projet: du 13/01/2016 au 15/04/2016
membres: BRUNEL Floriane, PLAYE Nicolas, SILVESTRE Harry
mail: projet.physique.aspect@gmail.com
Diagramme de Gantt: gantt.xls

Au cours de ce projet, nous avons eu la possibilité de reproduire, à notre échelle, une expérience d'intrication, inspirée par Alain Aspect. Ce fut l'occasion d'apprendre le travail de l'expérimentateur, avec toutes les complications que cela implique. Malgré des résultats différents que ceux souhaités, ce projet nous a permis de réaliser, à partir de zéro, un montage expérimental technique mettant en œuvre du matériel sophistiqué. L'interprétation des résultats, ainsi que leur écart avec ceux attendus, nous montre de la force de la physique quantique et la rigueur impressionnante de l'expérience originale d'Alain Aspect. La mécanique quantique a révolutionné notre compréhension de la physique, et le monde. De 1920 à 1955, la communauté scientifique a été témoin de l'un des débats les plus prolifiques du XXe siècle. Il opposa notamment Niels Bohr et Albert Einstein sur l'interprétation du phénomène connu comme l'intrication quantique. En 1935, vient un article communément appelé “EPR” (Einstein, Podolsky, Rosen) intitulé «La description de la réalité par la mécanique quantique peut-elle être considérée comme complète?“. Einstein avait une vision déterministe de l'aléatoire, vu comme une méconnaissance du système. Bohr, dans un article similaire, a répondu en défendant son point de vue probabiliste: il considère que le modèle quantique est complet et aléatoire inclus dans la théorie. En 1965, le débat reprend lorsque John Bell a montré que ce problème ne pouvait pas être relégué à un conflit épistémologique, mais pourrait être résolu par des arguments scientifiques. Dans les années 1980, Alain Aspect a conçu une procédure expérimentale qui a permis de trancher: la mécanique quantique est complete. Le but de ce projet était de comprendre cet épisode historique de la physique contemporaine. Nous aborderons dans un premier temps, les éléments théoriques, ensuite, nous allons détailler le protocole expérimental et nous développerons un journal de bord afin d'expliquer au jour le jour l'avancement du projet.

Ce projet a pour but une compréhension des inégalités de Bell appliquées au paradoxe dit EPR ( Einstein, Podolsky, Rosen ). Il s'inscrit dans la continuité du cours de mécanique quantique du semestre passé et permet ainsi d'approfondir, et de concrétiser, ce qui a été appris. L'importance scientifique et historique de cette joute intellectuelle justifie à elle seule le choix de ce sujet. L'aspect expérimental de ce projet offre la possibilité de travailler avec du matériel sophistiqué et inédit.
Ce “wiki” sera composé de trois parties :

le descriptif théorique des inégalités de Bell et leur lien avec le paradoxe EPR. Cette partie ne sera pas exhaustive : des liens seront donnés vers des documents très clairs et il serait long et non nécessaire de détailler entièrement toute la théorie. Une rédaction plus détaillée sera faite dans l'article à rendre ainsi que dans la soutenance.

le détail de la manipulation expérimentale.

un journal de bord qui rendra compte, séance par séance, de l'état d'avancement du projet. C'est cette partie qui sera le coeur de ce “wiki”, en montrant comment ce projet va se développer.

La polarisation est un vecteur appartenant au plan perpendiculaire à la propagation du photon. On choisit une base { |H>,|V>} de l'espace vectoriel de dimension 2 qu'est l'état de polarisation.Si on suppose qu’un photon arrive sur le polariseur avec une polarisation faisant un angle a avec la direction V, on écrit donc l’état du photon décrit par le vecteur d’état |Psi> tel que |Psi> = cos(a)*|V> - sin(a)*|H>. Pour calculer la probabilité de mesurer un photon dans l’état propre |Psi> il suffit de calculer le module carré de la projection de l’état du système sur ce sous espace, |<V|Psi>|². On trouve naturellement P(V) = |<V|Psi>|² = cos²(a).

Considérons une paire de photons issus d’une même source s’éloignant dans des directions opposées selon l’axe Ox. La description de l’état des deux photons est un produit tensoriel entre les deux espaces vectoriels associés à la polarisation de chaque photon. Les calculs se déroulent alors dans une base de dimension quatre constituée des bases du photon 1 et du photon 2 avec l’état $|Hi\rangle$ est selon l’axe Oy et l’état $|Vi\rangle$ selon Oz (avec i$\in${1,2}). Cette base s’écrit alors {$|H1,H2\rangle$,$\|H1,V2\rangle$,$|V1,H2\rangle$,$|V1,V2\rangle$} . Imaginons que chaque photon tombe sur un analyseur, et que le vecteur d’état $|\Psi\rangle$ s’écrit comme :
$$|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|H1,V2\rangle+|H1,H2\rangle)$$ Nous pouvons alors réécrire l’état considéré comme un produit tensoriel de deux états distincts de polarisation pour le photon 1 $(|\Psi 1\rangle)$ et le photon 2 $(|\Psi 2\rangle)$: $$|\Psi\rangle = |\Psi 1\rangle \otimes |\Psi2\rangle = |H1\rangle \otimes \frac{1}{\sqrt2}(|V2\rangle +|H2\rangle)$$ On dit alors que cet état est factorisable. Si on analyse l’état $|\Psi\rangle$ sous sa forme factorisée, on remarque qu’il n’y a aucun doute sur l’état de polarisation du photon 1, et que le photon 2 est une superposition des états $|V2\rangle$ et $|H2\rangle$. La probabilité de mesurer le photon 1 dans l’état $|H1\rangle$ est P(H1)=1, et P(V1)=0, alors que P(H2)=$\frac{1}{2}$ et P(V2)=$\frac{1}{2}$. On en déduit alors les probabilités conjointes: $$P(H1,V2)=\frac{1}{2}$$ $$P(H1,H2)=\frac{1}{2}$$ $$P(V1,V2)=P(V1,H2)=0$$ Imaginons maintenant que la source émette deux photons dans l’état :
$$|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|H1,H2\rangle +|V1,V2\rangle)$$
Ici l’état est non factorisable en un produit tensoriel de deux états distincts des photons 1 et 2. On dit de cet état qu’il est intriqué. Cette configuration est très intrigante, car on ne peut pas dissocier un photon d’un autre. En effet le caractère aléatoire est dans la mesure d’un des photons, mais une fois que l’on connait l’état de polarisation d’un des photons, on tire de l’information sur la polarisation du deuxième et ce quelque soit la distance entre les deux particules. Si on oriente l’analyseur 1 qui mesure la polarisation du photon 1, d’un angle a par rapport à Oy, et le second d’un angle b par rapport à Oy, cela revient à tourner la base de mesure d’un certain angle (a ou b) par rapport à la polarisation des photons. Si l’on considère les photons séparément dans le cas d’un état factorisable, le calcul de probabilité est analogue au calcul décrit précédemment dans la partie sur la polarisation.
Le calcul des probabilités conjointes est en revanche plus subtil pour un état intriqué que pour un état factorisable. Prenons par exemple le calcul de la probabilité de mesurer le photon 1 dans l’état $|Ha\rangle$, et le photon 2 dans l’état $|Hb\rangle$ que l’on notera $P_{Ha,Hb}$ :
On remarque d’abord que si a=b=0, la base de mesure est alors colinéaire a la base de polarisation des photons et $P_{Ha,Hb}(0,0)= \frac{1}{2}$.
Dans le cas général, on projette les vecteurs dans la nouvelle base :
$$P_{Ha,Hb}(a,b)=|(\langle Ha,Hb|)(|\Psi\rangle)|^{2}$$
Avec $|Ha,Hb\rangle = (cos(a)|H1\rangle + sin(a)|V1\rangle) \otimes (cos(b)|H2\rangle +sin(b)|V2\rangle)$
Finalement:
$$P_{Ha,Hb}=\frac{1}{2}|cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)|^{2}=\frac{1}{2}cos^{2}(a-b)$$
Par argument de symétrie, on trouve facilement les autres termes de probabilité conjointe: $$P_{Va,Vb}(a,b)=\frac{1}{2}cos^{2}(a-b)$$ $$P_{Ha,Vb}(a,b)=\frac{1}{2}sin^{2}(a-b)$$ $$P_{Va,Ha}(a,b)=\frac{1}{2}sin^{2}(a-b)$$
=== Corrélations ===
Nous allons considérer trois cas:
* Dans le cas où les analyseurs sont tout les deux colinéaires, (a=b) nous remarquons que :
$$P_{Ha,Hb}(a,b)=P_{Va,Vb}(a,b)=\frac{1}{2}$$ $$P_{Ha,Vb}(a,b)=P_{Va,Hb}(a,b)=0$$ En d’autres termes, si le premier photon mesuré est de polarisation horizontale $|Ha\rangle$, nous pouvons dire avec certitude que le deuxième sera mesuré avec une polarisation horizontale $|Hb\rangle$.
* Maintenant si on tourne un analyseur de 90° par rapport au a l’autre (a=b+$\frac{\Pi}{2}$) on peut de nouveau calculer les probabilités conjointes, et cette fois ci : $$P_{Ha,Hb}(a,b)=P_{Va,Vb}(a,b)=0$$ $$P_{Ha,Vb}(a,b)=P_{Va,Hb}(a,b)=\frac{1}{2}$$ Ici, si le premier photon est mesuré dans l’état $|Ha\rangle$, on peut dire avec certitude que le deuxième sera mesuré dans l’état $|Vb\rangle$
* Dans un dernier cas considérons un analyseur orienté de 45° par rapport à l’autre (a=b+$\frac{\Pi}{4}$). $$P_{Ha,Hb}(a,b)=P_{Va,Vb}(a,b)=P_{Ha,Vb}(a,b)=P_{Va,Hb}(a,b)=\frac{1}{4}$$ Dans cette configuration, tous les scenarii ont une probabilité égale de se produire. Si nous mesurons le premier photon dans un état de polarisation donné, par exemple $|Ha\rangle$, le deuxième photon a une chance sur deux de se retrouver dans la polarisation $|Vb\rangle$.
On crée un coefficient pour traduire le « taux de certitude » associé à la mesure du deuxième photon nommé coefficient de corrélation. La norme de ce coefficient est maximale pour les deux premier cas, et nulle pour le dernier cas. $$E(a,b)=P_{Ha,Hb}(a,b)+P_{Va,Vb}(a,b)-P_{Ha,Vb}(a,b)-P_{Va,Hb}(a,b)$$ === Introduction des variables cachées ===
Nous devons à présent introduire théoriquement des paramètres supplémentaires. Bell les introduit comme soumis aux conditions suivantes : $$\rho(\lambda)\geq 0$$ $$\int \rho(\lambda)d\lambda = 1 $$ où $\rho(\lambda)$ est une densité de probabilité. La distribution de ces paramètres s'applique à un ensemble de paires de particules émises. On se donne une de ces paires, λ un de ces paramètres. On introduit, en outre, deux fonctions qui donnent les résultats de mesure pour une paire donnée de photons: $$A(\lambda,a)=±1\,\,\,\,\,\,\,\, {\text{au premier polariseur}},{\text{de direction a}}$$ $$B(\lambda,b)=±1\,\,\,\,\,\,\,\, {\text{au deuxième polariseur}},{\text{de direction b}}$$ Donc, nous remarquons que $$\frac{1}{2}[A(\lambda,a)+1]$$ est +1 si le photon est parallèle à la direction a et 0 si elle est perpendiculaire. De même, $$\frac{1}{2}[1-B(\lambda,b)]$$ est de 1 si le photon est perpendiculaire à la direction B et 0 si parallèle. Nous pouvons écrire: $$P(H_a)=\int \rho(\lambda)d\lambda\frac{1}{2}[A(\lambda,a)+1]$$ $$P(H_a,V_b)= \int \rho(\lambda)d\lambda\frac{1}{2}[A(\lambda,a)+1]\frac{1}{2}[1-B(\lambda,b)]$$ La fonction de corrélation devient alors $$E(a,b)=\int \rho(\lambda)d\lambda A(\lambda,a)B(\lambda,b)$$
Nous devons maintenant trouver un critère numérique que doit vérifier, non une certaine quantité mathématique. Soit : $$s=A(\lambda,a)B(\lambda,b)-A(\lambda,a)B(\lambda,b')+A(\lambda,a')B(\lambda,b)+A(\lambda,a')B(\lambda,b')$$ $$=A(\lambda,a)[B(\lambda,b)-B(\lambda,b')]+A(\lambda,a')[B(\lambda,b)+B(\lambda,b')]$$ D'après ce qui précède, $$s=±2$$ et $$-2\leq \int \rho(\lambda)d\lambda(\lambda,a,a',b,b')\leq 2$$ car c'est une moyenne de s sur les λ. Soit $$S(a,a',b,b')=E(a,b)-E(a,b')+E(a',b)+E(a',b')$$ on obtient finalement $$-2\leq S(a,a',b,b')\leq 2$$ appelée inégalité B.C.H.S.H ( Bell, Clauser, Horne, Shimony, Holt ).
D'après l'expression du coefficent de corrélation donné par la mécanique quantique, nous voyons que pour $$( a,b)=(b,a')=(a',b')=\frac{\pi}{8}$$ nous trouvons $$S_{\text{QM}}=2\sqrt2$$ qui est le conflit maximum que l'on peut obtenir. C'est le critère numérique que nous allons avoir à tester.