de la rainure de la première poulie, et allait parfois jusqu'à s'enrouler autour de la seconde tandis que les masses se percutaient ;
• Lorsque la somme des deux masses franchissait le palier des $2$ kg, notre système n'étant pas suffisamment lesté, il vibrait énormément, rendant impossible le pointage précis.

Si l'on ajoute à ces limites les divers problèmes liés, notamment, aux conditions initiales et aux frottements (discutés dans la section précédente), on comprend aisément qu'il puisse être nécessaire de retoucher notre dispositif, malgré les progrès qui lui ont déjà été apportés.
Nous pourrions, en particulier :

• Utiliser des potences plus lourdes pour lester davantage notre pendule et pouvoir étudier l'influence de la masse totale sur son comportement, mais il faudrait alors trouver un support plus stable pour nos poulies et choisir des poulies plus solides. ;
• Utiliser des masses rondes avec crochets pour éviter que les masses ne penchent lors du mouvement et puissent affectées la trajectoire.

Nous sommes partis d'une modélisation idéale du pendule d'Atwood, à laquelle nous avons ensuite incorporé les poulies et les frottements qui leurs sont liées pour se rapprocher de la réalité.
Puis nous avons étudié plus précisement, les frottements du montage. Nous en avons déduit que nous pouvions négliger les frottements de l'air, mais que les frottements liées aux poulies créaient un moment d'inertie et que leur importance devait être vérifiée expérimentalement.
De ce fait, nous avons donc effectué des mesures de l'accélération et de la pesanteur en machine d'Atwood, qui nous ont permis de déterminer que les frottements secs sont négligeables pour des rapports de masses plus importants, c'est à dire à partir de μ = 1,3.
Finalement, nous avons voulu étudier le pendule d'Atwood pour les rapports de masses ou le moment d'inertie est négligeable, mais les caractéristiques de notre pendule nous ont contraints à étudier des rapports entre 1.1 et 1.5. Pour la plupart des graphiques, on retrouve la forme générale, mais les frottements et le désaxage réduisant considérablement le temps pendant lequel notre pendule fonctionne correctement, cela nous empêche de retrouver des trajectoires proches de la théorie.
A cause de ces limites, nous n'avons pas put obtenir un nombre suffisant de portraits de phase pour permettre une étude expérimentale correcte. Pour obtenir de meilleurs résultats expérimentaux, nous aurions pu utiliser un montage plus lourd et beaucoup plus stable, pour pouvoir étudier des rapports de masses plus importants tout en réduisant les frottements. De plus, utiliser des masses sphériques à crochet aurait limité le désaxage et donc les frottements.
Nous n'avons pas pu mener une étude assez poussée pour mettre en évidence le chaos associé au pendule, mais nous avons donc montré les limites d'un tel montage et avons identifié des changements qui aurait permis de réaliser une telle étude.

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3. Swinging Atwood's machine, https://en.wikipedia.org/wiki/Swinging_Atwood%27s_machine, 2017.
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