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Dans les coordonnées cartésiennes, $$\vec{OM} = l sin(\theta) \vec{e_x} + (a(t) + l cos(\theta)) \vec{e_y}$$ $$\frac{d\vec{OM}}{dt} = (l \dot{\theta} cos(\theta)) \vec{e_x} + ( \dot(a(t) + l \dot{\theta} sin(\theta)) \vec{e_y}$$ $$v^2 = l^2 \dot{\theta}^2 + \dot{a}^2 + 2l\dot{\theta}\dot{a} sin(\theta) + l^2 \dot{\theta}^2 sin(\theta)^2$$

Le Lagrangien de notre système s'écrit alors : $$\mathcal{L} = \frac{1}{2}m [l^2 \dot{\theta}^2 + 2l \dot{a} \dot{\theta} sin(\theta) ] + mgl(1-cos(\theta))$$ En utilisant l'invariance de jauge de notre système et le fait que $\dot{a} \dot{\theta} sin(\theta) = \frac{d(1-cos(\theta)\dot{\theta})}{dt} - (1-cos(\theta)\ddot{a}$, on trouve au final que $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} ml^2 \dot{\theta}^2 - ml(g+\ddot{a})(1-cos(\theta)$$

D'où on en sort que l'équation du mouvement de notre pendule est : $\ddot{\theta} + \frac{g+\ddot{a}}{l} \theta = 0$ Considérons maintenant que $a(t) = a sin(\Omega t)$, avec $a<<l$, c'est-à-dire une très faible excitation comparée à la longueur du pendule, et que $\Omega >> \omega_0 := \sqrt{\frac{g}{l}}$. On va supposer également que la solution de notre équation du mouvement est la combinaison linéaire d'une oscillation lente $\bar{\theta}$ et d'une oscillation rapide $\theta_1$ d'amplitude tres faible. En injectant ça dans l'équation du mouvement, et en faisant un développement limité à l'ordre 1 sur $\theta_1$, on obtient que : $$\ddot{\bar{\theta}} + \ddot{\theta_1} + \omega_0^2 sin(\bar{\theta} - \epsilon \omega_0^2 sin(\Omega t) sin(\bar{\theta}) + \omega_0^2 \theta_1 cos(\bar{\theta}) - \epsilon \omega_0^2 sin(\Omega t) \theta_1 cos(\bar{\theta}) = 0$$ avec $\epsilon = \frac{a}{l} \Omega^2$

En négligeant les couplages entre les termes de pulsation différentes et via une analyse de Fourrier, c'est-à-dire en séparant en différentes équations les termes oscillant à des fréquences différentes, on obtient que : $$\ddot{\theta_1} - \epsilon \omega_0^2 sin(\Omega t)sin(\bar{\theta}) + \omega_0^2 \theta_1 cos(\bar{\theta}) \simeq 0$$ D'où on a que : $\theta_1 \simeq - \frac{a}{l} sin(\Omega t) sin(\bar{\theta})$ Ce sont donc des petites oscillations rapides superposées à l'oscillation lente. En réinjectant dans la deuxième équation de l'analyse de Fourrier (la lente), on obtient : $$\ddot{\bar{\theta}} + \omega_0^2 sin(\bar{\theta}) + \frac{a^2}{2l^2} \Omega^2 sin(\bar{\theta}) cos(\bar{\theta}) = 0$$ Ce qui nous donne un potentiel effectif de : $$U = mgl(1-cos(\bar{\theta}) + \frac{a^2 \Omega^2}{4l^2 \omega_0^w} sin^2(\bar{\theta})$$ Les positions d'équilibre stable sont alors $\bar{\theta} = 0$ ou $\bar{\theta} = \pi$ . Le pendule est stable à $\bar{\theta} = \pi$ si et seulement si $$\frac{1}{2} (\frac{a}{l} \frac{\Omega}{\omega_0})^2 > 1$$