Présentation du projet :

Introduction:

Le mouvement brownien désigne à la fois un phénomène naturel et un objet mathématique. Ce mouvement décrit plusieurs comportements liés à la théorie cinétique des gaz, phénomène de diffusion… .

But de projet:

Le projet comporte une voie expérimentale du mouvement et une étude numérique (simulation sur Mathématica). L’objectif est d’avoir une cohérence entre les simulation et les expériences.

- L’étude expérimentale consiste à manifester l’influence des quelques facteurs physiques(Température, viscosité, champs gravitationnel…), sur le mouvement des particules étudiés(par exemple: Oxyde de Titane)

-Une simulation numérique sur mathématica: études de quelques modèle du mouvement brownien, dans les trois dimensions de l’espace.

Partie théorique:

*Introduction Le mouvement brownien représente une description mathématique du mouvement aléatoire, d’une particule ou impureté dans un fluide. Ce mouvement était découvert pour la première fois, par le botaniste Robert Brown en 1827, en observant des mouvements des particules à l’intérieur de grain de pollen. Au 19émé siècle, l’origine du mouvement du au molécules n’était pas évident, car La notion de discontinuité de la matière n’était pas communément admise.L’étude statistique des phénomènes physique, liés à l’aspect atomique de la matière est devenu indispensable pour expliquer les observation des expériences. Ce traitement mathématique a ouvert la porte à un nouveau domaine de la mécanique statistique, déjà utilisé par Maxwell pour expliquer la théorie cinétique des gaz. Il existe plusieurs modèles expliquant le mouvement brownien d’une particule immergé dans un fluide. On introduit le modèle de Langevin (1906), qui était démontré 2 ans après la modélisation d’Einstein. La relation démontré (Relation d’Einstein) relie la moyenne du carré des déplacements au facteurs caractéristiques du fluide et la particule étudiée. Relation d'Einstein Ici, on utilise le modèle de Langevin pour démontrer la fameuse relation d'Einstein. * Modèle de Langevin et bilan de force * la grosse particule brownienne de masse m animée à l'instant t d'une vitesse v（t）est soumis les deux forces suivantes： - Une force de frottement fluide - Un bruit blanc Gaussien de moyen nulle * On sais que en mécanique des fluides, la sphère en déplacement dans un fluide subit une force de résistance qui suit la loi de Stocks： F＝－6πηrv＝－kv avec： r: le rayon des particules η: le coefficient de viscosité du fluide v: vitesse de la particule k＝6πηr：coefficient de Friction * Il existe la force aléatoire（un bruit blanc Gaussien）， on la note Fa． Cette force a été introduite par Langevin, est une force complémentaire aléatoire(Stochastique). Cette force synthétise le résultat des chocs aléatoires des molécules de fluide environnantes. * Energie cinétique de la particule On introduit l’énergie cinétique de la particule, qui découle du théorème de l’équipartition de l’énergie. $$E_c＝\frac{1}{2}Nmv²＝\frac {3NRT}{2} Na$$ donc pour une particule on a： $$E_c＝\frac {3RT}{2} Na$$ Où: v est La vitesse moyenne. Selon l’axe (Ox) (pour un mouvement 1D), on s’intéresse à la vitesse moyenne <v²>： $<E_c>＝ \frac{1}{2}$ $m<v²>＝\frac{3RT}{2Na} $ ⇒ $<v²>＝\frac {RT}{mNa} $ (*) * Principe fondamentale de la dynamique PFD: $$m \frac{dv}{dt} =－6πηrv+Fa$$ $$mx \frac{dv}{dt}=-kxv+xFa$$ $$m[\frac {d(xv)}{dt}-v \frac {dx}{dt}]=m[\frac {d(xv)}{dt}-v²]=m[\frac{d(x\frac{dx}{dt})}{dt}-v²]=1/2m\frac{d²x²}{dt²}-mv²$$ Donc le PFD devient: $$1/2m\frac{d²x²}{dt²}-m<v²>=-k\frac{d<x²>}{2dt}+<xFa>$$ On prends la moyenne: $$1/2m\frac{d²<x²>}{dt²}-v²=-kxv+xFa$$ or $<xFa>=0$, par hypothèse de Langevin. $$m\frac{d(<xv>)}{dt}=m<v²>-6πr<xv>=\frac{RT}{Na}-6πrμ<xv>$$ (d'après *) En intégrant cette équation on obtient: $$2<xv>=\frac {RT}{3Naπrμ} +Cexp(\frac{-6πrμt}{m})$$ Le mouvement brownien est observé dans des régimes pratiquement permanent(le temps pour que le système se stabilise) donc le 2 ème terme s’élimine. Pour une petite durée, on peut dire que υ=Δx/τ, donc on obtient au total $$<x²(t+τ）-x²(t）>=\frac {RTτ}{3Naπrμ}$$ D'où la relation d'Einstein: $$<Δx²>²=\frac {RTτ}{3Naπrμ}$$ ===== Simulation(sur Mathématica)===== * simmulation basic du mouvement (Fait par Aouina) * Premiere simulation du mouvement * Deuxième simulation de Mouvement(Video) * Deuxième simulation de Mouvement(Avec Trajet) ===== Partie expérimentale: ===== * Premiere vidéo photos capturées à l'IBPS (UPMC/CNRS) sur les pollens de la fleur du tabac. LE montage de la vidéo est fait avec FIJI(Image J). On peut constater que la distance parcourue par une particule est proportionnelle inversement à la taille de la particule. (résultats en cours)
* Deuxième vidéo Vidéo capturer en Licence de Physique, on a constaté des mouvements vibratoires des particules(latex de taille 1.79μm), mais le grossissement est trop faible pour qu'on puisse faire des mesure.

===== Avancement du projet: ===== 15/01/2016: Création de la page du projet, répartition des missions. (Tout le groupe) 16/01/2016: Démonstration de la relation d'Einstein pour le mouvement brownien d'une particule(Selon la description de Paul Langevin). (Jazouli) 21/01/2016: Visite du GreenLab et extraction des pollen pour différentes fleurs. (Jazouli, Aouina) 22:01:2016: Enregistrement d'une video sur la diffusion de l'encre dans l'eau (C'est un Mouvement brownien!), mais l'échelle macroscopique n'était pas le bon choix pour manifester le processus stochastique de Mouvement. (Tout le groupe) 27/01/2016: Tentative d'observer le Mouvement brownien des pollens de fleur de Tabac(Vue la taille du pollen qui est dans l'ordre de 50 micrométre). –> La puissance du microscope a disposition (labo Greenlab) n'est pas suffisante pour observer le déplacement des particules. (Tout le groupe) 27/01/2016: Basique simulation du mouvement brownien basé sur la marche aléatoire. (Aouina) 02/01/2016: Visite de la plateforme d'imagerie, institut de bilogie Paris-Seine. (Jazouli, Li) 02/01/2016: on a essayé d'obtenir une vidéo du mouvement brownien avec des pollens des fleurs du Tabac (Aouina) 02/07/2016: Premiere simulation du mouvement brownien à la base de distribution normale. (Li) 10/02/2016: –> Réunion avec le tuteur du projet. (Tout le groupe) 14/02/2016: Simulation en 2D du mouvement brownien. Completer par une graphe de mouvement avec trajet.(Li) 17/02/2016: Première observation du Mouvement brownien à l'aide d'un videomicroscope Leica inversé, pour des pollen immergé dans l'eau distillé. (Tout le groupe) 24/02/2016: Mise au propre la partie théorique. (Jazouli, Li) 02/03/2016: Obtention d'un échantillon du SIO2* (particule de taille 5 μm) du Labaratoire Matière et Système Complexe (Paris VII/CNRS). (Jazouli, Li) 03/03/2016: Premiere vidéo de mouvement brownien réalisé avec logiciel Figi(ImageJ). (Li) 04/03/2016: Experience sur SIO2 dans l'eau et dans l'alcool, on n'a pas observé le mouvement brownien. (On est en train de chercher pourquoi.) (Tout le groupe) 10/03/2016: Visite du labaratoire Matière et Système Complexe (Paris VII/CNRS), on a récupérer un échantillion des particules sphériques en latex de 1.79μm. (Tout le groupe) 23/03/2016: On pense qu'il existe un gradient de température à cause des vaporisation qui perturbe les observations et crée un mouvement de turbulence des particules observées. Donc on propose un nouveau protocole avec deux lames écartés par des morceaux de scotch. (Jazouli, Li) 30/03/2016 : L'étude du mouvement d'un particule avec Tracker (programme libre essentiellement utilisé pour suivre des objets physiques ) , on voit bien qu'il s'agit d'un mouvement brownien et on a vérifié que la moyenne du déplacement ne dépend pas du temps et elle est nulle . En plus dans les conditions de l'expérience la particule obéit au loi d’Einstein . (Aouina) Le calcul : $x$ est la position de la particule selon l’axe X, t le temps et $\Delta t $ l’écart entre deux instants. Le système étant invariant sous l’échange X = −X, on s’attend naturellement à obtenir la moyenne temporelle (sur t) de $\Delta X$, $< \Delta X(t, \Delta t) > = 0$ pour peu que l’on ait mesuré suffisamment longtemps. Cependant l’écart quadratique moyen $< (\Delta X(t, \Delta t)^2 >$ n’a aucune raison d’être nul et va caractériser le mouvement brownien pour chaque instant séparé par $\Delta t= 0,04 $ seconde, on obtient une position $x_i$ et $y_i$. Un déplacement est calculé comme suit : $ x_i=x(t_i)$ et $x_{i+1}=x(t_i+ \Delta t)$ $$\Delta x_i(\Delta t )= x_{i+1}-x_i $$ Même chose pour : $ y_i=y(t_i)$ et $y_{i+1}=y(t_i+ \Delta t)$ $$\Delta y_i(\Delta t )= y_{i+1}-y_i $$ Le carré du déplacement $ \Delta r $ est donc la somme des déplacements des différentes dimensions: $$(\Delta r_i(\Delta t) )^2=(\Delta x_i(\Delta t) )^2 + (\Delta y_i(\Delta t) )^2 $$ On calcule la moyenne comme suit : $$\left \langle (\Delta x(\Delta t) )^2\right \rangle = \frac{1}{n}\sum_i x_i^2(\Delta t)$$ $$\left \langle (\Delta y(\Delta t) )^2\right \rangle = \frac{1}{n}\sum_i y_i^2(\Delta t)$$ $$\left \langle (\Delta r(\Delta t) )^2\right \rangle = \frac{1}{n}\sum_i r_i^2(\Delta t)$$ (Aouina) ===== Références: ===== -Quelques notions de base sur le mouvement brownien: https://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_brownien -L’étude numérique du mouvement : http://www.tangentex.com/MouvBrownien.htm -Observation d’un mouvement brownien: https://www.youtube.com/watch?v=6VdMp46ZIL8 -Relation d'Einstein pour le mouvement brownien: