Date de début: 17 Février 2016
Date de fin: 15 Avril 2016

Porteurs du projet:
Audric Lemonnier (contact : audric.lemonnier@etu.upmc.fr)
Jordan Hamadouche (contact: jordan.hamadouche@etu.upmc.fr)

Suivi: Michela Petrini (contact : petrini@lpthe.jussieu.fr)

Article: An overview of Magneto-Optic Kerr Effect

Découvert en 1877, l'effet Kerr se manifeste lors de la réflexion d'une onde électromagnétique polarisée sur une surface métallique lorsqu'un champ électrique (effet Kerr statique ou normal) ou magnétique (effet Kerr magnéto-optique) est appliqué sur la surface. La vibration devient elliptique et la rotation du plan de polarisation est proportionnelle à l’aimantation $\small{\mathbf{M}}$ et à l’épaisseur du matériau. On peut aussi noter un second effet présent correspondant à l'effet Voigt, mais généralement négligé.

Son origine est microscopique et repose sur le couplage spin-orbite et la prise en compte des effets relativistes.

Suivant la direction de l'aimantation $ \small{\mathbf{M}} $ de la surface, il existe trois configurations géométriques de l'effet magnéto-optique:

• Polaire,
• Longitudinale,
• Transversale.

L'effet est plus important pour des matériaux présentant une symétrie particulière: le tenseur diélectrique caractérise les propriétés du milieu. Sa forme repose sur des considérations thermostatistiques (relations de Onsager) et il est hermitien en l'absence d’absorption dans un milieu magnétique. Les termes hors-diagonale sont fonctions du champ magnétique, ce qui rend le calcul des indices du milieu “plus simple” dans le cas d'un champ appliqué dans une des trois configurations précédentes.

Exemples d'application:

• Microscopie Kerr et magnétométrie: hystérésis, domaines magnetiques,
• Support magnéto-optique de données,
• Technologies optiques.

Nous nous intéressons à l'interprétation de l'effet Kerr dans le cadre de l’électrodynamique classique dans les milieux.
Un système optique avec capteurs est monté dans le but de mesurer la rotation relative Kerr (rotation de la polarisation). Nous voulons relier la valeur de l'aimantation avec les caractéristiques de la polarisation elliptique de l'onde réfléchie (cycle d’hystérésis). On doit s'attendre à $ \small{||\mathbf{M}|| ∝ θ_k }$. Un ordre de grandeur dans le rouge est $\small{θ_k ≈ -0.5°}$ à $\small{ 300K }$ pour de l'acier.

L’étude théorique porte sur la configuration Kerr polaire (champ magnétique normal à l’échantillon) pour un échantillon ferromagnétique.

On considère une onde monochromatique $ \small{ (\dfrac{\omega}{c},\mathbf{k})} $ qui se propage depuis le vide dans l’échantillon. L'induction $ \small{\mathbf{D}}$ et le champ magnétique $ \small{\mathbf{H}}$ s'écrivent à l'aide des tenseurs de rang 2 de permittivité $ \small{\boldsymbol{\varepsilon}} $ et perméabilité $ \small{\boldsymbol{\mu}} $:
$$ \small{D_{i}=\varepsilon_{ij}(\omega) E_j, \quad B_i=\mu_{ij}(\omega)H_j}. $$ La réponse de l’aimantation au champ magnétique est plus lente que la relaxation magnétique. Dans le domaine visible, elle ne voit pas les variations induites, et, pour simplifier le problème, on suppose que $ \small{\mu_{ij}=\mu_0\delta_{ij}} $. On admettra la forme du tenseur diélectrique suivante en PMOKE, déduites de relations de Onsager issues de la physique statistique et du modèle de Drude-Lorentz, pour un cristal possédant une symétrie hexagonale (pour le cobalt par exemple):
$$ \small{\boldsymbol{\varepsilon}= \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & i\varepsilon_{12} & 0 \\ -i\varepsilon_{12} & \varepsilon_{11} & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_{33} \end{pmatrix}} .$$ L’écriture des équations de Maxwell dans le milieu permet d’établir une relation entre le déplacement $ \small{\mathbf{D}} $, le champ électrique $ \small{\mathbf{E}} $ et les vecteurs d'ondes $ \small{\mathbf{k}} $: $$ \small{\mathbf{D}=\mathbf{n}\times\mathbf{E}\times\mathbf{n}=n^2\cdot\mathbf{E}-(\mathbf{n}\cdot\mathbf{E})\cdot\mathbf{n}},$$ avec $ \small{n_i=\dfrac{c}{\omega}\cdot k_i} $, ou sous la forme d'une équation propre:
$$ (n^2 \delta_{ij}-n_i n_j-\varepsilon_{ij})\cdot E_j=0. $$
Le calcul du déterminant mène directement à une équation de Fresnel (surface des indices) et on voit que l'on obtient des valeurs propres correspondant à deux indices différents. Il suffit alors d'injecter ces valeurs dans l’équation précédente pour obtenir le champs électrique. Cela implique l'existence de deux modes propres de propagation dans le milieu: une onde circulaire gauche et une circulaire droite qui se propage dans la matière avec deux indices différents. On en déduit qu'à la réflexion (conditions de continuité à l'interface), l'onde est devenue polarisée elliptiquement.

La principale difficulté ne réside pas dans les calculs (sauf pour les coefficients de Fresnel) car les tenseurs sont de rang 2 et qu'ils sont très simplifiés par la configuration choisie, mais reside plutôt dans l'introduction des grandeurs et dans la compréhension du lien entre l'off-diagonal et le vecteur gyration (comme l'introduit Landau) ou l'aimantation. Il faut comprendre pourquoi et comment les termes hors-diagonale dépendent de $\small{\mathbf{M}}$ (ou de $\small{\mathbf{H}}$) et ce que cela implique dans les coefficients de Fresnel: quelle composante du champ est affectée par le magnétisme et laquelle ne l'est pas.

• Gen. HT - Laser He-Ne 15mW non-polarisé (3B) ;
• Diode Laser 3V polarisée linéairement <1mW, speckle rectangulaire;
• Polariseur linéaire polaroïd;
• Gen. CC 6A - 2 bobines 0.5T (électroaimant) avec noyaux;
• Prisme Wollaston;
• Miroir Aluminium;
• Deux lentilles 200mm;
• Teslamètre 1.000T;
• Oscilloscope;
• Multimètres numériques;
• Photodiodes et boitier amplificateur pour photodiode.

Échantillons en test:

• Lame de cutter acier inconnu non inox.
• thinlayer $\small{Co}$: $\small{Co}$ entre $\small{Si(100)}$ et $\small{TiO_2}$ .

• *14/01/2016 - (A.L.) - Création de la page du projet et présentation du projet. Ébauche d'un diagramme de Gantt.
  20/01/2016 - Création d'une liste du matériel. Recherche de publications.
  22/01/2016 - (A.L. J.H.) - Contact avec le personnel de la plateforme Optique:
  → Laser He-Ne disponible, mais pas d'informations sur la puissance et sur la polarisation,
  → Électro-aimants 1T indisponibles,
  → Prisme et polaroïd disponibles,
  → Pas de salles d'optique avant le 11/02/2016.
  26/01/2016 - (A.L.) - Liste des problèmes à résoudre en urgence.
  27/01/2016 - (A.L.) - Considérations sur les incertitudes: La mesure des axes propres se fait “manuellement”. L'objectif est de mettre en évidence une rotation inférieure à 1°, et peut conduire à l’échec de l’expérience.
  05/02/2016 - (A.L.) - Calcul de l’équation de propagation et de l’équation de Fresnel.
  08/02/2016 - (A.L. J.H.) - Réunion avec le tuteur: mettre l'accent sur la description physique du phénomène et identifier les vecteurs macroscopiques EM, trouver plus de références bibliographiques (sauf le Landau) et confirmer la disponibilité du matériels de TP auprès du technicien de la plateforme.
  12/02/2016 - (A.L. J.H.) - Toujours pas de salle: voir avec le secrétariat le 17/02/2016 et aussi pour le matériel.
  14/02/2016 - (A.L.) - Tentatives de calcul des modes propres: si on calcul les vecteurs propres à partir de l’équation menant à l’équation de Fresnel, on se trouve bloqué car on a pas explicitement accès à $ \small{\mathbf{D}} $ (mais ce n'est peut-être pas nécessaire), qui nous donnerait l’état de polarisation (cf. Notes). Landau propose une autre méthode en passant par l'inverse du tenseur diélectrique et donnant assez simplement $ \small{\mathbf{D}} $ (il y a une relation simple entre $ \small{\mathbf{g}} $ et $ \small{\mathbf{G}} $ dans notre cas).
  15/02/2016 - (A.L.) - Rendez-vous avec Michela Petrini. Partant du Landau, on est OK sur notre démarche théorique. Il reste à corriger les erreurs dans la direction de $ \small{\mathbf{n}} $. Doit-on ne pas mettre dans les équations de Maxwell la conductivité ?
  16/02/2016 - Le secrétariat d'optique nous dit que c'est tendu pour avoir une salle … et nous propose une colloc' avec un autre projet. De plus les lasers He-Ne ne sont pas polarisés, ce qui pourrait nous poser un problème pour les fluctuations d'intensité.
  17/02/2016 - (A.L. J.H. - Durée: 5h) - Nous avons obtenu une salle partagée avec une autre équipe. Le montage a été fait en version polaire système D français. Les photodiodes sont derrières deux boitiers ampli. puis un oscilloscope numérique.
  Nous avons mesuré le champ en sortie de bobine sans noyau: H≈30mT avec U=25V et I=1.6A (générateur au max), nous sommes donc très loin des 0.5T et de la saturation… Nous sommes confronté à deux problèmes: l'inclinaison du faisceau incident est insuffisante et la tache est très étalée sur le miroir (tenter avec des lentilles); il y a beaucoup de bruit sur l'oscilloscope.
  Il reste à trouver un échantillon.
  19/02/2016 - (A.L. J.H.) - Rencontre avec Franck Vidal (INSP) pour une explication sur l'UE, nos objectifs et nos attentes: RDV le 24/02/2016 pour examiner notre montage, puis nous expliquer le sien (version ).
  24/02/2016 - (A.L. J.H. - Durée: 5h) - Démontage/remontage pour changement de salle … Nous avons mis toutes les optiques sur pieds et focalisé le laser sur l’échantillon. Nous sommes passé à la diode laser polarisée.
  26/02/2016 - (A.L. - Durée: 3h) - Test avec une lame de cutter acier avec la diode laser. Prise de quelques valeurs pour estimer la rotation: $\small{ \theta_{k} \approx 0.01° }$.
  02/03/2016 - (A.L. - Durée: 4h) - Prise des valeurs de la variation relative de l'intensité s-p avec une onde p incidente: pas super. Les incertitudes sont clairement surestimées. Remarque sur l'importance de l'angle d'incidence qui joue un rôle conséquent dans la rotation: il faut viser $\small{ \alpha_i \approx 70° }$ (au voisinage de l'angle de Brewster).
  03/03/2016 - (A.L. - Durée: 2h) - Test s-LMOKE et p-LMOKE avec le même échantillon en incidence faible: c'est pourri; impossible de constater un effet $ \small{ \forall\;\mathbf{H} } $ .
  04/03/2016 - (A.L. - Durée: 4h) - RDV avec Frank Vidal: Prêt d'un échantillon de cobalt. Test de l’échantillon en p-LMOKE mais problèmes sur la mesure (interférences avec l’environnement probables et influence de l’échauffement des bobines). Remontage en s-PMOKE avec une bobine pour la prochaine mesure.
  06/03/2016 - (A.L. - Durée: 4h) - Début de l’écriture du code C++/Py.
  09/03/2016 - (A.L. - Durée: 5h) - Prise des mesures s-PMOKE avec Co en incidence 81° et avec deux bobines et rhéostat, puis traitement des données. Changement du système de mesure: $¹⁾ → Voltmètres → Oscilloscope$. Il faut réussir à faire les mesures aux voisinages du champ coercitif grace à notre matériel très effectivement adéquat. Il faut aussi tester avec un laser YAG continue.
  29/03/2016 - (A.L. - Durée: 4h) - Modification du montage en TMOKE pour avoir un angle d'incidence ajustable à l'aide d'un miroir et retrait du prisme Wollaston: l'analyseur est un polaroid de mauvaise qualité, mis à faible angle par rapport à la polarisation incidente: il reste à effectuer les mesures. Problèmes: le nouveau montage est très sensible aux vibrations, due aux bras des supports; le miroir n'est pas traité (miroir mémé) et cela conduit à l'apparition de nouveaux faisceaux.
  30/03/2016** - (A.L. - Durée: 4h) - L'oscilloscope introduit une modulation 50Hz du signal dans les bobines et qui se voit dans le signal des PDs. Les mesures en p-TMOKE avec 7° entre la pol. p incidente et l'analyseur et proche de l'angle de Brewster (~70°) ne donnent rien, on ne peut pas obtenir un cycle d’hystérésis correct (vibrations et interférences). Et je pense que l'on va en rester là, car c'est une perte de temps…

Voir l'article pour la liste complète.

1. L. Laudau, E. Lifshitz, Electrodynamics of continious media, Course of Theoretical Physics vol.8, Pergamon Press (1963)
2. R. Levy, J.-M. Jonathan, Optique non linéaire et ses matériaux, EDP Science (2012)
3. Z. Q. Qiu, S. D. Bader, Surface magneto-optic Kerr effect, Rev. of Sci. Instrum., 71, 1243-1255 (2000) - via UPMC
4. Chao Shiuh, Yeh Long‐Jewel, Lo Tsong‐Jen, Jeng Tzuan‐Ren, Ellipsometric measurement of magneto‐optical Kerr rotation at normal incidence, J. Appl. Phys., 67, 4241-4243 (1990) - via UPMC
5. P. D. Foote, The Magnetic Rotation and Ellipticity Produced by Mirrors of Massive Metals, Phys. Rev. (Series I) 34, 96 (1912) - via UPMC
6. R. Clark Jones, A New Calculus for the Treatment of Optical Systems, J. Opt. Soc. Am. 37, 110-112 (1947) - via UPMC
7. J.A.C. Bland, Magneto-Optic Kerr Effect Studies of Ultrathin Magnetic Structures, Springer US (1995) - via UPMC

• Diagrammes de Gantt - GanttProject - Libre
• Dessin vectoriel - Inkscape - Libre
• IDE $\small{\LaTeX}$ - Kile - Libre
• Base de données des constantes optiques