Porteur(s) du projet: Guillermin Elsi,Trédoulat Antoine, Magne Chloë
contacts; chloe.magne@etu.sorbonne-universite.fr;antoine.tredoulat@etu.sorbonne-universite.fr;elsi.guillermin@etu.sorbonne-universite.fr
Projet d'UE 3T622 encadré par Loïc Labrousse et Pierre Thery

• Date de début et date de fin: de janvier à avril 2019
• Un rapide descriptif du projet: Le projet convection consiste à modéliser la convection mantellique à travers un modèle analogique
• Le but et les objectifs de ce projet: Le but est de déterminer le nombre de Rayleigh critique (donc le moment où le fluide convecte) pour différentes huiles, en déterminant 3 coefficients à travers 3 expériences : la dilatation thermique, la diffusivité thermique et la viscosité cinématique. On prend pour vérifier nos manipulations expérimentales, une huile de moteur dont on connaît ces 3 coefficients.
• La liste des machines et outils nécessaires: Bécher 1L/Appareils Photos/Trépied/Carte Arduino et câbles qui vont avec/Éprouvette Graduée/Écran blanc/Plaque Chauffante/Capteurs Thermiques/FablabChimie: dispositif calcul alpha
• La liste du matériel nécessaire, leur prix ainsi que des liens d'achat si possible: Huile de moteur Castrol Edge 5W-40 (6,80euros/L), Cire gel (400g=environs 13euros), Billes d'Aluminium (12euros les 500),Colorant, Huile de colza (1euros/L)

• MatLab R2018b
• Arduino
• Origin 60

Notre stage portait sur le phénomène de convection et s’est déroulé de janvier à avril 2019, au sein du Fablab Géosciences et encadré par Loïc Labrousse et Pierre Thery. L’idée générale était d’élaborer des expériences nous permettant de calculer les coefficients intervenants dans le calcul du nombre de Rayleigh critique, nombre qui marque le début de la convection dans un fluide. Nos objectifs étaient donc de tester nos expériences et nos valeurs en prenant comme fluide témoin une huile de moteur dont on connaissait toutes les caractéristiques et d’en déduire un nombre de Rayleigh expérimentale à comparer à une valeur théorique. Le but final étant de pouvoir utiliser ces expériences pour des fluides se rapprochant du manteau terrestre.

Théorie rapide : On est parti de la formule de Rayleigh pour identifier les coefficients que nous devions retrouver pour calculer le nombre de Rayleigh critique d’un fluide. On peut mesurer h directement, on va supposer que g ne varie pas avec les changements de conditions de pression/température pour simplifier le modèle, on pourra mesurer le delta T avec 2 thermomètres, il nous reste donc à déterminer alpha le coefficient de dilatation thermique, mu la viscosité cinématique et kappa la diffusivité thermique. On voulait également trouver un fluide pour lequel on avait accès directement ou par simple calcul à nos 3 coefficients afin de pouvoir vérifier facilement si nos expériences fonctionnaient, on s’est donc tourné vers les huiles moteurs dont les fiches techniques constructeurs sont détaillées. Pour avoir une idée des conditions dans lesquelles nous devions tester nos expériences nous avons fait une expérience de convection “test” pour déterminer l’ordre de grandeur que nous devions prendre pour h et delta T, on a vérifié que ça devait fonctionner pour une hauteur d’huile de 5cm dans un bécher d’1L et pour un delta T d’environ 50°C.

1ère expérience : Pour déterminer le coefficient de dilatation, nous avons mis en place une expérience afin de voir la variation de volume. Pour cela, nous avons utilisé un ballon rempli d’huile que l’on a chauffé en faisant un bain-marie. Comme on peut le voir sur la photo, nous avons disposé un tube en verre traversant le bouchon du ballon. Initialement, nous avions une certaine hauteur d’huile. Pour déterminer le coefficient de dilatation, nous connaissons cette équation : rho = rho0*(1-alphadelta T). On isole alors alpha. L’équation devient : alpha = Sdh(T-T0)/(Sdh+V0). Nous avons besoin de connaître la section du tube, la température et la hauteur à chaque instant, et le volume initial contenu dans le ballon. Pour calculer la pente, nous avons donc calculé la section du tube en verre et retrouver le volume initial par la mesure de la masse de l’huile. Pour connaître la température, nous avons utilisé un thermomètre mis dans le bain-marie. Et pour la hauteur, nous avions placé une règle graduée. L’expérience a été filmée, permettant ainsi de visionner et d’attribuer la hauteur du tube avec sa température correspondante. Nous avons tracé le graphique, et obtenu cette courbe-ci. Au lieu de calculer la pente de la droite en prenant un delta T=15°C, nous avons calculé la pente entre chaque point, puis nous avons fait la moyenne de toute ces droites, obtenant ainsi une valeur de alpha, égale à 1,12.10^-3. Pour l’incertitude, nous avons fait l’écart-type de toutes les valeurs de alpha égale à 7,3.10^-4. Nous avions effectué l’expérience pour l’huile de moteur. On a fait la même expérience pour de l’huile de colza. Seulement, les données obtenues n’ont pas été concluantes : le coefficient de dilatation de l’huile de colza devait être trop grand pour nos ordres de grandeurs.

2ème expérience : Pour déterminer la viscosité cinématique nous avons décidé de passer par la vitesse de chute d’une bille dans notre huile, qui est reliée par la Loi de Stokes à la viscosité dynamique, on peut alors déterminer la viscosité cinématique à partir de la relation qui existe entre viscosité dynamique, masse volumique et viscosité cinématique. Pour obtenir cette vitesse nous avons pris en vidéo la chute d’une bille d'Aluminium dans une éprouvette graduée remplie d’huile de moteur. Nous avons calculé la masse volumique de la bille et de l’huile avec la relation classique ⍴=m/V en utilisant une balance et l’éprouvette pour l’huile, son diamètre et sa masse pour la bille. Nous avons rempli l’éprouvette graduée jusqu’à 500 mL, démarré la vidéo et lâché la bille à l’aide d’une pince le plus proche possible de la surface du fluide pour qu’elle parte avec une vitesse initiale la plus proche de 0 possible. Nous avons reproduit l’expérience plusieurs fois afin d’obtenir un grand nombre de valeurs ce qui nous a permis par la suite d’estimer l’incertitude sur notre mesure. à partir de ces vidéo nous avons écrit un programme sous Matlab, nous permettant de récupérer les positions de la bille dans l’éprouvette au cours du temps en traitant chaque vidéo image par image, cela fonctionne avec un système de pointeur, les deux premiers points déterminant la hauteur de fluide totale, les suivants servant à repérer la position de la bille à un intervalle de temps régulier ( 16 images = 16 positions pour un intervalle de temps de 1s soit 1 image toutes les 0,0625s). Finalement on obtient un graphe de la hauteur de la bille (position x verticale) en fonction du temps, on voit que la vitesse de la bille se stabilise et décrit une droite linéaire dont la pente est la vitesse dx/dt, la hauteur de notre éprouvette était donc assez grande pour que la vitesse de la bille soit constante au bout d’un certain temps. On a donc une valeur de la vitesse de chute de la bille on peut donc calculer la viscosité dynamique puis notre viscosité cinématique : nous avons trouvé ʋ=348 ±16 (1σ) mm^2/s, incertitude par écart-type (formule: ..) nous sommes dans le bon ordre de grandeur: v calculée théoriquement =500

3ème expérience : Pour la dernière expérience, c’est à dire la détermination du coefficient de diffusivité thermique k, la mise en œuvre a été plus délicate car nous avions besoin d’utiliser des capteurs thermiques pour mesurer la différence de température, entre la source de chaleur et le haut de notre fluide, lorsque la convection démarrait. Pour cela nous voulions utiliser une carte Arduino convertissant directement les données digitales récoltées par les sondes en températures analysables via Matlab. Ainsi, nous avons écrit un programme nous permettant d’afficher instantanément les températures de chaque sondes. Avant le début de notre expérience, nous avons déterminé un coefficient de diffusivité thermique théorique, grâce aux données présentent dans la littérature, nous permettant d’avoir une valeur de référence. Nous avons trouvé une valeur de kappa égale à 1.43×10-4 m²/s au moyen à la formule suivante : K= k/ rho*C^p, avec k la conductivité thermique de l’huile, rho sa masse volumique et Cp sa capacité thermique massique. Nous avons pu mener l’expérience suivante : dans un bécher de 3L, nous avons introduit 1L d'huile de moteur, puis ensuite placé trois sondes, une située dans la partie basse de l'huile, proche de l'interface huile/bécher et une autre située dans la partie haute de l'huile, près de la surface. La dernière sonde est placée sur la table, ayant pour but de mesurer la température ambiante. Enfin, nous avons placé ce dispositif sur une plaque chauffante et commencé à chauffer l'huile de moteur dans l'objectif d'observer la formation de cellules de convection. Ainsi donc, nous avons obtenu ce graphique présentant l’évolution de la température de nos sondes en fonction du temps. Avec ces données nous avons été alors capable de déterminer notre coefficient de diffusivité thermique K. Pour cela, nous avons de nouveau eu recours à l’écriture d'un programme sur Matlab. Tout d’abord, nous avons modélisé un bécher rempli d'huile de moteur ayant une hauteur H, celui-ci étant placé sur une plaque chauffante et contenant deux sondes. Celles-ci mesurent une température pendant une durée D et selon un pas de mesure nx. On a alors créé deux vecteurs, x, le vecteur distance, en fonction de dx, et t, le vecteur temps, en fonction de dt. Ensuite, on a formé une grille de valeurs en fonction de x et t. Puis, pour une gamme de kappa donnée, on a rempli un tableau de valeur de T en fonction de la distance x. Connaissant le Δx de notre expérience c’est à dire la distance entre nos deux sondes, il nous a été possible de déterminer les deux valeurs de T. Pour la valeur de la sonde située dans la partie basse, on ne peut pas prendre un x égal à o car l'augmentation de température durant le chauffage est trop importante à cause des effets de bords qui ne permettent pas une diffusion lente de la chaleur. Nous avons pris donc une valeur de x plus grande pour pouvoir respecter les conditions limites. Enfin, nous avons exprimé ΔT en fonction de t ce qui nous permet de comparer nos résultats avec des valeurs théoriques de log (K). Ainsi, par cette méthode nous avons pu déterminer le coefficient de diffusivité K. Celui-ci vaut 2×10-4 m²/s +ou- 1×10-4. Cette incertitude a été obtenue lors de l’encadrement de notre courbe (en noire sur le graphique) par deux valeurs de kappa (en jaune foncé et bleu).

Nous sommes donc en possession de tous les paramètres nécessaires au calcul du nombre de Rayleigh critique. Calcul Ra expérimental et comparaison théorique : Finalement on a pu calculer un Ra expérimental et un Ra théorique et les comparer, nous avons trouvé pour Raexp= 623 et pour Rath= 1000, en encadrant notre Ra exp avec valeur max et min on trouve un Ra moyen de 584 ce qui n’est pas aberrant pour cette hauteur. Nos valeurs expérimentales sont toujours dans le bon ordre de grandeur, au final nos expériences sont donc à améliorer pour plus de précision mais elles sont tout de même fiables.

Conclusion + implications aux échelles géologiques : Maintenant que nous avons un protocole fiable pour mesurer les coefficients intervenant dans le calcul du nombre de Rayleigh pour un fluide donné, nous allons pouvoir tester des fluides dont les caractéristiques se rapprochent de celle du manteau terrestre. En effet aux échelles de temps géologiques, le manteau est un fluide dont le nombre de Rayleigh est estimé entre 106 et 108, donc bien supérieur à la valeur critique Rac (≈ 1 700), ce qui indique que ce manteau est parcouru de mouvements de convection. Mais l’application de nos expériences au manteau terrestre soulève de nombreux problèmes : la détermination du nombre de Rayleigh du manteau est plus difficile à mettre en place. En effet, h, α, ʋ et k sont facilement identifiables mais g n'est pas très quantifiable car il varie beaucoup avec la profondeur et on ne connaît pas le gradient de température du manteau, donc le delta T est difficile à évaluer aussi.

guillermins.tredoulat.magne_poster29.pdf

Théorie autour du phénomène de Convection

Élaboration des 3 expériences de détermination des coefficients:
Premiers Tests/Crash Tests
Détermination de α coefficient de dilatation thermique par une expérience sur la variation de volume en chauffant de l'huile de moteur et de colza
Détermination du coefficient de viscosité par une expérience de calcul de la vitesse de chute d'une bille dans de l'huile de moteur et de colza
Détermination du coefficient de diffusivité par une expérience de variation de température dans de l'huile de moteur et de colza en fonction de la distance par rapport à une source de chaleur
Calcul du nombre de Rayleigh Critique à partir des valeurs expérimentales de nos 3 coefficients et comparaison avec nombre de Rayleigh Critique calculé théoriquement
Implications aux différentes échelles géologiques
Bilan

Présentation des projets et choix des binômes

Audrey/Camille: Bac à sable

Elsi/Antoine/Chloë: Convection avec division du travail par binômes

Théorie autour de la convection

Début de recherche pour expériences détermination coefficients α , κ , η

1ers Crash Tests: Chloë avec Pierre:
expériences de convection cire gel et huile dans bécher 2L

2ème Crash Tests: Elsi, Antoine et Chloë avec Loïc

On cherche à observer des cellules de convection et à quelle température on peut les observer
Pour cela, on a utilisé un vidéo projecteur, qui lorsqu'il projète sa lumière sur le bécher contenant de l'huile de moteur, accentue la visualisation du contenu qui convecte lorsqu'on le chauffe. En effet, la lumière passe au travers du bécher contenant l'huile de moteur et est ensuite projetée sur un panneau blanc, l'image est alors agrandie.

Matériel expérimental:
-Projecteur
-Bécher 1L
-Plaque chauffante
-Cylindre convecteur
-Panneau blanc
-Thermomètre

Protocole expérimental :
-Placer un cylindre conducteur au milieu de la plaque chauffante, celui-ci diffusera la chaleur en un point
-Introduire 1L d'huile de moteur dans le bécher
-Placer le bécher sur le cylindre
-Mettre en place le projecteur et régler sa projection sur un panneau blanc
-Allumer la plaque chauffante et controler la tempétature au niveau du cylindre

Température de départ = 26.3°C
Température de convection = 81°C

ΔT≈50°C

\\=

Cf fin du journal de bord car bug

2ème manipulation:
Masse ballon+bouchon+tube = 201.74 g
Masse huile de moteur = 275.17 g
Température initiale = 19.2°C

3ème manipulation:
Masse ballon+bouchon+tube = 166.71 g
Masse huile de colza = 308.45 g

Pour obtenir alpha à partir de l'expérience, on a l'expression suivante : rho = rho(0)*(1-alpha*deltaT)
Qui devient : alpha = Sdh(T-T0)/(Sdh+V0) avec dh = h-h0, h hauteur du tube et h0 la hauteur du tube initiale, S la section du tube, et V0 le volume initiale de l'huile dans le ballon.
Après avoir effectué les mesures, on visionne la vidéo indiquant la température dans le bol d'eau. Lorsque l'huile commence à monter dans le tube, on relève la température et la hauteur correspondante tout les 1°C. On trace alors la hauteur du tube en fonction de la température correspondante. On obtient ce graphique.

Cette courbe est en x^2. Il nous faut une droite pour faciliter le calcul. On choisit de sélectionner une partie de la courbe, c'est-à-dire que l'on prend T=45°C à T=60°C. Voici le graphique correspondant :

On prend un delta T= 1°C, on calcule alpha. On obtient donc pour chaque delta T une valeur de alpha. On fait la moyenne de tous les alpha.
On obtient alors la valeur suivante. alpha = 1.12×10^-3
Pour l'incertitude, on calcule l'écart-type de toutes les valeurs de alpha. On obtient delta(alpha)= 7.3×10^-4

Expérience 2 : détermination du coefficient de viscosité dans l'huile de moteur

Matériel expérimental:
- Éprouvette graduée
- Huile de moteur
- Bille d'aluminium de diamètre d=0,6 cm et de masse m = 0,89 g
- Pince
- Appareil Photo

Protocole expérimental :
- Verser l'huile de moteur dans l'éprouvette graduée jusqu'à 500 mL
- Prendre une vidéo
- Avec la pince, lacher la bille au plus près de la surface de l'huile

- Travail sur un programme pour pouvoir analyser les vidéos de la chute d'une bille dans l'huile de moteur à partir du logiciel MatLabR2018b

- Travail sur les capteurs thermiques pour la 3ème expérience : écriture du programme pour pouvoir lire une valeur de température dans l'eau et dans l'air.
Matériel utilisé:
- Arduino
- Résistance 4,7 kohm
- Capteur thermique

Ecriture du programme sur Matlab pour analyser les vidéos de la bille afin d'obtenir la vitesse de chute de la bille

Détermination de la masse volumique des billes:

Placer une éprouvette graduée sur une balance, et tarer. Introduire un volume défini d'eau et noter sa masse. Introduire les billes et noter leur masse ainsi que le nouveau volume

m(initiale)= 254.4 g
m(finale)= 873.7 g

V(initial)= 250 mL
V(final)= 360 mL

ρ = m/V = m(finale)-m(initiale)/V(final)-V(initial) = (873.7-254.4)/(360-250) = 619.3/110 = 5.63 g/cm^3

Traitement des vidéos pour la viscosité avec programme écris avec Loïc programme calcu_visc.:

Ecriture d'un programme permettant de déterminer une température à partir des données digitales fournies par une sonde.

Expérience 3 : détermination du coefficient de diffusivité thermique de l'huile de moteur

Matériel expérimental:

-bécher de 3L
-3 sondes thermiques
-plaque chauffante
-huile de moteur

Protocole expérimental :

Dans un bécher de 3L, introduire 1L d'huile de moteur. Placer ensuite trois sondes, une située dans la partie basse de l'huile, proche de l'interface huile/bécher et une autre située dans la partie haute de l'huile, près de la surface. La dernière sonde est placée sur la table, ayant pour but de mesurer la température ambiante. Ensuite, placer le dispositif sur une plaque chauffante.
Chauffer l'huile de moteur dans l'objectif d'observer la formation de cellules de convection.

Remarques: notre plaque chauffante ne chauffait pas à température constante ni à flux constant, ce qui a perturbé notre expérience. De plus, on sous-estime notre différence de température car la température mesurée dans la partie basse de l'huile n'est pas celle de la plaque chauffante.
Pour améliorer l'expérience, il aurait été préférable d'utiliser un thermo-couple inséré dans le verre du bécher.

Par la suite, on a interprété les valeurs de différence de température des deux sondes présentes dans l'huile de moteur.
Avec ces données nous sommes alors capable de déterminer notre coefficient de diffusivité thermique K.

Ecriture d'un programme permettant de déterminer K.

Sur Matlab, on a modélisé un bécher rempli d'huile de moteur ayant une hauteur H, celui-ci est placé sur une plaque chauffante et contient deux sondes. Celles-ci mesurent une température pendant une durée D et selon un pas de mesure nx. On va alors créer deux vecteurs, x, le vecteur distance, en fonction de dx, et t, le vecteur temps, en fonction de dt. Ensuite, on va former une grille de valeurs en fonction de x et t. Puis, pour une gamme de kappa donnée, on rempli un tableau de valeur de T en fonction de la distance. Connaissant le Δx de notre expérience, il nous est possible de déterminer les deux valeurs de T. Pour la valeur de la sonde située dans la partie basse, on ne peut pas prendre un x=o car l'augmentation de température durant le chauffage est trop importante à cause des effets de bords qui ne permettent pas une diffusion lente de la chaleur. Nous prenons donc une valeur de x plus grande pour pouvoir respecter les conditions limites. Enfin, nous avons exprimé ΔT en fonction de t ce qui nous permet de comparer nos résultats avec des valeurs théoriques de log (K). Ainsi, par cette nous avons pu déterminer le coefficient de diffusivité K.

scripts_programmes_convection.pdf
1er programme: calcul de Rayleigh de façon théorique Matlab
2ème programme: traitement des images pour détermination viscosité cinématique Matlab
3ème programme: récupération des données de 3 capteurs thermiques Arduino
4ème programme: récupération des Températures Matlab

Expérience 1 sur la détermination de α coefficient de dilatation thermique au Fablab Chimie avec Ziyad BOUAOUD

Détermination du tube en verre adapté parmi 3 proposés:

On cherche à avoir le tube en verre ayant le plus grand volume, nous permettant ainsi d'observer un variation de volume plus grande et d'avoir une plage de données plus large

Caractéristiques des tubes en verre: diamètre (d) et longueur (l)

-Tube 1: d= 3.5mm ; l= 26.9 cm
-Tube 2: d= 3.8mm ; l= 20.5 cm
-Tube 3: d= 4.5mm ; l= 14.09 cm

On a déterminé le diamètre des tubes en verre à l'aide d'un pied à coulisse et sa longueur avec une règle
L'incertitude due aux instruments de mesure est de 0.2mm et celle due à l'incertitude des mesures que l'on a effectuées est de 0.1mm

Calcul de la surface de la section du tube en verre:

S= πr^2 = π(d/2)^2

-S(tube 1)= π*(3.5/2)^2 = 9.62 mm^2
-S(tube 2)= π*(3.8/2)^2 = 11.34 mm^2
-S(tube 3)= π*(4.5/2)^2 = 15.90 mm^2

Calcul de ΔS:

ΔS(tube 1)= √(3.5(π/2)0.02)^2 +(3.5(π/2)0.1)^2 = 0.56
ΔS(tube 2)= √(3.8(π/2)0.02) + (3.8(π/2)0.1)^2 = 0.61
ΔS(tube 3)= √(4.5(π/2)0.02) + (4.5(π/2)0.1)^2 = 0.72

Calcul du volume du tube en verre:
plus précisement V= Sl

-V(tube 1)= 9.62*269 = 2587.78 mm^3
-V(tube 2)= 11.34*205 = 2324.7 mm^3
-V(tube 3)= 15.90*140.9 = 2240.30 mm^3

Ainsi, le tube en verre 1 présente le volume le plus grand, c'est donc celui-ci que l'on choisira

Détermnation de la masse volumique de l'huile moteur:

ρ= m/V

Placer une éprouvette graduée de 500 mL sur une balance et tarer
Introduire un volume d'huile moteur défini et mesurer sa masse

On a effectué cette manipulations 3 fois pour avoir une meilleur précision de ρ

-m1= 252.79 g V1= 300 cm^3 ==⇒ ρ= 252.79/300 = 0.8426 g/cm^3
-m2= 421.85 g V2= 500 cm^3 ==⇒ ρ= 421.85/500 = 0.8437 g/cm^3
-m3= 252.7 g V3= 300 cm^3 ==⇒ ρ= 252.7/300 = 0.8457 g/cm^3

ρ(moyen)= 0.844 g/cm^3 à 22°C

L'inertitude liée à la mesure de la masse est de 0.01 g et celle liée à la mesure du volume est de 2.5 mL

Matériel expérimental:
-Ballon
-Plaque-chauffante
-Élévateur
-Tube en verre de dimensions d= 3,5 mm, l= 26,9 cm pour l'huile de colza
-Bain-Marie
-Balance
-Thermomètre
-Huile de colza
-Huile moteur
-Appareil-photo
-Trépied

Protocole expérimental :
-Remplir le ballon jusqu’au niveau du bouchon
-Mettre le bouchon
-Faire attention à ce qu'il n'y ait pas de bulle car on veut calculer la variation du volume du liquide et non pas de l'air
-Introduire le tube dans le bouchon jusqu'à voir de l'huile
-Introduire le thermomètre dans le bain-marie
-Chauffer la plaque
-Observer la variation de hauteur de l'huile au sein du tube de verre
-Mettre en marche l'appareil photo
-Faire des mesures tous les 5°C de la hauteur d'huile dans le tube en verre pour une variation de température entre 20 et 60° C

Photo du montage expérimentale : observation de la variation du volume d'huile
1ère manipulation:
Masse ballon+bouchon+tube = 215.49 g
Masse huile de colza = 245.71g
Température initiale = 20.2°C